[PDF] IV V EXEMPLES DE DEVOIRS MAISON - ac-bordeauxfr

MATHÉMATIQUES - Education

LE JEU DE FRANC CARREAU Pour jouer au jeu de franc-carreau, on dispose d’un damier constitué de carreaux de forme car-rée de 5 cm de côté et d’une pièce de 10 centimes d’euro, dont le rayon est 1 cm Le jeu consiste à lancer la pièce au hasard sur le damier

Jeu du « Franc-Carreau - CASIO Éducation

Probabilité de « Franc-Carreaux » : La probabilité de gagner à ce jeu du « Franc-Carreau » est égale à 2 a) Chaque élève expérimente le jeu du "Franc-Carreau" et saisit, à l'aide de sa calculatrice fx-92+ Spéciale Collège, ses réussites et échecs à l'aide de 1 et de 0 sous la forme d’une série statistique

Cycle 4 - Le jeu de franc-carreau : statistiques et

Elle permet d'appréhender les grandeurs qui sont en jeu : le centre de la pièce dans les cas de franc-carreau va peu à peu recouvrir un carré de même centre que le carreau initial, mais dont la longueur est plus petite d'autant que le diamètre de la pièce – La probabilité de faire franc-carreau est donc égale au rapport de l'aire de ce

Le jeu du « franc carreau

Le jeu du « franc carreau » Activité d’enseignement et de recherche David Nowacki (*) et Hervé Milliard (**) Le rapport de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques(1) exprimait en ces termes un des enjeux de cet enseignement : « La notion de probabilité est abordée dès la classe de troisième à partir d

Le jeu de franc-carreau - Académie de Grenoble

Le jeu de franc-carreau 1 C’est le a de l’activité 4 p 183 avec 20 lancers à la place 10 2 Chaque élève a effectué 20 lancers et obtenu un certain nombre de francs-carreaux On va utiliser un tableur pour exploiter les résultats Voici un extrait de la feuille de calcul que l’on va projeter au tableau a

Buffon Le jeu du Franc carreau - copie - MathémaTICE

Le jeu du franc-carreau et le problème de l’aiguille de Buffon Texte original Essai d’Arithmétique morale, dans Histoire Naturelle générale et particulière servant de suite à l’Histoire Naturelle de l’Homme par M le Comte de Buffon, Supplément, Tome Septième, p 139 - 153, Imprimerie Royale, Paris, 1778

Projet de document daccompagnement - Probabilités

cherchant à déterminer approximativement la probabilité de gagner Le jeu de « Franc Carreau » consiste à prendre une pièce de monnaie (de 1 cm de rayon, par exemple), et à la lancer sur un carrelage dont les carreaux sont des carrés (de 10 cm de côté, par exemple) On fait « Franc Carreau » quand la pièce tombe sur une seule case,

IV V EXEMPLES DE DEVOIRS MAISON - ac-bordeauxfr

la pièce est à l’extérieur du damier, alors le lancer ne compte pas et on recommence le lancer a Effectuer 10 lancers et, à chaque lancer, noter 1 si le franc-carreau est réussi et 0 sinon

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I. PREMIÈRES ACTIVITÉS

II.

UN MODE DE REPRÉSENTATION : LES ARBRES

III. EXPÉRIENCES ALÉATOIRES À DEUX ÉPREUVES IV.

TRACE ÉCRITE

V.

EXEMPLES DE DEVOIRS MAISON

VI.

UN EXEMPLE DE NARRATION DE RECHERCHE

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I. PREMIÈRES ACTIVITÉS

EXEMPLE 1 : I$1F(5 G·81( 3HËF( G( 0211$H( On lance une pièce de monnaie et on regarde la face obtenue.

Effec tuer 10 lancers. Compléter le tableau ci-dessous : 5pVXOPMP G·XQ OMQŃHU

Nombre de fois où la face apparaît

Commentaires :

FH SUHPLHU H[HUŃLŃH SHXP SHUPHPPUH G·LQPURGXLUH certains mots du vocabulaire des probabilités :

expérience ; issue ; événement.

obtient des résultats très OpPpURJqQHV HP TX·RQ QH SHXP ULHQ ŃRQŃOXUH PMLV TX·HQ UHYMQŃOH VL RQ UHJURXSH

tous ces résultats on va commencer à voir une proportion proche de 1/2 (Loi des grands nombres).

