PGCD et Fractions irr ductibles - Académie de Poitiers

= Or 30 est le PGCD de 450 et 60 ÷ 30 Conclusion : Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD Application directe : a Simplifier 70 21 en une fraction irréductible b Pourquoi la fraction 13 17 est-elle déjà irréductible ? Réponse : a

Pgcd rapide et reconstruction de fraction rationnelle

Le premier objectif de ce stage est de comprendre le lien entre les deux approches et de voir si la deuxieme approche n’aboutirait pas` a un algorithme plus rapide ` L’une des applications du pgcd est la reconstruction rationnelle [BCG + 17, Chapitre 7 1]

Plus grand commun diviseur : PGCD - XMaths - Cours et

le premier reste non nul est le PGCD de a et de b C'est l'algorithme d'Euclide Suivant les nombres a et b, le nombre d'itérations à effectuer peut être plus ou moins grand Sachant que PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a) on aura toujours intérêt à prendre b £ a Exemple 4 Pour déterminer le PGCD de 410258 et de 126

ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

2 PGCD, PPCM 2 1 PGCD DE DEUX POLYNÔMES Déﬁnition-théorème (PGCD de deux polynômes) • Soient A,B ∈ K[X]avec : A6= 0 ou B 6= 0 On appelle plus grand commun diviseur (ou PGCD) de A et B tout diviseur commun de A et B de degré maximal • On convient enﬁn que 0 est le seul PGCD de 0 et 0

Remédiation – PGCD et PPCM Plus grand commun diviseur (PGCD)

, le PGCD de 125 et 100 est 25 18 35 = 18 35, Le PGCD de 18 et 35 est 1 Une fraction est irréductible si le PGCD de ses termes est 1 On dit alors que leurs termes sont premiers entre eux Vérification du PGCD de deux nombres Vrai ou faux ? Justifie Le PGCD de 50 et 75 est 25 Vrai En effet, 50 : 25 = 2 et 2 et 3 sont premiers entre eux 75

Bilan 5 : Calculer le PGCD de deux nombres entiers

Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (C'est-à-dire si leur PGCD est égal à 1 ) Pour obtenir la forme irréductible d’une fraction : ••••on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur ; ••••puis on divise le numérateur et le dénominateur de cette

Fiche d’exercices : PGCD

1) Calculer le PGCD des nombres 675 et 375 2) Ecrire la fraction 375 675 sous forme irréductible Exercice n°4: 1) Calculer le PGCD des nombres 114 400 et 60 775 2) Ecrire la fraction 114400 60775 sous forme irréductible Exercice n°5: On pose M= 8 3 9488 20755 1) Calculer le plus grand diviseur commun aux deux nombres 20 775 et 9 488 2

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

2 2 pgcd Proposition 4 Soient A,B2K[X], avec A 6˘0 ou B6˘0 Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B Cet unique polynôme est appelé le pgcd (plus grand commun diviseur) de A et B que l’on note pgcd(A,B)

Tale S – Mathématiques (enseignement de spécialité) DS n°3

DS n°3: « Divisibilité, division euclidienne, pgcd » Le 18/10/2007 CORRECTION Exercice 1 (3 pts) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, le fraction n + 1 n(n + 2) est irréductible Pour montrer qu'une fraction de deux nombres entiers est irréductible, il suffit de prouver que les deux entiers sont premiers entre eux

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FRACTIONS IRREDUCTIBLES

Pré-requis : Connaître la table de multiplication jusqu"à 10.

1. Diviseurs d"un nombre entier (Rappels)

Activité :

Pour refaire la pelouse d"un stade de rugby, en vue d"un match important, le président d"un club souhaite

commander des bandes de terre gazonnée. Celles-ci sont livrées en rouleaux de 20 m de long sur 2 m de large.

Combien de rouleaux sera-t-il nécessaire pour couvrir une partie du terrain de dimensions 108 m par 71 m ?

Réponse :

L"aire du terrain est : 108 ´ 71 = 7 668 m²

L"aire couverte par un rouleau de terre est : 20 ´ 2 = 40 m²

Le nombre de rouleaux nécessaires s"obtient par la division : 7 668 / 40 = 191,7 d"après la calculatrice.

Ainsi le nombre de rouleaux à commander est 192. On peut aussi poser la division euclidienne : 76 6

8 40

40 191

36
6 360
6 8 40
28

Autrement dit : 7 668 = 40 ´ 191 + 28

ou encore : 7 668 - 40 ´ 191 = 28

On retiendra :

Le principe de la division euclidienne

d"un nombre entier positif A par un autre nombre entier positif B (appelé le diviseur) consiste à soustraire le plus de fois possible le nombre B du nombre A. · Le nombre de fois qui convient est appelé le quotient entier et notée q. · La différence entre A et la quantité retirée est appelée le reste et noté r.

Ainsi on peut écrire : A = B ´´´´

q + r

Cas particulier de la division euclidienne :

Etablir q et r dans chacune des divisions euclidiennes suivantes :

184 par 8 ; 750 par 25.

Réponse :

184 = 8 ´ 23 donc q = 8 et r = 0 ; 750 = 25 ´ 30 donc q = 30 et r = 0

On dit que 8 et 23 sont des diviseurs de 184. De même, 25 et 30 sont des diviseurs de 750.

On retiendra :

Soit a et b deux entiers différents de 0.

On dit que b est diviseur de a si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0. A la calculatrice, b est un diviseur de a si le résultat de la division de a par b est un entier. On dit aussi que si b est un diviseur de a alors a est un multiple de b.

