Changement de Variables dans les Int egrales Multiples

Exemple 3 3 Z 1 p 1 2x dx E ectuons le changement de variable x= cos(t) dx= sin(t)dt t= arccos(x) Pour la bijectivit e, nous supposons 1 x 1 et 0 t ˇ

Changement de variables - Free

Exemples de r edaction Changement de variables Calculer l’int egrale suivante : I = Z 4 1 1 p t p t dt Indication : On pourra e ectuer le changement de variable u = p t Au brouillon u = p t =) du dt = 1 2 p t = 1 2u =)dt = 2udu t = 1 =)u = 1 et t = 4 =)u = 2 L’int egrale vaut donc : I = Z 2 1 1 u u 2udu = Z 2 1 (2 2u)du = 2u u2 2 1 = 1

Changement de variables dans les intégrales en théorie de

La présence d’une valeur absolue dans cette formule de changement de variables en di-mension quelconque d>1 provient du fait que les mesures de Lebesgue dx= dx 1 dx d sur le Rd-source et dy= dy 1 dy dsur le Rd-but ont été ab initio déﬁnies comme positives (à la physicienne), contrairement au dxriemannien sur R en dimension 1, lequel

Fiche méthode 15 : Faire un changement de variable dans une

Le théorème de changement de variable donne alors, comme ’(1) = p 2 1 = 1 et ’(5) = 10 1 = 3, R 5 1 ’(x)2’0(x)dx= R 3 1 u2du Ilneresteplusqu’àprimitiver R 3 1 u2du= h u 3 3 i 3 1 = 33 3 1 3 = 3 2 1 3 = 9 1 3 = 26 3 Deuxièmeapproche Brouillon : u(x) = p 2x 1 On va intégrer la fonction u De plus, du dx = u 0(x) = p2 2x 1 = p1

Changement de Variables dans les Int egrales Multiples

Le changement de variables est un proc ed e qui consiste a remplacer des variables par de nouvelles C’est une m ethode tr es utilis ee en analyse pour la r esolution d’int egrales La premi ere partie rappelle les notions de changement de variable dans le cas d’int egrales

Fiche 9 Changement de variable

Savoir trouver le bon changement de variable Savoir changer les bornes de l’intégrale Savoir changer l’élément différentiel Vidéo — Fiche 9 Changement de variable Formule du changement de variable Calculer l’intégrale Rb a f (u(x))u0(x)dx par la formule du changement de variable c’est utiliser la formule suivante

Le changement de variable dans un contexte de recherche de

Le changement de variable dans un contexte de recherche de limite Le problème est le suivant : comment déterminer la limite de f(x)=xe 1 x en 0 Avantdepoursuivrevotrelecture,interrogezvous sur la solution intutive que vous donneriez 1 Introduction : votre solution intuitive : Vous aurez sans doute conclu que 1 x tendant vers +∞,e 1

PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens

On consid ere le changement de variable v= p xy;w= p yqui est un C1 di eomorphisme de]0;1[2 dans lui-m^eme Le calcul du d eterminant de la matrice jacobienne donne

Techniques dintégration: par parties, par substitution, par

3 1 Int egration par changement de variable, int egrale ind e nie Dans l’int egration par changement de variable, on e ectue une int egration par substitution \ a l’envers", puis on revient a la variable originelle au moyen de la fonction r eciproque Z g(x)dx x=f(t) = g(f(t))f0(t)dt Dans le cas ou la fonction f est bijective, en notant rf

REGLES DE BIOCHE - MP

(a) Méthodegénérale:On utilise le changement de variable t=tan x 2 On est ramené au calcul de R 2t 1+t2, 1−t2 1+t2 2 1+t2 dt,c’est-à-dire celui de primi-tives d’une fonction rationnelle Ce changement de variable peut conduire à des calculs assez longs Ce changement de variable ne peut être utilisé que sur des intervalles de la

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Changement de Variables dans les Integrales Multiples

Frederic Messine

8 novembre 2010

1 Introduction

Dans cette note de cours, nous aborderons les changements de variables dans les integrales multiples. Le changement de variables est un procede qui consiste a remplacer des variables par de nouvelles. C'est une methode tres utilisee en analyse pour la resolution d'integrales. La premiere partie rappelle les notions de changement de variable dans le cas d'integrales simples et ensuite nous verrons comment l'etendre au cas du changement de variable dans les integrales multiples au moyen de la matrice Jaccobienne introduite au Chapitre 2 du cours sur les fonctions de plusieurs variables. Il faut juste retenir le theoreme fondamental

2, qui vous sera utile par la suite.

