Alg ebre 1-NOTIONS DE THEORIE DES CORPS

1 6 La fusion entre le corps et l'espace 58 1 6 1 Le corps spatialisé 59 1 6 2 L'espace persomùfié 60 1 6 3 L'humain animalisé 62 1 6 4 «Osmose» des êtres et des matières 64 CHAPITRE II LE CORPS FÉMININ DANS L'ESPACE 66 2 1 Le corps 66 2 1 1 Le concept de corps 67 2 1 2 Le corps romanesque 68

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Alg ebre 1-NOTIONS DE THEORIE DES CORPS

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Algebre1-NOTIONSDETHEORIEDES

CORPS

DavidHarari

corpsestzeroouunnombrepremierp.

Exemples.

Q,R,Csontdescorpsdecaracteristiquezero.

(noterquelesecondestinni). c'estlecorpsdesfractionsdel'anneauZ[i].

1.Corpsetespacesvectoriels

Ksoitunsous-corpsdeL.

extensiondeKenidentiantKa'(K)'K. 1 surK.OnditdanscecasqueLestniesurK.1

MsurK.

Demonstration:SiP

d'elementsdeK,alorsP j2Jfj(P i2Iijei)=0;comme(fj)estunefamille libreduL-evM,onobtientpourtoutjdeJ:P i2Iijei=0,etcomme(ei)

M.Simaintenantx2M,onpeutecrirex=P

j2Jjfjavec(j)famille

Ketona

[M:K]=[M:L]:[L:K] plusloin. desP()avecP2K[T]. K. 2 morphismedeK-algebres)':K[T]!LparP7!P(). esttranscendantsurK. surK ,l'undecesdeuxpolyn^omesannule).

Exemples.

equivalenceentre:

1.estalgebriquesurK.

2.K[]=K().

3 aK[T]quin'estpasuncorps. divisioneuclidiennepardansK[T]). isomorpheaK[T]quiestdedimensioninnie. estalgebriquesurK. estfausse.

1.Mestunsous-corpsdeL.

estlacl^oturealgebriquedeKdansL.

KdeKestune

cl^oturealgebriquedeKsi uniqueaisomorphismepres(nontrivial). 4 M.

Finalementx2M.

2. Q nombrenideracinesdans

Q.L'ensembleR\Qdesreelsalgebriquesest

Q").

2.Corpsderupture,corpsdedecomposition

5 etquiestminimalepourcettepropriete.

P=(X22)(X23)surQ,etlescorpsQ(p

2),Q(p3)(ilsnesontpas

PsurK.D'oul'existence.

L deLsurL0.

Examples.

1.CestlecorpsderupturedeX2+1surR.

2.Q(i)estlecorpsderupturedeX2+1surQ.

3.Q(p i)PestscindesurL. entantquesouscorpsdeC:Q(jp

3)etQ(j2p3)conviennentaussi.

6 surL. laquellePestscinde.

L,quiestuniqueaK-isomorphismepres.

x surK0,alorsilexisteunisomorphismedecorps :L!L0quiprolonge P K

0[0],d'ouunisomorphisme :L!L0quiprolonge'1,doncaussi'.

7 surQ).

3.Corpsnis

estunepuissancedep.Ensensinverse,ona: polyn^omeXqX.OnnotececorpsFq. X corpsdecardinalq. K F 8

4.Polyn^omesirreductibles,exemples

4.1.Lecasdescorpsnis

revancheunequestiondicile. desnombrespremiersdistincts. n1,onaI(n;q)>0.Plusprecisement

I(n;q)=1

nX djn(n=d)qd

Demonstration:NotonsdejaqueP

djn(n=d)qdqnPn=2 d=1qd= q nqn=2q

Onvamontrer:

q n=X djndI(d;q)(1) produitdefacteursirreductiblesunitaires

Q=P1:::Pr

F 9 F F qdFqn.EncomparantledegredeQetdeQr i=1Pi,onobtient(1). djnf(d).Alor f(n)=X djn(n=d)g(d)

Demonstration:Onremarqueque

X djn(d)=1;n(2) X djn(n=d)g(d)=X djn(n=d)X d

0jdf(d0)=X

0jnf(d0)X

0jdjn(n=d)

Enposantd1=n=d,cettesommevaut

X d

0jnf(d0)X

1j(n=d0)(d1)=f(n)

d'apres(2).

4.2.IrreductibilitesurQetsurZ=pZ

facond'utiliserlareductionmodulop: 10

Demonstration:OnadejadegP1sinon

Pneseraitpasirreductible

divisepasan, quicontreditl'irreductibilitede P. critere,souventutilepourlescorpsnis:

ParexempleX4+X+1estirreductiblesurF2.

4.3.Polyn^omescyclotomiques

generateursde(n;).Lecardinalde nest'(n),cetensembleconsiste enlese2ik=naveckentierpremieran. par n=Y 2 n(X) 11

Proposition4.5OnaXn1=Q

djnd.Pourtoutn2N,lepolyn^ome nestdansZ[X]. djnd dpourddivisantn, X unitaireRdeZ[X].

Ainsisiestdans

n,lepolyn^omeminimaldeestnetledegre n.

Proposition4.7Soit2

n.Onxeunnombrepremierpnedivisantpas Alors

1.fetgsontdansZ[X].

2.f=g.

12 l'undesPietf2Z[X].3 afortiorique'2diviselepolyn^omeQ=Xn

1dansZ=pZ[X].Maisceci

Z=pZ[X]:

(X=n)Q0Q= 1 i=1piioules

C[X]partousles(x0)avec02

n,doncfestdivisibleparn(dans nalementn=fdoncnestirreductiblesurQ. encoredansA[X]. 13quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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DavidHarari

Exemples.

Q,R,Csontdescorpsdecaracteristiquezero.

1.Corpsetespacesvectoriels

Ksoitunsous-corpsdeL.

MsurK.

Demonstration:SiP

M.Simaintenantx2M,onpeutecrirex=P

Ketona

Exemples.

1.estalgebriquesurK.

2.K[]=K().

1.Mestunsous-corpsdeL.

KdeKestune

Finalementx2M.

Q.L'ensembleR\Qdesreelsalgebriquesest

2.Corpsderupture,corpsdedecomposition

P=(X22)(X23)surQ,etlescorpsQ(p

2),Q(p3)(ilsnesontpas

PsurK.D'oul'existence.

Examples.

1.CestlecorpsderupturedeX2+1surR.

2.Q(i)estlecorpsderupturedeX2+1surQ.

3)etQ(j2p3)conviennentaussi.

L,quiestuniqueaK-isomorphismepres.

0[0],d'ouunisomorphisme :L!L0quiprolonge'1,doncaussi'.

3.Corpsnis

4.Polyn^omesirreductibles,exemples

4.1.Lecasdescorpsnis

I(n;q)=1

Demonstration:NotonsdejaqueP

Onvamontrer:

Q=P1:::Pr

Demonstration:Onremarqueque

0jdf(d0)=X

0jnf(d0)X

0jdjn(n=d)

Enposantd1=n=d,cettesommevaut

0jnf(d0)X

1j(n=d0)(d1)=f(n)

4.2.IrreductibilitesurQetsurZ=pZ

Demonstration:OnadejadegP1sinon

Pneseraitpasirreductible

ParexempleX4+X+1estirreductiblesurF2.

4.3.Polyn^omescyclotomiques

Proposition4.5OnaXn1=Q

Ainsisiestdans

Proposition4.7Soit2

1.fetgsontdansZ[X].

2.f=g.

1dansZ=pZ[X].Maisceci

Z=pZ[X]:

C[X]partousles(x0)avec02