1 sur 2 NOTION DE MULTIPLE, DIVISEUR ET NOMBRE PREMIER
La somme de deux multiples d’un entier a est un multiple de a Démonstration au programme : avec a = 3 Soit b et c deux multiples de 3 Comme b est un multiple de 3, il existe un entier k 1 tel que b = 3k 1 Comme c est un multiple de 3, il existe un entier k 2 tel que c = 3k 2 Alors : b + c = 3k 1 +3k 2 = 3(k 1 + k 2) = 3k, où k = k 1 + k
1 sur 4 NOTION DE MULTIPLE, DIVISEUR ET NOMBRE PREMIER
2 sur 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques Propriété : La somme de deux multiples d’un entier a est un multiple de a Démonstration au programme : avec a = 3
Extrait de cours maths 3e Multiples et diviseurs
Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9 Exercice 4 La somme de quatre multiples consécutifs de 7 est égale à 266 Quels sont ces quatre entiers ? Exercice 5 1 L’entier n est un multiple de 12 Écrire n sous forme littérale 2 En utilisant cette écriture, montrer que n est un multiple de 4 3
FICHE TD 3 PAGE - LE – MATHS – ZURIER BLOG DE
multiples quelconques de 3 est un multiple de 3 Conjecturer le EXERCICE 3 Démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair EXERCICE 4 Démontrer que la somme de deux nombres impairs est un nombre pair EXERCICE 5 On additionne un nombre pair et un nombre impair On s’interroge alors si la somme est paire ou impaire 1
Arithm tique - PGCD - académie de Caen
Exercice 3 : a) Que peut on dire de deux multiples consécutifs de 3 ? b) Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est un multiple de 3 c) Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9 DIVISEUR D’UN NOMBRE ENTIER Exemple : 12 = 3 x 4 Les nombres 3 et 4 sont des diviseurs de 12
1 Multiples et diviseurs
La somme de deux multiples d’un même entier relatif aest aussi un multiple de a Propriété 2 ♣ Démonstration 1 1/2 2 Nombres pairs et impairs
Exercice2 - Moutamadrisma
3 Montrer que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5 4 Montrer que la somme de trois nombres pairs consécutifs est un multiple de 6 5 Montrer que la somme de trois nombres impairs consécutifs est un multiple de 3 6 n , m et k trois entiers naturels, montrer que si 3n 2m et 7n 5m sont deux multiples de k
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers
diviseurs de 145 12 = 4 3 = 1 12 = 6 2 4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12 par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12 5 IN: déterminer les multiples de 9 comprises entre :23 et 59 Solutions : les multiples de 9 s’écrivent sous la forme: 9k avec : k 23 9 59 k donc : 23/9 59/9 k donc : 2 5 6 5 k donc :
MEEF-M1 / UE2 / Fiche Arithmétique - CRPE : à nous deux
De la même manière, on en déduit que est aussi un multiple de 3, de 4, de 5 et de 6 Être un multiple de 4 implique d’être un multiple de 2 Cette dernière information est donc inutile Être un multiple de 6 implique d’être à la fois un multiple de 2 et de 3 Ces deux dernières informations sont donc aussi inutiles
[PDF] la somme de deux nombres décimaux est 24
[PDF] La somme de deux nombres entiers est 24 L'un des nombres est le double de l'autre Quels sont ces deux nombres
[PDF] la somme de deux nombres relatifs
[PDF] La somme de deux produits
[PDF] la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3
[PDF] la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3
[PDF] la somme de trois nombres consécutifs est 24 trouver ces trois nombres
[PDF] la somme de trois nombres consécutifs est 75 quels sont ces trois nombres
[PDF] La somme des carré est egale a 15313
[PDF] La somme des mesures de l'angle
[PDF] la somme du produit
[PDF] la somme du produit de 16 par 4 et de 9
[PDF] La somme et le quotient
[PDF] La somme ou un produit
Dans ce chapitre , les nombres considérés seront des entiers naturels ( donc positifs )
DIVISION EUCLIDIENNE
"Faire une division", c"est calculer un quotient.Par exemple, le quotient de 12 par 3 est 4. Très souvent, l"élève dit que la division "tombe" juste.
Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division "ne tombe pas juste".
