Cours RDM: Torseur de cohésion - Technologue Pro
Torseur de cohésion Cours RDM / A U : 2012-2013 Cours résistance des matériaux 13 Deux conventions d’écriture sont possibles : • Convention 1 : Le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2)
AIV Torseur de cohésion Torseur des efforts intérieurs
A IV Torseur de cohésion – Torseur des efforts intérieurs A IV 1 Définition La poute étudiée S est en éuilibe sous l’action des charges extérieures représentées par le torseur : {???? → }={???? → }={0} En s, abscisse curviligne de la section en G, définissant la frontière entre les parties ???? et ????????, chaque
Actions linéiques et torseurs de cohésion
A IV 8 Actions linéiques et torseurs de cohésion Penons le cas d’une poute soumise à une action linéiue su un t onçon : Lors du calcul du torseur de cohésion dans le tronçon AB, il est conseillé de remplacer la densité linéiue d’effot pa l’effot concenté epésentant son action globale au point ou le moment de cette
DEUXIÈME PARTIE THEORIE DES POUTRES
Le torseur de cohésion { } est le torseur assoié à l’ensem le des ations méaniques de la partie de droite sur la partie de gauche de la poutre Remarque: Ces ations sont internes au matériau et lui permettent de garder son intégrité physique d’où le nom de cohésion 3- Expression du torseur {M} moment de torsion {⃗ ⃗ ⃗
Travaux dirigés de résistance des matériaux
1 Déterminer les composantes du torseur des efforts de cohésion tout au long de cette poutre 2 Etude de la résistance de l’arbre au moment de torsion : 2 1 Tracer le diagramme du moment de torsion (Mt) 2 2 Calculer le diamètre minimal (d) de l’arbre à partir de la condition de rigidité 2 3
Exercice de détermination des torseurs de forces de cohésion
Exercice de détermination des torseurs de forces de cohésion Poutre encastrée dans un cas et soutenue par un câble dans l'autre cas Objectif : Tracer les éléments de réduction du torseur des forces de cohésion le long de la poutre Problème : une étagère métallique de stockage de moteurs est réalisée de la manière suivante :
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
3 2- Projection des éléments de réduction de torseur de cohésion : (Figure 7) Composantes de et dans le repère qu’est lié à la surface (S) gd gd gd ggd ggd ggd R N T et M M M G t f Avec : JG N: effort Normale : projection de JG R sur la normale extérieur JG (G,X) JG T
RESISTANCE DES MATERIAUX (RDM) PREMIERE PARTIE
réduction en G du torseur des efforts de cohésion Voir Exercice d’application 5 Définition des sollicitations Si les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion font apparaître un seul des quatre éléments N,T,Mt,Mf rr r r non nul, la sollicitation est dite simple, sinon on parle de sollicitations composées
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A.IV. Torseur de cohésion Ȃ Torseur des efforts intérieursA.IV.1 Définition
La poutre ĠtudiĠe S est en ĠƋuilibre sous l͛action des charges extérieures représentées par le torseur :
En s, abscisse curviligne de la section en G, définissant la frontière entre les parties ܫ et ܫܫ
partie est considĠrĠ encastrĠ aǀec l͛autre.On note :
- ൛࣮ௌ՜ூூൟ le torseur des actions extérieures sur la partie ܫܫ
- ൛࣮ௌ՜ூൟ le torseur des actions extérieures sur la partie ܫL͛ĠƋuilibre de la poutre s͛Ġcrit :
On introduit le torseur des actions de ܫܫ sur ܫL͛ĠƋuilibre de la partie ܫ
L͛ĠƋuilibre de la partie ܫܫ
On a donc :
Ce torseur traduit la cohésion des deux parties et définit les actions élémentaires exercées par la partie
ܫܫ sur la partie ܫ
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A.IV.2 Eléments de réduction du torseur de cohésionDans une section ɇ d͛abscisse s, les ĠlĠments de rĠduction du torseur des efforts intĠrieurs ሼ࣮ሽ
s͛Ġcriǀent en G dans la base locale ऌࢳ. Avec Chacune de ces sollicitations porte un nom précis :Symbole Nom Sollicitation Déformation
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Compression Allongement/Raccourcissement de la poutreܶ௬ Effort tranchant suivant ݕఀሬሬሬሬԦ Cisaillement Glissement relatif des sections ܶ
selon leur position par rapport au plan neutreModification de la courbure de la poutre ܯ
Une fibre étant un fil de matière parallèle à la ligne moyenne :A.IV.3 Tronçons de poutre - Définition
On dĠfinit un tronĕon de poutre comme une portion de poutre dans laƋuelle l͛edžpression de chacun
des éléments de rĠductions du torseur de cohĠsion est une fonction de l͛abscisse curǀiligne dont la
formule ne change pas. ChaƋue tronĕon est numĠrotĠ ă l͛aide d͛un chiffre. A.IV.4 Méthode générale de calcul du torseur de cohésionA.IV.4.a Méthode
- Isoler la poutre- Faire le bilan des actions mécaniques extérieures. En général, on nomme les inconnues en un
point A ܺǡܻǡܼǡܮǡܯǡܰnotations ܺǡܻǡܼǡܮǡܯǡܰ
