[PDF] PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Chapitre 4 : Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles-cours 1ère-E3C Exercice 3 : Compléter le tableau suivant sachant que P¯A (B)=0,25 A A¯ Total B 0,18 B¯ 0,42 Total Exercice 4 : La répartition des voitures garées dans un parking est donnée dans le tableau ci-contre

Chapitre 15 Probabilités conditionnelles

Cette dernière probabilité est une probabilité conditionnelle : c’est la probabilité que l’élève choisi soit un élève de terminale conditionnée par le fait que cet élève est une fille Dit autrement, on a calculé la probabilité que l’élève choisi soit un élève de terminale sachant que cet élève est une fille On note p

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

La probabilité qu’un patient soit guéri est égale à P(G)= 674 800 ≈0,84=84 La probabilité qu’un patient soit guéri et qu’il soit traité par le médicament A est égale à P(G∩A)= 383 800 ≈0,48=48 La probabilité qu’un patient ne soit pas guéri et qu’il soit traité par le médicament A est égale à P(G∩A)= 72 800

Probabilité conditionnelle Variable aléatoire

2 PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 2 Probabilité conditionnelle 2 1 Définition Le but de ce paragraphe est d’étudier la probabilité d’un événement B condi-tionné par un événement A Définition 6 : Lorsque p(A)6=0, on note pA(B)la probabilité d’avoir l’évé-nement B sachant que l’événement A est réalisé

Probabilités conditionnelles - Indépendance

• On appelle probabilité conditionnelle deA relativement à B ou de A sachant B la probabilité que l’événement A se réalise sachant que B est réalisé • Cette probabilité vaut P B(A)= P(A∩B) P(B) Probabilité conditionnelle: On trouve aussi la notation P(A/B) pourP B(A) Remarque:

Probabilités conditionnelles et indépendance

1 Préciser les valeurs p(A) et pA(D) , puis déterminer la probabilité de l’événement A intersection D Décrire cette probabilité par une phrase 2 Vérifier que la probabilité de l’événement « l’écran provient de la deuxième usine et il est défectueux » est de 0,002 3 Schématiser la situation par un arbre pondéré 4 a

Terminale ST2S FICHE n°10 Probabilités conditionnelles

Sachant qu ’il a pratiqué la conduite accompagnée , la probabilité que cet élève soit admis est : PC(A) = 70 84 = 5 6 Définition Pour tout évènement A et B tel que P(B) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de A sachant B notée p B(A), est le nombre PB(A) = P(A ∩ B) P(B)

Cours 3: Rappels de probabilités

A 4 Notions de base: probabilité conditionnelle, indépendance Probabilité conditionnelle de A sachant B: (probabilité que A se réalise sachant que B se réalise) C’est une probabilité sur B ( ) ( / ) ( ) P A B P A B P B ∩ = Indépendance de deux évènements A et B Rq : Deux évènements disjoints ne sont pas indépendants

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

On lance un dé à 6 faces On suppose que la probabilité d’apparition de chaque face est proportionnelle au numéro inscrit sur elle Calculer la probabilité d’apparition de chaque face Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair Arbre pondéré Exercice n° 10 Dans un lycée, quel que soit le niveau, un élève peut être

Probabilités – Terminale S

Probabilités – Terminale S 2 b Probabilités sur un ensemble fini Définition : Soit ΩΩΩΩ = {a 1, a 2, , a n} un ensemble fini on définit une loi de probabilité sur ΩΩΩΩ si on choisit des nombres p 1, p 2, , p n tels que, pour

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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I. Exemple d'introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants : A : " Le patient a pris le médicament A. » G : " Le patient est guéri. » On a alors : La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à PA

455
800
≈0,57=57% . La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à PG 674
800
≈0,84=84%

. La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A

383
800
≈0,48=48%

. La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A

72
800
=0,09=9%

. 2) On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note P

G A et est égale à P G A 383
674
≈0,57=57% . La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note P B G et est égale à P B G 291
345
≈0,84=84%

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Définition : On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note :

P A (B)

II. Arbre pondéré Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo 1) Règles de calcul Un sac contient 50 boules, dont : - 20 boules rouges, - 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". - Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. - Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit

R∩G

est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) :

P(R)= 20 50
2 5 =0,4

Règle 1 : À partir d'un même noeud, la somme des probabilités est égale à 1. À partir du noeud "On tire une boule", on a :

0,4+P(R)=1

Donc

P(R)=1-0,4=0,6

. b) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : P R (G)= 15 20 =0,75

. Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin. On considère le chemin menant à

R∩G

. On a :

P(R∩G)=0,4×0,75=0,3

c) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire est : P R (G)= 9 30
=0,3 . Et donc

P(R∩G)=0,6×0,3=0,18

d) L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux chemins menant à

R∩G

et

R∩G

. Donc

. Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. 2) Utilisation d'un arbre pondéré Méthode : Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre Vidéo https://youtu.be/qTpTBoZA7zY Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - sachant qu'un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - sachant qu'un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On note les événements :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4M : " Être porteur de la maladie » T : " Avoir un test positif ». 1) Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé. 2) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 3) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? D'après BAC S (et oui !), Antilles-Guyanne 2010 1) 2) La probabilité que le test soit positif est associée aux événements :

M∩T

et

M∩T

PM∩T

=0,02 x 0,85 = 0,017 (règle 2)

PM∩T

=0,98 x 0,05 = 0,049

P(T)=P(M∩T)+P(M∩T)

(règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 3) Propriété :

P A (B)=

P(A∩B)

P(A) T M

PT∩M

PT

0,02×0,85

0,066 ≈0,26

. La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26%. Le test n'est pas fiable ! Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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