2 Changement de Variable-Cas d'Integrales Simples

Soitfune fonctionC1deIRdansIR, si l'on a

Z f

0(x)dx

en posantu=f(x) comme changement de variable l'on obtiendra: Z du= [u] D'ou le si l'on consideref(g(x)) (avecgune fonctionC1deIRdansIR) l'on va avoir que Z f

0ogdg=Z

d(fog) = [fog] Ceci vient du theoreme de la derivation des fonctions composees.

Formalisons les principes enonces ci-dessus:

Theoreme 1Soitfune fonction continue deDIRdansIRet soitune fonction de classeC1de[a;b]dansIR, etIm(f)D, alors Z (b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))0(t)dt: 1 On va montrer dans la preuve que c'est base sur la derivation des fonctions composees.

Preuve:

SoitFune primitive defsurD. On a que la fonction composeeFoest derivable et la derivee est: (Fo)0= (fo)0 D'ou Zb a f((t))0(t)dt=Z b a ((fo)0)(t)dt=Z b a (Fo)0(t)dt= [Fo]ba=F((b))F((a))

Et l'on a que

F((b))F((a)) =Z

(b) (a)f(x)dx Ce qui demontre bien notre theoreme de changement de variable. Pour illustrer ce theoreme, considerons l'exemple suivant:

Exemple 1SoitZ2p

2xcos(x2)dx

on poseu=x2(attentionuest en fait une fonction dex)et doncdu= 2xdx. Commex varie depa2pon auqui va varier dea4(caru=x2).

Ainsi on obtient que:

Z 2p p

2xcos(x2)dx=Z

4 cos(u)du= [sin]4= sin(4)sin() = 0 On voit ainsi sur cet exemple l'utilite du changement de variable dans le calcul integral. Cette utilite se retrouve egalement dans les changements de variables pour les integrales multiples. Remarque 1Utilisons maintenant notre theoreme dans le cas ouest monotone crois- sante ou decroissante sur[a;b](ce qui est tres souvent le cas): {est croissante sur[a;b], alors(a)(b)et l'on retrouve l'egalite de notre theoreme:Z(b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))0(t)dt: {est decroissante sur[a;b], alors(b)(a)et l'on a0(x)0et donc: Z (b) (a)f(x)dx=Z (a) (b)f(x)dx=Z a b f((t))0(t)dt=Z b a f((t))j0(t)jdt:

Et donc dans les deux cas l'on a que

Z (b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))j0(t)jdt: C'est cette derniere equation (avec la valeur absolue) qui va ^etre utilisee pour generaliser au cas des integrales multiples. 2

3 Changement de Variable-Cas d'Integrales Multiples

Maintenant, soitfune fonction de plusieurs variables a valeur reelle, donc deDIRn dansIR. Soit une fonction bijective de classeC1ainsi que sa fonction reciproque 1. SoitTIRnle domaine ou est denie et estC1. On doit avoir (T)D, c'est a dire que est une fonction de plusieurs variables deIRndansIRn. Ainsi par notations on a bien queTIRn, mais il peut ne pas ^etre forcement un rectangle (changement en coordonnees polaires ou cf exemple ci-dessous), et de plus l'on a (t) =0 B BB@ 1(t)

2(t)...

n(t)1 C CCA:

Ainsi (T) va denir le domaine d'integration.

Dans le cas particulier, oun= 2, on a le theoreme suivant: Theoreme 2Avec les hypotheses surfet surexplicitees en debut de ce paragraphe, l'on a: Z Z (T)f(x;y)dxdy=Z Z T f((u;v))jdet(J(u;v))jdudv OuJest la matrice Jacobienne de la fonction . Commen= 2, est une fonction de deux variables (iciuetv) et a valeur dansIR2. Ainsi, sa matrice Jacobienne est de dimension 22. En fait, ce qui est nouveau ici est que l'on va prendre la valeur absolue du determinant de cette matrice JacobienneJ.

