Nombre pair - Nombre impair - académie de Caen
La somme de deux nombres de parité différente est un nombre impair Somme de deux nombres pairs : Prenons deux nombres pairs Le premier est 2n et le second 2p ( Un nombre impair est du type 2 x ) Nous avons : 2n + 2p = 2( n + p ) Ce résultat est de la forme 2 x , ( multiple de 2 ) , donc la somme est paire Somme de deux nombres impairs :
Nombres entiers - La classe inversée de Mme TESSE
400 est un multiple de 16 b 25 divise 400 400 est le quotient de 16 et 25 d 16 est un diviseur de 400 1 a Recopier la liste de nombres suivants : 56; 4 365 ; 897 ; 50 ; 653 367 ; 78; 780 b Entourer en bleu les nombres divisibles par 2, et en rouge les nombres divisibles par 5 2, Parmi les nombres ci-dessous, lesquels sont
Somme des n premiers entiers - académie de Caen
Il est donc égal à la somme des n premiers entiers naturels Un nombre triangulaire d'ordre n est donc égal à la somme de tous les nombres de 1 à n Question 2 : a)Compléter le tableau suivant : Nombre triangulaire d’ordre 1 d’ordre 2 d’ordre 3 d’ordre 4 d’ordre 5 d’ordre 6 d’ordre 7 d’ordre 8 d’ordre 9
Fiche dexercices sur les nombres premiers
3) On suppose mamtenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est à chre que p = 112 + v2 oil u et v sont deux entiers naturels stnctement posltifs a) Vérifier que le couple (11/2 — v21 , 2111' est solution de (E) b) Donner une solution de l'équatlon (E) lorsque quep = 5 puis lorsque p = 13
Sommes dentiers élevés à une puissance quelconque
Considérons la suite a+b;a+2b;a+3b; , a+nb, ou a et b sont des nombres quelconques (éventuellement des entiers) et faisons la somme de ses termes portés chacun à la puissance k Le terme courant de cette somme est : (a+ bm) k= Xk p=0 k p a pb mk p En additionnant ce terme de m = 1 à m = n on trouve : Xn m=0 (a+ bm)k = ak + k p=0 k p a
Récursivité 1 Exercices - Formations en Informatique de Lille
Exercice 2-6 Prduito de deux entiers Question 1 Proposez un algorithme récursif de calcul du produit de deux entiers naturels a et b en supposant que les seules opérations de base dont vous disposez sont la somme de deux entiers a et b : a + b le retrait de 1 à un entier a : a 1 et la comparaison à 0 d'un entier a : a = 0
Nombres premiers
Un entier n a 5 diviseurs et n−16 est le produit de deux nombres premiers 1) Prouver que n =p4, avec p premier 2) Écrire n−16 sous forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p 3) En déduire la valeur de n EXERCICE 28 Déterminer deux entiers naturels a et b tels que a >b, pgcd(a,b)=18, et qui ont respectivement 21 et 10
Algorithmes d’arithmétiques
7 3 Calculer la puissance de deux entiers positifs 1 calculer et renvoyer la valeur de x à la puissance y (x 2 F 2 7 4 Nombres parfait Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même Par exemple 6 est un nombre parfait car les diviseurs de 6 sont 1,2,3 et 6 et puisque 6=1+2+3
GEOMETRIE PLANE TRIANGLES - DROITES PARTICULIERES
Moyenne : somme de toutes les valeurs / nb de valeurs Moyenne pondérée : (série X coef) / effectif total Médiane : valeur du caractère tel que au moins 50 de la population a pour ce caractère une valeur inférieure ou égale à la médiane et au moins 50 a pour ce caractère une valeur supérieure ou égale à la médiane
[PDF] La somme de deux nombres entiers est 24 L'un des nombres est le double de l'autre Quels sont ces deux nombres
[PDF] la somme de deux nombres relatifs
[PDF] La somme de deux produits
[PDF] la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3
[PDF] la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3
[PDF] la somme de trois nombres consécutifs est 24 trouver ces trois nombres
[PDF] la somme de trois nombres consécutifs est 75 quels sont ces trois nombres
[PDF] La somme des carré est egale a 15313
[PDF] La somme des mesures de l'angle
[PDF] la somme du produit
[PDF] la somme du produit de 16 par 4 et de 9
[PDF] La somme et le quotient
[PDF] La somme ou un produit
[PDF] la somme, le produit et la différence
GAUSS Karl Friedrich (allemand) 1777-1855 :
On raconte qu"en Allemagne , à la fin du 18ème siècle, un instituteur, pour punir ses élèves,
leur avait demandé de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à 1OO. Espérant ainsi avoir pendant un certain temps un peu de calme, il fut surpris lorsqu"un enfant du nom de Karl Friedrich GAUSS leva rapidement la main et lui proposa la bonne solution.Ce jeune enfant prodige devint, par la suite, un très grand mathématicien et physicien. Il sera surnommé
par ses pairsPrince des mathématiciens.