Le seul résultat mathématique acceptable que nous pouvons donner est la fraction . Si le problème a un aspect physique, il est possible de donner une valeur approchée. Il existe certains exercices dont la recherche s"effectue avec des nombres entiers. Par exemple: "Vous disposez de 23 €. Combien de stylos à 7 € l"unité pouvez-vous acheter?"Il est inutile, pour résoudre ce problème, de "continuer" la division ( Le résultat est nécessairement un
nombre entier ).Mais comment écrire ce résultat?
Il est incorrect d"écrire :
La division posée ci-dessus nous apprend que nous pouvons acheter 3 stylos ( pour un total de 3 x 7 , soit
21 € ) et qu"il nous restera alors 2 €.
Une façon d"écrire tous ces résultats est le suivant: 7 12THEME :
ARITHMETIQUE
P.G.C.D.
EUCLIDE
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels. Faire une division euclidienne consiste à rechercher deux entiers naturels q et r respectivement appelés quotient euclidien et reste tels que : a = b x q + r avec r < bRemarque : Vocabulaire
Dans l"écriture a = b x q + r , a s"appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient euclidien et r le reste.
Remarque :
Nous pouvons écrire :
17 = 5 x 3 + 2 ou 17 = 5 x 2 + 7 ou 17 = 5 x 1 + 12
L"écriture correcte de la division euclidienne de 17 par 5 est la première. Le reste doit être inférieur au
diviseur!MULTIPLE D"UN NOMBRE ENTIER
Les nombres 0 , 3 , 6 , 9 , ... 27 , 30 , ... sont des multiples de 3 Un nombre est multiple de 3 lorsqu"il peut s"écrire comme produit de 3 et d"un nombre entier. Cas général : ( le signe x est le symbole de la multiplication )Un multiple de a est un nombre du type k x a
Remarque :
Un nombre b est multiple de a lorsque le reste de la division euclidienne de b par a est nul, c"est à dire, lorsqu"il existe un nombre k tel que b = k x aExemple 1 :
35 est-il un multiple de 5 ?
Nous pouvons écrire : 35 = 7 x 5
donc 35 est un multiple de 5 .Remarquons que cette écriture permet également de conclure que 35 est un multiple de 7. ( 35 = 5 x 7 )
Exemple 2 :
138 est-il un multiple de 11 ?
La division euclidienne de 138 par 11 est :
138 = 12 x 11 + 6
Le reste est différent de 0, donc 138 n"est pas un multiple de 11.Exemple 3 :
4 527 est-il un multiple de 9 ?
Nous pouvons opérer de la même façon que précédemment en effectuant la division euclidienne de 4 527
par 9.3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
3 x 11 = 33
La multiplication est distributive sur l"addition, c"est à dire : a x ( b + c ) = a x b + a x c
ou ( b + c ) x a = b x a + c x a Vous disposez également du critère de divisibilité par 9.Remarque :
Multiples de 2 : 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , ...Multiples de 3 :
0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , ...
Multiples de 7 :
0 , 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , ...
Le nombre 0 est multiple de tout nombre entier.
Exercice 2 :
a) Soit n un entier naturel non nul.Donner une écriture littérale de l"entier " qui le suit », puis de l"entier " qui le précède ».
b) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3. La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de 4 ? c) On considère cinq entiers consécutifs et on isole le troisième. Démontrer que la somme des quatre entiers restants est un multiple de 4.Remarque : Nombres pairs - Nombres impairs
Les nombres pairs sont les multiples de 2.
Donc un nombre pair est un nombre qui s"écrit sous la forme k x 2 , soit 2k Tous les nombres pairs s"écrivent donc : 2k .Comment maintenant définir un nombre impair.
· Nous pouvons constater qu"un nombre impair est toujours précédé d"un nombre pair. Par conséquent , un nombre impair est la somme d"un nombre pair et de 1. Un nombre impair s"écrit donc sous la forme 2k + 1.· Un nombre impair est par définition, un nombre qui n"est pas pair, c"est à dire un nombre qui n"est
pas divisible par 2. Comme les restes possibles, dans une division ( euclidienne ) par 2, ne peuvent être que 0 ou 1, la division d"un nombre impair par 2 a pour reste 1. Donc tous les nombres impairs s"écrivent sous la forme 2k + 1. Somme et différence de 2 multiples d"un nombre : Exemple : Considérons deux multiples de 5. Par exemple, 35 et 20.35 est un multiple de 5 car 35 = 7 x 5
20 est un multiple de 5 car 20 = 4 x 5
La somme 35 + 20 est-elle un multiple de 5 ?