EXEMPLE 2 : LANCER DE DEUX PIÈCES DE MONNAIE

On lance deux pièces de monnaie et on regarde les deux faces obtenues. Je parie sur " pile-pile ». Quelle chance ai-je de gagner ?

Commentaires :

tySH G·H[SpULHQŃH TX·j O·H[HPSOH 1B À partir des productions des élèves on peut introduire la notion G·arbre de choix.

Remarque : On peut également produire un tableau à double entrée.

QRPNUH GH OMQŃHUV OM IUpTXHQŃH G·MSSMULPLRQ G·XQ UpVXOPMP VHPNOe proche de la probabilité

théorique, on peut proposer une simulation sur tableur pour conforter ces premières impressions.

EXEMPLE 3 : I$1F(5 G·81 GÉ On peut simuler le lancer d'un dé avec un tableur grâce à une fonction du tableur :

" =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) ».

FHPPH IRQŃPLRQ SHUPHP G·LQVŃULUH XQ QRPNUH HQPLHU ŃRPSULV HQPUH 1 HP 6 HP ŃH GH IMçon aléatoire.

RÉSULTATS D·UNE SIMULATION FAITE AU TABLEUR

Compléter le tableau ci-dessous : Nombre de lancers 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 Nombre de fois où apparaît la face 6 23 17 24 22 19 18 15 21 20 22 Nombre cumulés de fois où apparaît la face 6 23 40 64 86 105 123 138 159 179 201 Nombre cumulés de lancers 120 240 360 480 600 720 840 960 1080 1200 Fréquences d·MSSMULPLRQ de la face 6 0,19 0,17 0,18 0,18 0,18 0,17 0,16 0,17 0,17 0,17

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Construire la représentatioQ JUMSOLTXH GRQQMQP OM IUpTXHQŃH G·MSSMULPLRQ GH O·LVVXH " la face 6 apparaît »

en fonction du nombre de lancers. Quelle conclusion peut-on formuler ? Commentaires :

Au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente on obseUYH TXH OM IUpTXHQŃH G·MSSMULPLRQ GH

la face 6 tend à se stabiliser vers 0,16 TXL ŃRUUHVSRQG NLHQ j OM SURNMNLOLPp G·MSSMULPLRQ GH OM

face " 6 ». Conclusion : P( 16 ) 0,16.

EXEMPLE 4 : I$1F(5 G·81 381$H6(

On lance une punaise.

Quelle est la probabilité pour que la punaise tombe sur la " Tête » (position D) ou sur la " Pointe »

(position C) ?

On peut ne peut pas simuler le lancer d'une punaise avec un tableur. La seule possibilité est de faire

l'expérience manuellement.

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Voici la représentation graphique donnant la IUpTXHQŃH G·MSSMULPLRQ GH O·LVVXH © pointe »

(position c) en fonction du nombre de lancers. Fréquence

G·MSSMULPLRQ

GH O·LVVXH

" pointe » (position C)

0100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0,050,10,150,20,250,30,350,40,45Titre principal

Ligne 39

Ligne 38 : nombres des lancers cumulésLigne 39 : fréquences cumulées

Nombres des lancers

Compléter le tableau ci-dessous : Nombre de lancers 100 200 300 400 500 600 700 800 900 )UpTXHQŃHV G·MSSMULPLRQ GH © pointe »

Nombre de fois où apparaît " pointe »

7pOpŃOMUJHU OH ILŃOLHU RGV GH VLPXOMPLRQ

Quelle conclusion peut-on formuler ? Commentaires :

Au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente on RNVHUYH TXH OM IUpTXHQŃH G·MSSMULPLRQ GH

O·LVVXH " pointe » (position C) tend à se stabiliser vers 0,40B F·HVP ŃHPPH YMOHXU TX·RQ SUHQGUM

comme probabilité de O·issue " pointe ». Conclusion : P(Pointe)=0,4 et P(Tête)=0,6.

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II. UN MODE DE REPRÉSENTATION : LES ARBRES

Exemple

On fait tourner une roue bien équilibrée et on relève le QXPpUR GX VHŃPHXU TXL V·MUUrPH HQ IMŃH GX UHSqUHB Quelle est OM SURNMNLOLPp SRXU TXH OM URXH V·MUUrPH VXU le nombre 1 ?

Commentaires :

3UpVHQPMPLRQ GHV UpVXOPMPV j O·MLGH G·MUNUHV

Arbre des possibles

Arbre des possibles pondéré par les probabilités III.