Question 1 :
Soit S = 1 + 2 + 3 + ...... + ( n - 1 ) + n
En procédant comme Gauss , montrer que : 2S = n( n + 1). En déduire la formule donnant la somme des n premiers entiers naturels : 2 ) 1 n n( S+=Application numérique :
Calculer la somme des 10 premiers entiers naturels , puis la somme des 100 premiers entiers naturels.
§o Un autre procédé : ( Méthode de l"escalier )Les chinois utilisaient beaucoup les puzzles , c"est à dire un emboîtement de pièces, pour démontrer
certaines propriétés géométriques. Calculons par exemple la somme des 5 premiers entiers naturels.1 + 2 + 3 + 4 + 5
Disposons des carrés de la façon suivante : 5 carrés tout d"abord surmontés de 4 carrés , puis de 3
carrés, puis de 2 carrés et enfin d"un seul carré. Nous désirons connaître le nombre total de carrés
( dans cet exemple, il est facile de les compter , mais cette méthode peut s"appliquer pour un nombre quelconque )
Reprenons le même type d"escalier ( donc le même nombre de carrés ) et procédons comme suit :
Nous obtenons un rectangle formé de ( 5 + 1 ) carrés sur 5 carrés , soit 6 x 5 carrés, c"est à dire 30
carrés.Pour connaître la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , il suffit de diviser par 2 ce résultat. Nous obtenons
15 . Nombres triangulaires : Certains nombres ( 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , ... ) s"appellent des nombres triangulaires. Ils peuvent se représenter comme suit : Pour calculer la somme des n premiers entiers naturels en utilisant cette méthode, il suffit d"imaginer un escalier composé de n carrés, surmontés de ( n - 1 ) carrés , .... En reprenant un escalier identique et procédant comme ci-dessus, nous obtenons un rectangle composés de carrés. Le nombre de carrés sur la longueur est n + 1 et le nombre de carrés sur la largeur est n . Il y a donc n( n + 1 ) carrés au total. Pour déterminer la somme S = 1 + 2 + ... + n , il suffit de diviser par 2 cette somme.Nous obtenons
2 ) 1 n n( S+=1 s"appelle un nombre triangulaire d"ordre 1
3 s"appelle un nombre triangulaire d"ordre 2
6 s"appelle un nombre triangulaire d"ordre 3
10 s"appelle un nombre triangulaire d"ordre 4
Remarque :
Le premier nombre triangulaire est 1.
Pour former le second nombre triangulaire, il suffit d"ajouter 2. Le deuxième nombre triangulaire est
donc égal à1 + 2 .
Le troisième nombre triangulaire s"obtient en ajoutant au second nombre triangulaire 3. Donc, ce troisième nombre triangulaire est égal à1 + 2 + 3.
Le n-ième nombre triangulaire est donc égal à1 + 2 + 3 + ... + n . Il est donc égal à la somme des n
premiers entiers naturels Un nombre triangulaire d"ordre n est donc égal à la somme de tous les nombres de 1 à nQuestion 2 :
a)Compléter le tableau suivant :Nombre
triangulaire d"ordre 1 d"ordre 2 d"ordre 3 d"ordre 4 d"ordre 5 d"ordre 6 d"ordre 7 d"ordre 8 d"ordre 9
Valeur 1
1 + 2
31 + 2 + 3
6 b)Compléter les phrases suivantes :Si le nombre triangulaire d"ordre 7 est connu, pour calculer le nombre triangulaire d"ordre 8, il suffit
de ............................................................ .Si le nombre triangulaire d"ordre n est connu, pour calculer le nombre triangulaire d"ordre n + 1, il suffit
de ............................................................ .Remarque : ( sans démonstration )
Tout nombre est la somme d"au plus 3 nombres triangulaires Les nombres premiers triangulaires sont 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36, 45 , ... Par exemple , 5 = 3 + 1 + 1 , 12 = 1 0 + 1 + 1 , 27 = 6 + 21 , 83 = 45 + 28 + 10Remarque : ( sans démonstration )
Cette disposition de nombres s"appelle le
triangle de Pascal. ( tableau déjà mentionné dans le cours sur les identités remarquables ) Chaque nombre est obtenu en additionnant le nombre situé juste au-dessus avec le nombre situé au -dessus à gauche. 1 1 11 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10
10 5 1
1 6 15
20 15 6 1
Ce nombre 3 s"obtient en ajoutant le
nombre situé au-dessus, à savoir 1 et le nombre situé au-dessus à gauche, c "est à dire 216 = 42
Il est remarquable de constater que les nombres triangulaires apparaissent dans la troisième colonne !!
