LA RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE
On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DCE n’est pas rectangle Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122 -5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur Voir le contrat
: Chapitre08 : La réciproque du théorème de Pythagore 1
La réciproque du théorème de Pythagore (admis) Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle Exemple : ABC est un triangle tel que AB=3cm ; AC=4cm et BC=5cm Démontrer que ABC est un triangle rectangle Croquis de la
Rédaction du théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Thalès La réciproque du théorème de Thalès permet de prouver que deux droites sont parallèles Enoncé : La figure ci-dessus n’est pas réalisée à l’échelle On donne : IM = 8 cm, IE = 2 cm, MN = 6 cm et EF = 1,5 cm Prouver que les droites (MN) et (EF) sont parallèles
R daction - Pythagore et sa R ciproque - académie de Caen
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A Donc BC² = AB² + AC² EF² = 8,5² = 72,25 EG² + GF² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74 Donc EF² ≠ EG² + GF² Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle
Chap VII LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 2)
Chap VII LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 2) I Activité d'introduction : le dab de Pogba II La réciproque du théorème de Pythagore dans un triangle ABC, on a : BC2 = AB2 + AC2 le triangle ABC est rectangle en A
Réciprocité- Pythagore - AlloSchool
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AJT est rectangle en T Corrigé de l’exercice 2 Soit IMQ un triangle tel que : IM = 2 , 8cm , QM = 2 , 1cm et IQ = 3 , 5cm
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Réciproque du théorème de Thalès 1) La réciproque : a) Rappel sur une proposition réciproque : Les théorèmes de mathématiques sont structurés de la manière suivante : Si une proposition A est vraie, alors une proposition B l’est aussi : Exemples :
Exercices dirigés : réciproque du théorème de Thalès (EG8
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (EB) sont parallèles 2) On sait que : – OAC et OEB sont emboîtes (avec A, O, B alignés) – (AC) et (EB) sont parallèles D'après le théorème de Thalès, on en déduit que : OA OB = OC OE = AC EB d'où : 60 72 = 50 60 = 100 EB donc : EB = 60×100 50 =120 cm
Réciprocité- Pythagore - AlloSchool
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EBX est rectangle en B Corrigé de l’exercice 2 Soit SLN un triangle tel que : SL = 9 , 6cm , NS = 14 , 6cm et NL = 11cm
THEOREME DE PYTHAGORE EXERCICES 3B
Calculer la longueur OC c Calculer la longueur OD 2 En utilisant les résultats du 1 , calculer l’aire du triangle BCD On rappelle la formule : Aire = (b h)/2 EXERCICE 3B 10 ABC est un triangle rectangle en A (AH) est la hauteur issue du sommet de l’angle droit 1 a Exprimer l’aire de ce triangle en fonction de AB et AC b
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Le théorème de Thalès et sa réciproque.
1. Le théorème de Thalès.
a.Première configuration.
b.Deuxième configuration
c. Enoncé général du théorème de Thalès. d. Exercices résolus et non résolus première configuration. e. Exercices résolus et non résolus deuxième configuration.2. La réciproque du théorème de Thalès..
a. La propriété réciproque. b.La contraposée.
c.Savoir comparer des quotients.
d.Importance des alignements.
e.Exemples d"utilisation.
3. Construire un point en respectant des proportions imposées.
a. Premier exemple. b. Deuxième exemple4. Des exercices non corrigés.
Le théorème de Thalès.
1. Première configuration : Voir classe de 4ème. Proportionnalité dans le rectangle.
Soit ABC un triangle et un point M de [AB], un point N de [AC] tel que (MN)//(BC)Premier point de la démonstration :
Second point :
Comme les deux triangles
colorés ont la base FG en commun et ont relativement à cette base la même hauteur, ils ont la même aire. Donc : Aire (trapèze FGCB)-Aire (triangle FGB) =Aire trapèze - aire (FGC)Conclusion : Aire BGC = Aire FBC.
Donc : Aire (ABC ) - Aire ( BGC) = Aire (ABC) -Aire ( FBC)Aire ( AGB ) = Aire ( AFC )
Troisième point : En exprimant les aires de ces triangles avec respectivement les bases et hauteurs
AB et DC pour AGB et AC et BE pour AFC :
DCAG BEAG DCAGDCAFBEAGDCAFBEAGDCAF
22Soit en conclusion :
DC BE AG AF= Or, on a aussi, d"après notre premier point, que : BC BE AC AB=.Conclusion :
AB AF AC AG AB AG AG AF AB AG AC AB AG AF ACAB=⇒´=´⇒=
Il ne reste plus qu"à démontrer que le quotient BCFGest aussi égal au deux précédents.
Quatrième point :
Faisons intervenir la parallèle à (AC) en F.Elle coupe [BC] en D.
On a donc :
BA FABA BCDCBCdonc
BA BF BCBD-=-=
BA FA BCDCBAFA
BCDCBAFA
BABA BCDC BCBC 11Mais (FG) // ( DC ) et ( FD) // (GC) : le quadrilatère FGCD est donc un parallélogramme : FG = DC.
Conclusion : En remplaçant DC par FG dans la dernière égalité, il vient : BA FA BC FG=Conclusion : on a bien
BC FG AC AG AB AF==2. Seconde configuration :
Dans cette configuration : (BE) et (AD) sont deux droites sécantes en C et les droites (AB) et (ED)
sont parallèles. Les deux triangles de travail sont les triangles CBA et CDE, qui, comme dans la première configuration, sont dans un rapport d"échelle. Attention à ne pas confondre les côtés dans le même rapport d"échelle !CB est en relation avec CE
CA est en relation avec CD
AB est en relation avec ED
Les trois quotients égaux sont:
ED BA CD CA CE CB==Démonstration :
Il suffit de faire intervenir les symétriques de A et B par rapport à C, respectivement A" et B".
Comme C est le centre de symétrie, C est le milieu des segments [BB"] et [AA"]. En conséquence, ABA"B" est un parallélogramme.On a donc (AB)//(A"B")
Or ; par hypothèse, ( AB) // ( DE ). Les droites (A"B") et (DE) sont toutes deux parallèles à une même
troisième droite, elles sont donc parallèles.On peut donc appliquer la propriété démontrée dans la première configuration aux deux triangles
emboîtés l"un dans l"autre, les triangles CA"B" et CDE, qui ont comme sommet commun C. ED AB CD CA CE