EXPÉRIENCES ALEATOIRES À DEUX ÉPREUVES

Exemple 1

On dispose :

- G·XQH SMUP G·XQH URXH GH ORPHULH NLHQ pTXLOLNUpH M\MQP XQ secteur rouge, deux secteurs jaunes et trois secteurs verts - et G·MXPUH SMUP G·XQH SLqŃH GH PRQQMLH NLHQ pTXLOLNUpHB On fait tourner la roue puis on lance la pièce et on note le résultat obtenu. Quelle est OM SURNMNLOLPp G·RNPHQLU © vert et pile » ?

Commentaires :

3UpVHQPMPLRQ GHV UpVXOPMPV j O·MLGH G·XQ MUNUH GHV SRVVLNOHV SRQGpUp SMU OHV SURNMNLOLPpV

Six résultats possibles : (R ; P) ; (R ; F) ; (J ; P) ; (J ; P) ; (V ; P) ; (V ; P). 3URNMNLOLPp G·RNPHQLU © YHUP HP SLOH ª

3

6 des résultats donneront vert et parmi ces résultats

1

2 donneront " vert et pile ». Autrement dit

3 6 de 1 2 des

expériences donneront " vert et pile ªB IM SURNMNLOLPp G·RNPHQLU © vert et pile » est donc 3

6 × 12 = 3

12 = 14.

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Exemple 2

On lance deux fois de suite un dé à six faces et on fait la somme des points inscrits sur la face de

dessus.

Quelle valeur faut-LO TXH Ó·MQQRQŃH MYMQP OH OMQŃHU SRXU MYRLU OH SOXV GH ŃOMQŃH GH JMJQHU "

Commentaires :

IM SUpVHQPMPLRQ GHV UpVXOPMPV j O·MLGH G·XQ MUNUH HVP LŃL IMVPLGLHXVHB Pour trouver toutes les issues possiblHV RQ SHXP V·MLGHU G·XQ PMNOHMX j GRXNOH HQPUpH : dé 2 dé 1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Il y a 36 issues possibles : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 """ ; 12 Le nombre " 7 » apparait le plus de fois. Il apparait 6 fois sur 36. Il faut annoncer " 7 » avant de lancer pour avoir le plus de chance de gagner.

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IV. TRACE ÉCRITE

I.

Le langage des probabilités

Vocabulaire : expérience ; issue ; événement.

ƒ On parle d'expérience aléatoire quand on peut donner la liste de tous les résultats possibles de

cette expérience, mais que l'on ne peut pas prévoir, parmi ces résultats, celui qui sera obtenu.

2Q SMUOH G·issues G·XQH H[SpULHQŃHB

SMU H[HPSOH RQ OMQŃH XQ Gp HP O·RQ V·LQPpUesse au numéro obtenu sur la face supérieure : " obtenir le

nombre 6 » est une issue.). Un événement HVP XQ UpVXOPMP SRVVLNOH RX QRQ GH O·H[SpULHQŃHB (On lance un dé à six faces HP O·RQ V·LQPpUHVVH MX QXPpUR RNPHQX VXU OM IMŃH VXSpULHXUH : " obtenir un nombre pair » est un événement) ƒ

2Q GLP TX·XQ pYpQHPHQP HVP

réalisé ou non réalisé. II. GHX[ MSSURŃOHV GH OM QRPLRQ GH SURNMNLOLPp G·XQ pYqQHPHQP

IM SURNMNLOLPp G·XQ pYpQHPHQP HVP XQ nombre qui traduit la " chance ª TX·XQ pYpQHPHQP VH UpMOLVHB

Ce nombre peut V·pŃULUH : avec une fraction, par exemple : 1 6 avec un pourcentage, par exemple : 16% avec un nombre décimal, par exemple : 0,16 IM SURNMNLOLPp G·XQ pYpQHPHQP HVP XQ QRPNUH SRVLPLI LQIpULHXU j 1

Pour un événement donné, sa probabilité peut parfois se calculer par des considérations

mathématiques ( obtenir un nombre pair ORUVTX·RQ OMQŃH XQ Gp j VL[ IMŃHV RX QH SMV pouvoir se calculer (la punaise tombe sur " tête » ORUVTX·RQ OMQŃH XQH SXQMLVHB

Dans tous les cas cette probabilité est proche de la fréquence de réalisation de cet événement

ORUVTX·RQ HIIHŃPXH un grand nombre de fois O·H[SpULHQŃH.