Remarque 2Dans les cas simples on auraR R

T=Rb1 a 1R b2 a

2etR R

(T)=R1(b1)

1(a1)R

2(b2)

2(a2),

mais cela n'est pas toujours le cas, cf l'exemple suivant. Dans le cas general oun2, on obtient sensiblement le m^eme theoreme: Theoreme 3Avec les hypotheses surfet surexplicitees en debut de ce paragraphe, l'on a: Z Z Z (T)f(x)dx1dxn=Z Z Z T f((u))jdet(J(u))jdu1dun; oux= (x1;;xn) etu= (u1;;un). A part des dierences sur les notations, c'est le m^eme theor^eme que precedemment. On remarque que bijective va remplacerdans les integrales simples et quej0jva devenir la valeur absolue du determinant de la matrice Jacobienne de .

Exemple 2Soit l'integrale double suivante:

I=Z 2 0Z 0 sin(x+y) + cos(x2y)dxdy L'idee est de poseru=x+yetv=x2ydans le but de simplier les calculs; m^eme si l'on verra que ce n'est pas forcement le cas et que le calcul direct suivant est nalement assez 3 facile. Ceci est un exercice pour vous montrer comment cela marche sur un exemple qui a l'air simple mais qui ne l'est pas tant que cela; d'habitude, on vous pose le changement de variable a faire et tout vient assez naturellement et intuitivement car l'exercice est bien fabrique par le professeur mais ce n'est pas toujours le cas dans la "vraie vie". Le but de cet exercice est d'eclairer certaines parties qui sont en general sous entendues: notamment comment l'on passe de(T)connu (ici[0;][0;2 ]) aT.

R esolutiondans le c asdir ect:

I=Z 2 0Z 0 sin(x+y) + cos(x2y)dxdy Z 2

0[cos(x+y)]x=x=0+ [sin(x2y)]x=x=0dy

Z 2

0cos(+y) + cos(y) + sin(2y)sin(2y)dy

Z 2

02cos(y) + 2sin(2y)dy

= [2sin(y)]2

0[cos(2y)]2

0= 2 + 2 = 4

On obtient nalement la valeur4assez facilement.

Changement de variable:

On pose doncu=x+yetv=x2yet l'on a

(T) =[0;] [0;2

On a en fait

(u;v) =1(u;v)

2(u;v)

23
u+13 v uv3 D'ou f((u;v)) =f(23 u+13 v;uv3 ) = sin(u) + cos(v) et l'on retombe bien sur la simplication que l'on voulait avoir. En appliquant le theoreme du changement de variable, l'on obtient: I=Z Z T sin(u) + cos(v)jdetJ(u;v)jdudv

Or on a:

J (u;v) = @1@u 1@v @2@u 2@v 23
13 13 13 D'ou, jdetJ(u;v)j=23 13 13 13 =13 =13

Et donc,

I=13 Z Z T sin(u) + cos(v)dudv 4 Jusque la c'est relativement simple mais assez dicile a formaliser. Maintenant il faut trouverT.

On a que0xet0y2

et donc023 u+13 vet0uv3 2 A ce moment, on a le choix de faire varieruouvet de voir les consequences sur l'autre variable: ici (et en general) il vaut mieux choisir de xer l'integrale le plus en dehors et de rentrer dans les integrales les plus internes (soit par rapport av). Donc faisons variervle plus librement possible:v=x2ydonc comme0x et0y2 on a quevpeut varier de(cas oux= 0ety=2 ) a(cas ou x=ety= 0). Cependant cela va induire des bornes suruqui vont dependre dev caruetvsont lies par les inegalites023 u+13 vet0uv3 2 . On transpose ici un domaine rectangulaire a un domaine qui est un losange et il faut integrer sur ce losange.

On obtient:

v2 u3v2 etvu32 +v

Ainsi on obtient les bornes suivantes suru:

Siv0;alorsvu32

Siv0;alorsv2

u32 +v;

On a donc,

I=13 Z0 Z 32
+v v2 (sin(u) + cos(v))dudv+Z 0Z 32
v2 v(sin(u) + cos(v))dudv) 13 Z0 [cos(u) +ucos(v)]32 +v v2 dv+Z 0 [cos(u) +ucos(v)]32 v2 vdv 13 Z0 [cos(u) +ucos(v)]32 +v v2 dv+Z 0 [cos(u) +ucos(v)]32 v2 v dv En eectuant le changement de variablew=vdans la premiere integrale et en renomantwenvon reunit les deux integrales de0a: I=13 Z 0 [cos(u) +ucos(v)]32 v v2 + [cos(u) +ucos(v)]32 v2 v dv 13 Z 0 cos32 v +32
v cosv+ cosv2 v2 cosv cos32 v2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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