Méthode 1 :
35 + 20 = 55 = 11 x 5 donc 35 + 20 est un multiple de 5
Méthode 2 :
35 + 20 = 7 x 5 + 4 x 5 = ( 7 + 4 ) x 5 = 11 x 5 d"où la même conclusion.
La différence 35 - 20 est-elle un multiple de 5 ?Méthode 1 :
35 - 20 = 15 = 3 x 5 donc 35 - 20 est un multiple de 5
Méthode 2 :
35 - 20 = 7 x 5 - 4 x 5 = ( 7 - 4 ) x 5 = 3 x 5 d"où la même conclusion.
Cas général : Considérons b et c ( b supérieur ou égal à c ) deux multiples d"un même nombre a.
Comme b est un multiple de a, il existe un nombre k tel que b = k x a Comme c est un multiple de a, il existe un nombre k" tel que c = k" x aDonc :
b + c = k x a + k" x a = ( k + k" ) x a donc b + c est un multiple de a .De même :
b - c = k x a - k" x a = ( k - k" ) x a donc b - c est un multiple de a .Propriété :
La somme et la différence de deux multiples d"un même nombre entier a sont des multiples de a.Produit d"un multiple d"un nombre par un entier :
Exemple : Le nombre 27 est un multiple de 3.
Que peut-on dire du nombre 5 x 27 ?
27 est un multiple de 3 car 27 = 3 x 9
donc5 x 27 = 5 x 3 x 9 = ( 5 x 3 ) x 9 = 15 x 9 donc 5 x 27 est un multiple de 9 .
Propriété :
Le produit d"un multiple de a par un nombre entier est un multiple de a.Exercice 2 :
Sans utiliser les deux propriétés précédentes, montrer que : · La somme de deux nombres pairs est un nombre pair. · La somme d"un nombre pair et d"un nombre impair est un nombre impair. · La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. · Le produit de deux nombres pairs est un nombre pair. · Le produit d"un nombre pair et d"un nombre impair est un nombre pair. · Le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. · Le carré d"un nombre pair est un nombre pair. · Le carré d"un nombre impair est un nombre impair.Exercice 3 :
a) Que peut on dire de deux multiples consécutifs de 3 ? b) Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est un multiple de 3. c) Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9.DIVISEUR D"UN NOMBRE ENTIER
Exemple :
12 = 3 x 4
Les nombres 3 et 4 sont des diviseurs de 12.
Cas général : ( le signe x est le symbole de la multiplication ) Un nombre d est diviseur de a si il existe un nombre k tel que a = k x dExemples :
6 est un diviseur de 30 car nous pouvons écrire 30 = 5 x 6.
2 est un diviseur de 124 car nous pouvons écrire 124 = 62 x 2.
3 n"est pas un diviseur de 10 car nous ne pouvons pas trouver, parmi les nombres entiers naturels, un
nombre qui multiplié par 3 donne 10.10 = ? x 3
Etudier la parité d"un
entier naturel, c"est déterminer s"il est pair ou impair.Remarque :
Si d est un diviseur de a, alors a est un multiple de d. Par exemple, 3 est un diviseur de 12 car 12 est un multiple de 3.Remarque :
1 est diviseur de tout nombre.
Le nombre 1 divise tout nombre a car nous avons : a = a x 1.Remarque :
Tout nombre supérieur à 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui même.(Le nombre 1 n"a qu"un seul diviseur ) RECHERCHE DES DIVISEURS D"UN NOMBRE ENTIER NATURELExemple 1 :
Quels sont les diviseurs de 48 ?
Nous savons que 48 a au moins deux diviseurs 1 et 48Nous pouvons essayer tous les nombres compris entre 1 et 48 et tester s"ils sont diviseurs ou pas de 48.
Ce travail risque d"être long.
Procédé permettant de déterminer tous les diviseurs d"un nombre :Nous avons : 48 = 1 x 48
Cette écriture nous révèle en vérité deux diviseurs : 1 et 48. Augmentons le premier facteur. Après 1, essayons 2. Nous obtenons :48 = 2 x
24Cette nouvelle écriture fait apparaître deux nouveaux diviseurs 2 et 24. Continuons cette méthode. Après 2 , essayons 3.