FH TXL SHUPHP TXMQG RQ QH SHXP SMV IMLUH OH ŃMOŃXO G·RNPHQLU XQH YMOHXU MSSURŃOpH GH OM SURNMNLOLPp SMU

O·H[SpULPHQPMPLRQB

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III. Un mode de représentation : les arbres

Exemple :

On fait tourner une roue bien équilibrée et on relève le QXPpUR GX VHŃPHXU TXL V·MUUrPH HQ IMŃH GX UHSqUHB

Quelle est la probabilité de chaque issue ?

Arbre des possibles

Arbre des possibles pondéré par les probabilités IV. Expériences aléatoires à 2 épreuves Exemple :

On dispose :

- G·XQH SMUP G·XQH URXH GH ORPHULH NLHQ pTXLOLNUpH M\MQP XQ secteur rouge, deux secteurs jaunes et trois secteurs verts - HP G·MXPUH SMUP G·XQH SLqŃH GH PRQQMLH NLHQ pTXLOLNUpHB On fait tourner la roue puis on lance la pièce et on note le résultat obtenu. Quelle est OM SURNMNLOLPp G·RNPHQLU © vert et pile » ? Arbre des possibles pondéré par les probabilités

P (V ; P) =

3

6 × 1

2 = 3

12 = 1

4.

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V. EXEMPLES DE DEVOIRS MAISON

EXEMPLE 1 : Le jeu du Franc Carreau

(la 1ère partie est faite en classe et la 2 nde laissée en devoir à la maison)

PARTIE 1

2Q GLVSRVH G·XQ GMPLHU ŃRQVPLPXp GH ŃMUUpV GH Ń{PpV D ŃPB

On lance au hasard une pièce de 10 centimes (rayon 1 cm).

On dit que la pièce est à franc-carreau si elle ne chevauche pas les lignes du quadrillage. Si le centre de

OM SLqŃH HVP j O·H[PpULHXU GX GMPLHU MORUV OH OMQŃHU QH ŃRPSPH SMV HP RQ UHŃRPPHQŃH OH OMQŃHUB

a. Effectuer 10 lancers et, à chaque lancer, noter 1 si le franc-carreau est réussi et 0 sinon.

b. Calculer la fréquence de francs-carreaux que vous avez obtenus. Comparer avec les fréquences

obtenues par les autres élèves de la classe. Que constate-t-on ? le nombre de francs-carreaux. d. Sur une feuille à petits carreaux, tracer un repère puis placer les points : ‡ G·MNVŃLVVH : le nombre cumulé de lancers (2ème ligne du tableau) ; ‡ G·RUGRQQpH : la fréquence de francs-carreaux (4ème ligne du tableau).

Cumul du nombre de

lancers 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

Cumul du nombre de

francs-carreaux

Fréquence de franc-

carreaux

Partie 2

a. Tracer un carré ABCD de côté 5 cm représentant un carreau du damier.

b. Représenter en coloriant, la zone où doit se situer le centre de la pièce pour que franc-carreau ne

soit pas réalisé. c. FMOŃXOHU O·MLUH QRQ ŃRORULpHB

d. 3RXU ŃOMTXH ŃMUUp GX GMPLHU RQ SURŃqGH GH OM PrPH IMoRQB FMOŃXOHU $ O·MLUH PRPMOH GX GMPLHU HP $·

O·MLUH PRPMOH GHV ]RQHV QRQ ŃRORULpHVB

e. ([SULPHU MORUV j O·MLGH GH $ HP $· OM SURNMNLOLPp GH IUMQŃ-carreau. f. Calculer cette probabilité. On donnera la valeur exacte en écriture décimale.

à franc-carreau

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EXEMPLE 2

([HPSOH PLUp GH O·MUPLŃOH GH %HUQMUG 3MU]\V] ´8Q RXPLO VRXV-HVPLPp O·MUNUH SURNMNLOLVPHµB %XOOHPLQ GH

O·$30(3 Qƒ 372 SS 47-52, 1990.

