Les produits remarquables - cours de profs pour enseignants

2 2 Inversion de compteur On multiplie la variable de départ par −1, puis on ajoute une constante Les deux variables, celle de départ et la nouvelle, varient donc en sens contraire Que la somme soit écrite avec l’une P˚t˙s˚iﬄ2 O V`a‹n`a`d˚i`aﬄ 2020/2021

SOMMES ET PRODUITS - bagbouton

correspond à la somme de toutes cases du tableau en sommant d’abord les lignes puis en faisant la somme des Si obtenus Cette double somme correspond aussi à la somme de toutes cases du tableau en sommant d’abord les colonnes puis en faisant la somme des S j obtenus L’ordre de sommation n’a donc pas d’importance, on peut écrire , ,

P Q Sommes et produits nis : et

(en e et, pour q= 1, on est ramen e a la somme d’une constante) Plus g en eralement, dans le cas ou q6= 1, pour tout entier p: Pn k=p qk = qp 1 qn p+1 1 q = 1erterme 1 qnb termes 1 q ou Pn k=p qk = qp qn+1 1 q = 1erterme de la somme 1erterme qui n’est pas dans la somme 1 q Sommes t elescopiques : sommes du type Pn k=p (a k+1 a k) ou Pn k=p

SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX

Quand on ne sait pas quoi faire de deux sommes emboîtées, on peut toujours essayer de les permuter Exemple Soit n ∈ N∗ On ne voit pas trop comment on pourrait simpliﬁer la somme Xn j=i 1 j = 1 i + 1 i +1 + + 1 n pour tout i ∈ ¹1,nº Il est en revanche facile de simpliﬁer la somme de ces sommes Xn i=1 n j=i 1 j = 1¶i¶j¶n 1

Sommes, produits et coe cients binomiaux

Dans la pratique, on constate que les deux méthodes pour calculer une même somme n'aboutissent pas toujours toutes les deux Il convient alors de bien choisir l'indice par lequel on av commencer la sommation 7/7

Récurrence, sommes, produits

Lorsqu'on a une somme double où les indices des deux sommes ne dépendent pas l'un de l'autre, on peut intervertir les sommes, et donc sommer dans l'ordre qu'on préfère (c'est le cas notamment de la somme de l'exemple 4) Ce n'est pas le cas si les indices dépendent l'un de l'autre Exemple 8 Soit n2N Calculer X 06i6j6n ij 6

Produit maximal de deux nombres connaissant leur somme

Le produit de deux nombres dont la somme des carrés est constante est maximal lorsqu’ils sont égaux 2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*) x et y sont deux réels tels que x y a 2 2 où a est un réel fixé (positif, bien entendu)

Récurrence, somme, produit

Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose i= k+ mou k= i m Il y a deux types de changements à véri er : 1)Dans leterme général de la somme: on remplace tous les kpar i m 2)Dansles bornes: on ré échit aux aleursv des indices Borne inférieure : lorsque k= p, on a i= p+ m Borne supérieure : lorsque k= n, on a i= n+ m

Calculs numériques 1 – révisions - La classe inversée de

Calculer astucieusement la somme : 1 + +3 + + +2 016) Calculer astucieusement la somme : +2 + (—2 01 5) +2 016 : I Evaluer un produit Que vaut le produit de 2 01 7 facteurs tous égaux Arrondir ou tronquer un nombre décimal DU SOCLE Sami achète à l'épicerie deux boites de haricots verts à 0,80 € la boite, trois paquets de pâtes