48 = 3 x
16Encore deux nouveaux diviseurs : 3 et 16
Continuons avec 4.
48 = 4 x
12Encore deux nouveaux diviseurs : 4 et 12
Réitérons cette méthode avec 5.
48 n"est pas un multiple de 5 ( 5 n"est pas un
diviseur de 48 ) (Voir caractères de divisibilité )Réitérons avec 6. Nous avons :
48 = 6 x
8Deux nouveaux diviseurs : 6 et 8.
On continue avec 7 qui n"est pas un diviseur de 48. Puis nous passons à 8. Nous obtenons :48 = 8 x 6
Mais cette écriture ne nous dévoile pas de nouveaux diviseurs. Ces diviseurs 6 et 8 ont déjà été trouvés
précédemment.Stoppons cette recherche.
Alors que le premier facteur augmente, nous constatons que le second facteur diminue. Lorsque le second
facteur devient inférieur ( ou égal ) au premier facteur, la recherche d"autres diviseurs est inutile. Le
second facteur reprendra des valeurs déjà déterminées.Les diviseurs de 48 sont :
1 , 48 , 2 , 24 , 3 , 16 , 4 , 12 , 6 , 8
soit en ordonnant cette liste :1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48 soit 10 diviseurs .
Réitérer : Recommencer quelque
chose que l"on a déjà fait.Un nombre premier est un entier
naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.5 = 5 x 1
Le nombre 5 est un nombre premier
Exemple 2 :
Quels sont les diviseurs de 36 ?
Notons qu"il y a 9 diviseurs ( 6 apparaît deux fois )Remarque :
Un nombre a toujours un nombre pair de diviseurs sauf s"il est un carré parfait. Un carré parfait a un
nombre impair de diviseurs.PGCD DE DEUX NOMBRES
Définition :
Le P.G.C.D. de deux entiers naturels est le plus grand diviseur commun de ces deux nombres.Remarque :
On devrait dire P.G.D.C. ( Plus Grand Diviseur Commun ). Cette appellation a existée mais n"a pu remplacer l"expression que l"usage a adoptée : P.G.C.D. ( Plus Grand Commun Diviseur )Remarque :
Le PGCD deux nombres existe puisque tout nombre admet 1 comme diviseur. De plus, il est inférieur au
plus petit des nombres.Exemple 1 :
Déterminer le PGCD de 20 et 24 ( le PGCD de 20 et 24 se note PGCD(20,24) )Il suffit de déterminer les diviseurs de 20, puis les diviseurs de 24, et de prendre le plus grand des
diviseurs communs à ces deux nombres.Exemple 2 :
Déterminer le PGCD de 25 et 18
Remarque :
Ce procédé est simple et rapide lorsque les nombres ne sont pas importants. Le problème est plus difficile si l"on vous demande de calculer le PGCD de 15 953 et 13 727. Nous étudierons un procédé un peu plus loin.Remarque :
Il est possible de chercher le PGCD de plusieurs nombres. Il suffit de procéder comme ci-dessus :établir la liste des diviseurs de chacun des nombres, puis déterminer le plus grand de ces diviseurs.
Par exemple : PGCD( 12 , 20 , 38 ) = 2
Remarque :
Le PGCD de deux nombres est très utile pour simplifier deux fractions.NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
Définition :
Deux nombres sont premiers entre eux si le PGCD de ces deux nombres est égal à 1Exemples :
Nous avons PGCD( 20 , 24 ) = 4 ( cf. ci-dessus )Donc 20 et 24 ne sont pas premiers entre eux.
Nous avons PGCD( 25 , 18 ) = 1 ( cf. ci-dessus )Donc 25 et 18 sont premiers entre eux.
Définition et propriété :
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. ( c"est à dire si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1 ) ? Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD. En reprenant les deux exemples étudiés précédemment, nous avons : le.irréductib est 18 25Remarque :
Il semble inutile de faire appel à la notion de PGCD pour simplifier la fraction précédente.
La simplification est rapide et évidente. Nous verrons dans la suite que cette notion devient nécessaire
pour simplifier des fractions du type ALGORITHME ET ALGORITHME D"EUCLIDE ( IIIEME SIECLE AVANT J.C. )Le calcul du PGCD de deux nombres par la recherche des diviseurs communs peut s"avérer longue et pénible si les
nombres sont importants. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le PGCD.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46