Question 3 :Nous appellerons Tn le nombre triangulaire d"ordre n.Par exemple
T1 = 1 , T2 = 1 + 2 = 3 , T3 = 1 + 2 + 3 = 6 .
Calculer T
4 + T3 . Est-ce un carré parfait ( c"est à dire est-ce le carré d"un entier ) ? Duquel ?
Calculer T
5 + T4 .Est-ce un carré parfait ? De quel entier ?
Nous savons que
2 ) 1 n n( nT+= . Montrer que 2 n ) 1 - n ( 1 - nT=Calculer T
n + Tn - 1 . Que peut-on en conclure ?Remarque :
Vous venez de démontrer que :
La somme de deux nombres triangulaires successifs est un carré Illustration géométrique ( pour un cas particulier )Constatons que T
4 + T3 = 10 + 6 = 16 = 4²
En changeant la disposition triangulaire des nombres ( représentation sous forme de triangles rectangles ) , nous constatons que :Remarque :
La différence entre les carrés de deux nombres triangulaires successifs est un cube 1 1 11 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10
10 5 1
1 6 15
20 15 6 1
Question 4 :
En conservant la notation précédente Tn , nous constatons que : T2²- T1² = 3² - 1² = 8 = 23
De même T3²- T2² = 6² - 3² = 27 = 33 et T4²- T3² = 10² - 6² = 64 = 43
Calculer Tn²- Tn - 1² , c"est à dire
2222
2 n ) 1 - n ( - 2) 1 n ( n 1 - nT - nT?
. Conclusion.Remarques : ( sans démonstration )
Il y a beaucoup de choses à dire sur les nombres triangulaires.?La différence entre deux cubes successifs est égale à 6 fois le triangulaire de rang le plus faible
plus un n3 - ( n - 1 )3 = 6 Tn-1 + 1 par exemple : 83 - 73 = 512 - 343 = 169 et 6 x T7 + 1 = = 6 x 28 + 1 =168 + 1 = 169
?La puissance 4e de tout nombre est la somme de nombres triangulaires24 = 16 = 1 + 15 = T1 + T5
34 = 81 = 15 + 66 = T5 + T11
44 = 256 = 66 + 190 = T11 + T19
54 = 625 = 190 + 435 = T19 + T29
64 = 1296 = 435 + 861 = T29 + T41
74 = 2401 = 861 + 1540 = T41 + T55
Exercices d"application :Question 5 : Les poignées de main
Si 7 personnes se rencontrent et que chacune ne serre la main des autres qu"une seule fois, Combien de poignées de main se seront échangées ?Question 6 : A la votre !
M. et Mme Dupont ne peuvent pas dormir. Leurs voisins du dessus donnent une petite fête. Tout à coup,
un bouchon saute, et les joyeux fêtards trinquent tous ensemble. M. Dupont compte 28 tintements de
verres.Combien y a-t-il de personnes à cette fête
Question 7 : Une nouvelle tournée
Les voisins des Dupont donnent à nouveau une petite fête.Un bouchon saute, et les convives trinquent tous ensemble. M. Dupont, ne pouvant toujours pas dormir,
passe le temps en comptant les tintements de verre. Bientôt, un bruit de porte indique qu"un desconvives vient de partir. Cela n"empêche pas les autres de continuer à s"amuser, d"ouvrir une nouvelle
bouteille, et de trinquer à nouveau tous ensemble. M. Dupont compte le nombre de tintements, et déclare
à sa femme: "Tiens, cette fois, il y a eu 6 tintements de moins".Combien reste-t-il de personnes ?