Un vote a eu lieu dans une ville. Nous disposons des informations suivantes :

SCRUTIN

*URXSH H pOHŃPHXUV GH PRLQV GH 3D MQV 38 GH O·HQVHPNOH GHV pOHŃPHXUVB *URXSH HH pOHŃPHXUV GH 3D j 60 MQV 43 GH O·HQVHPNOH GHV pOHŃPHXUVB Groupe III : électeurs de plus de 60 ans ; 1E GH O·HQVHPNOH GHV pOHŃPHXUVB

TAUX DE PARTICIPATION

Groupe I : 81%

Groupe II : 84%

Groupe III : 69%

a. 5HSUpVHQPHU ŃHV LQIRUPMPLRQV VRXV IRUPH G·XQ MUNUH SRQGpUpB b. Utiliser cet arbre pour répondre aux questions suivantes : ‡ 2Q ŃORLVLP XQ pOHŃPHXU MX OMVMUGB 4XHOOH HVP OM SURNMNLOLPp TX·LO MLP YRPp " ‡ 4XHO HVP OH PMX[ GH SMUPLŃLSMPLRQ MX VŃUXPLQ "

c. On sait que dans cette ville, il y avait 150 000 électeurs inscrits. ‡ 4XHO HVP OH QRPNUH G·pOHŃPHXUV GH SOXV GH 60 MQV ?

‡ 3MUPL HX[ ŃRPNLHQ RQP YRPp ?

‡ 4XHO HVP OH QRPNUH G·pOHŃPHXUV GH PRLQV GH 3D MQV TXL Q·RQP SMV pPp YRPp ?

EXEMPLE 3

En météorologie

GMQV XQH UpJLRQ LPMJLQMLUH OHV PpPpRURORJLVPHV RQP ŃRQVPMPp j O·MLGH GH UHOHYpV VXU XQH ORQJXH SpULRGH

que :

(1) 6·LO IMLP VHŃ 6 XQ ÓRXU MORUV LO \ M D ŃOMQŃHV VXU 6 SRXU TX·LO IMVVH VHŃ OH OHQGHPMLQB

(2) 6·LO IMLP OXPLGH + XQ ÓRXU MORUV LO \ M 2 ŃOMQŃHV VXU 3 SRXU TX·LO IMVVH OXPLGH OH OHQGHPMLQB

2Q ŃRQVPMPH XQ ŃHUPMLQ GLPMQŃOH TX·LO IMLP VHŃB

a. 2Q VH SURSRVH G·pYMOXHU OM SURNMNLOLPp SRXU TX·LO IMVVH VHŃ PMUdi. ‡ 5HSUpVHQPHU SMU XQ MUNUH OHV SRVVLNLOLPpV GH PHPSV SRXU OXQGL HP PMUGLB ‡ 5HSRUPHU OHV SURNMNLOLPpV GRQQpHV HQ (1) et en (2) sur les branches qui conviennent. ‡ (Q GpGXLUH OHV SURNMNLOLPpV GHV MXPUHV NUMQŃOHV ; b. On a maintenant un arbre pondéré. ‡ FMOŃXOHU OM SURNMNLOLPp GH O·LVVXH SXLV GH O·LVVXH ‡ (Q GpGXLUH OM SURNMNLOLPp TX·LO IMVVH VHŃ PMUGLB c. FMOŃXOHU GH 2 IMoRQV GLIIpUHQPHV OM SURNMNLOLPp TX·LO IMVVH OXPLGH PMUGLB

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III. UN EXEMPLE DE NARRATION DE RECHERCHE

Vous raconterez en détail sur votre feuille :

¾ IM IMoRQ GRQP YRXV SUHQH] HQ ŃRPSPH O·pQRQŃp OHŃPXUH LQPHUSUpPMPLRQ VŃOpPM " ¾ Les différentes étapes de votre recherche en particulier les différentes pistes que vous avez suivies y compris celles qui n'ont pas abouti. Indiquer les observations que vous avez pu faire et qui vous ont fait progresser ou changer de méthodes notamment le contrôle de vos réponses.

9RXV SRXYH] PLQXPH] OH PHPSV ÓRLQGUH YRPUH NURXLOORQ"

¾ La façon dont vous expliqueriez votre solution à un ou une camarade. ¾ I·pYMOXMPLRQ QH SRUPHUM SMV VXU OM QMPXUH GH OM VROXPLRQ ÓXVPH IMXVVH

LQŃRPSOqPH " PMLV VXU OHV SRLQPV ŃL-dessus.

Le grand Duc de Toscane (XVII° siècle) était un grand amateur de jeu de dés. Il avait constaté lors d'un jeu qui consiste à lancer 3 dés et à noter la somme des points obtenus, que la somme 10 est obtenue légèrement plus souvent que la somme 9. Ce qui l'intriguait c'est qu'il existe pourtant autant de décompositions en somme de 3 entiers inférieurs à 6 pour l'un que pour l'autre.

Comment peut-on expliquer ce paradoxe ?

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