- Appliquer le PFS à la poutre o si h=0 : (optionnel) Déterminer les actions de liaison o Si h=1 ͗ Edžprimer les actions de liaison en fonction de l͛action ͨ en trop » - Représenter la poutre et ses actions extérieures graphiquement en prenant garde aux signeset sens des flèches. Le mieux est de ne pas écrire de flèches au-dessus des ǀecteurs, d͛Ġcrire
leur composante positiǀe et d͛orienter la reprĠsentation (flğche reprĠsentant couple ou effort)
dans le sens du signe- Identifier les différents tronçons de la poutre et les numĠroter sur le schĠma (1,2,3 ͙)
- Pour chaque tronçon :o Etablir le schéma de la poutre complète en positionnant le point M ă l͛abscisse dĠsirĠe
et les actions edžtĠrieures sur l͛intĠgralitĠ de la poutre o Identifier les parties ܫ et ܫܫ o Choisir la partie isolée pour déterminer ሼ࣮ሽ o Faire apparaître les actions extérieures sur celle-ci o Déterminer le torseur de cohésionDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.4.a.i ǯ
Soit une poutre droite encastrée soumise à un effort orthogonalement à sa ligne moyenne, un effort
dans son axe et un couple autour de son axe.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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On isole ܵ
On refait le schéma de la poutre avec les efforts extérieurs connus et on identifie les tronĕons, ici il n͛y
en a Ƌu͛un notĠ ͨ 1 » On étudie le seul tronçon 1, on place un point ܯ en 2 parties notées ܫ et ܫܫ Finalement, on détermine le torseur de cohésion dans le tronçon étudié :Avec :
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A.IV.4.a.ii Présence de plusieurs tronçons
Soit une poutre droite suivante encastrée soumise à deux efforts en des points différents.Détermination des actions extérieures
On isole ܵ
On refait le schéma de la poutre avec les efforts extérieurs connus et on identifie les tronçons, ici y en
a deux notés " 1 » et " 2 ».Tronçon ͳ : ݔ߳
Tronçon - : ݔ߳ሿ݈ǡܮ
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Tronçon 1
On étudie le tronçon ͳ, on place un point ܯ parties notées ܫ et ܫܫ On détermine alors le torseur de cohésion dans le tronçon étudié : SoitTronçon 2
On étudie le tronçon ͳ, on place un point ܯ parties notées ܫ et ܫܫ On détermine alors le torseur de cohésion dans le tronçon étudié : SoitDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.5 Diagrammes des sollicitations
A.IV.5.a Définition
Ces diagrammes sont la représentation graphique des 6 sollicitations identifiées au paragraphe
prĠcĠdent en fonction de l͛abscisse curǀiligne s de la poutre le long de ߁poutres droites, s correspond à x. Toutefois, dans des cas de poutres plus complexes, il faudra bien les
représenter en fonction de s. Chaque diagramme reprĠsente l͛intĠgralitĠ de la poutre.Il conǀient de respecter la mġme Ġchelle en abscisse afin d͛identifier rapidement les diffĠrentes
sollicitations dans une section donnée et si possible de les représenter les uns en-dessous des autres.
Enfin, on y fait apparaître les valeurs remarquables.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.5.b Application
A.IV.5.b.i Exemple 1
Traçons les diagrammes des sollicitations du premier exemple que nous venons de traiter.On pourra ne pas représenter les diagrammes pour lesquels la sollicitation reste nulle sur toute la
poutre.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.5.b.ii Exemple 2
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A.IV.6 Continuité des sollicitations
Une discontinuité de résultante ou de moment est un point où sa dérivée tend vers l͛infini.
Déterminons dans quelles conditions les composantes du torseur de cohésion sont continues ou discontinues.A.IV.6.a Point de continuité
A.IV.6.a.i Schéma
On suppose une rĠpartition continue d͛effort entre ܵଵ et ܵ appliƋuĠe au point d͛abscisse s.Isolons le tronçon entre ܵଵ et ܵ
- l͛action de la partie de poutre aǀant ܵଵǣ െܴሬԦሺܵ - l͛action de la partie de poutre aprğs ܵଶǣ ܴሬԦሺܵ - l͛action de la charge linĠiƋue : A.IV.6.a.ii ǯ
On applique le PFS à ce tronçon en résultante :Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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Conclusion ͗ la dĠriǀĠe de la rĠsultante n͛est pas infinie en un point oƶ il y a une répartition linéique
d͛effort.A.IV.6.a.iii En termes de moment
On se place en un point O quelconque et on applique le PFS à ce tronçon en moment : Or : DoncConclusion ͗ la dĠriǀĠe du moment n͛est pas infinie en un point oƶ il y a une rĠpartition linĠiƋue
d͛effort.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.6.a.iv Bilan
En un point où une densitĠ linĠiƋue d͛effort est appliƋuĠe, il y a continuité de la résultante et du
moment.A.IV.6.b Point de discontinuité
A.IV.6.b.i Schéma
Un point de discontinuité est un point en lequel il y a un effort concentré appliqué.En plus des conditions précédentes, on suppose Ƌu͛en ܩሺܵଵሻ sont appliqués un effort concentré ܨ
un couple ܥ