Question 8 :
10 points distincts sont donnés dans un plan de telle façon que
3 quelconques d"entre eux ne soient
jamais alignés. Quel nombre de droites ( ou segments ) pouvons-nous tracer ?Question 9 : Concours d"admission au prytanée militaire , au collège militaire de Saint-Cyr, au
lycée naval de Brest et aux collèges militaires d"Aix-en-Provence et d"Autun ( avril 82 ) Seconde épreuve de Mathématiques : RéflexionL"usage de la machine à calculer est interdit
I . Pour calculer la somme S définie par S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 , on peut procéder ainsi :
2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +64
S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +32
En retranchant les deux égalités ci-dessus, membre à membre, on obtient :2S - S = 64 - 1 , c"est à dire
S = 63
1.Utiliser cette méthode et les tableaux ci-dessous pour trouver l"entier naturel égal à :
19322 2 2 2 1+¼++++
2.En utilisant une méthode analogue, calculer l"entier naturel :
924 4 4 1+¼+++
puis la fraction 1921 .... 41 21 1++++
Tableau donnant des valeurs dont certaines doivent être utilisées :304 194 4 2
000 650 804 439 4 152097 2 2000 160 951 109 4 576 048 1 2000 791487 27 4 288 524 2
22212120201919
Remarques supplémentaires :C"est à un grec NICOMAQUE de Gerase, ( vers 150 ) que l"on doit la première étude des nombres
triangulaires (Gerasa est une ville de Palestine, dans l"actuelle Jordanie). Ce fut un admirateur dePythagore, dont il écrivit une biographie. Il s"intéressa tout particulièrement à l"arithmétique et à la
musique. Son traité ne s"arrête pas aux nombres triangulaires . Il fait l"étude des nombres figurés, c"est à diredes nombres que l"on peut représenter par des figures géométriques : triangulaires, carrés ,
pentagonaux, etc. Nous pouvons constater que ces nombres carrés sont des carrés parfaits ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) . De plus, nous pouvons remarquer (sans démonstration ) que la somme des nombres impairs consécutifs estégale à :
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n - 1 ) = n2
Ordre du
nombre carré Valeur de ce nombre carré 1 12 4 = 1 + 3
3 9 = 4 + 5 = ( 1 + 3 ) + 5
= 1 + 3 + 54 16 = 9 + 7 = ( 1 + 3 + 5 ) + 7
= 1 + 3 + 5 + 7SOLUTION
Question 5 :
Les poignées de main
Si 7 personnes se rencontrent et que chacune ne serre la main des autres qu"une seule fois, Combien de poignées de main se seront échangées ?Méthode 1 :
Chaque personne donne 6 poignées de main ( on ne se donne pas, à soi, une poignée de main !)
Comme le nombre de personnes est 7 , il y a 7 fois 6 poignées de main , soit 42 poignées de main.
Mais attention, chaque poignée de main est comptée deux fois.Le nombre de poignées de main est donc :
2 42 26 7 =´ soit 21
Méthode 2 :
Prenons les personnes une par une et imposons un ordre dans les poignées de main.. La première personne donne 6 poignées de main.La deuxième personne donne alors 5 poignées de main. Elle ne serre pas la main, une nouvelle fois, au
premier. La troisième personne donne ensuite 4 poignées de main. Et ainsi de suite ...Numéro de la personne 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de poignées de main 6 5 4 3 2 1 0
Donc le nombre de poignées de main est de
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 . C"est la somme des 6 premiers entiers
naturels . Nous avons d"après la formule étudiée précédemment : 21 242 2
6 7 S==´=
Le nombre de poignées de main est
21D"après Fermat (1636) :
Tout entier naturel peut s"écrire comme somme de n nombres polygonaux d"ordre n (3 nombres triangulaires, 4 nombres carrés, 5 nombres pentagonaux, etc.)Ce résultat fut démontré
pour n = 3 par Lagrange, pour n = 4 par Legendre dans le cas général , par Cauchy (1813). Ces travaux relèvent de ce que l"on appelle la théorie additive des nombresQuestion 10 : LES COPAINS D"ABORD (coefficient 1)
Les copains et moi, on forme une sacrée équipe de hand-ball. L"équipe complète compte 7 joueurs, il n"y
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