Exemples :

15 ¸ 5 = 3 et le résultat de la division 3 est entier donc 5 est un diviseur de 15

On peut aussi écrire : 15 = 5 ´ 3 donc 15 est un multiple de 5. Critères de divisibilités par 2, par 5, par 10, par 3 et par 9 : · Les entiers divisibles par 2 sont les nombres pairs : ils se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8. · Les entiers divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5. · Les entiers divisibles par 10 se terminent par 0.

· Les entiers divisibles par 3 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est elle-même divisible par 3.

· Les entiers divisibles par 9 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est elle-même divisible par 9.

On obtient :

191 le quotient (qui nous intéresse) et

28 le reste.

" On peut soustraire au maximum 191 fois le nombre

40 au nombre 7668. »

2. Diviseurs communs à deux entiers

Activité :

Donner la liste de tous les diviseurs de 15, rangés dans l"ordre croissant.

Faire de même pour 20 puis pour 17.

Réponse :

15 = 1 ´ 3 ´ 5 =15 ´ 1 donc la liste des diviseurs de 15 est {1 ; 3 ; 5 ; 15}

20 = 1 ´ 2 ´ 2 ´ 5 donc la liste des diviseurs de 20 est {1 ; 2 ; 2 ´ 2 = 4 ; 5 ; 2 ´ 5 = 10 ; 20}

17 = 1 ´ 17 donc la liste des diviseurs de 17 est {1 ; 17}

Remarques :

Tout entier supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs : 1 (qui sera le plus petit) et lui-même (qui sera le

plus grand)

Activité (suite) :

Ecrire la liste de tous les diviseurs communs de 15 et 12, rangés par ordre croissant. Quel

est le plus grand diviseur commun de cette liste? On le nomme le Plus Grand Commun Diviseur noté PGCD.

Réponse :

La liste de tous les diviseurs communs de 15 et 12 est {1 ; 3} car 12 = 1 ´ 3 ´ 2 ´ 2 = 12 ´ 1

Le PGCD de 15 et 12 est 3.

Application directe :

Trouver le PGCD de 66 et de 44.

Réponse :

Diviseurs de 66 : {1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66} Diviseurs de 44 : {1; 2; 11; 22; 66} donc PGCD = 22

Cas particuliers :

Trouver le PGCD de 22 et 15.

Réponse :

22 = 1 ´ 2 ´ 11 = 1 ´ 22 donc la liste des diviseurs de 22 est {1 ; 2 ; 11 ; 22}

On a vu que la liste des diviseurs de 15 est {1 ; 3 ; 5 ; 15}. Le seul diviseur commun de 22 et 15 est 1, ce qui se traduit par un PGCD égal à 1.

Définition :

Deux nombres entiers qui n"admettent que 1 pour seul diviseur commun, sont dits " premiers entre eux ».

Autrement dit, deux nombres premiers entre eux ont un PGCD est égal à 1.

Exemple :

4 et 15 sont premiers entre eux car ils n"admettent que 1 comme diviseur commun.

3. Simplification d"une fraction

Rappels :

· On ne change pas la valeur d"une fraction en divisant (ou en multipliant) son numérateur et son

dénominateur par un même nombre non nul.

´ 2 ¸ 3 ¸ 4 ´ 10

Exemple :

50
40
5 4 20 16 60
48
30

24====

´ 2 ¸ 3 ¸ 4 ´ 10

· Simplifier une fraction signifie que l"on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre

entier non nul.

Parmi toutes les fractions de même valeur que

24, quelle est celle dont le dénominateur et le numérateur

soient les plus petits possibles.

Réponse : 5

4 . On dit alors que5

4 est une fraction irréductible.

Définition :

Une fraction que l"on ne peut plus simplifier est dite irréductible.

Autre exemple :

Simplifier la fraction

450 pour jusqu"à ce qu"elle soit irréductible.

¸ 2 ¸ 3 ¸ 5

Réponse : 2

15 10 75
30
225
60

450=== Fraction irréductible :

2 15

¸ 2 ¸ 3 ¸ 5

Comment, en une seule étape, écrire

450 en une fraction irréductible ?

¸ 30

Réponse : 2

15 60

450= Or 30 est le PGCD de 450 et 60.

¸ 30

Conclusion :

Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

[PDF] PGCD et Fractions irr ductibles - Académie de Poitiers

FRACTIONS IRREDUCTIBLES

1. Diviseurs d"un nombre entier (Rappels)

Activité :

Réponse :

L"aire du terrain est : 108 ´ 71 = 7 668 m²

8 40

40 191

Autrement dit : 7 668 = 40 ´ 191 + 28

On retiendra :

Le principe de la division euclidienne

Ainsi on peut écrire : A = B ´´´´

Cas particulier de la division euclidienne :

184 par 8 ; 750 par 25.

Réponse :

184 = 8 ´ 23 donc q = 8 et r = 0 ; 750 = 25 ´ 30 donc q = 30 et r = 0

On retiendra :

Soit a et b deux entiers différents de 0.

Exemples :

15 ¸ 5 = 3 et le résultat de la division 3 est entier donc 5 est un diviseur de 15

On obtient :

191 le quotient (qui nous intéresse) et

28 le reste.

40 au nombre 7668. »

2. Diviseurs communs à deux entiers

Activité :

Faire de même pour 20 puis pour 17.

Réponse :

15 = 1 ´ 3 ´ 5 =15 ´ 1 donc la liste des diviseurs de 15 est {1 ; 3 ; 5 ; 15}

20 = 1 ´ 2 ´ 2 ´ 5 donc la liste des diviseurs de 20 est {1 ; 2 ; 2 ´ 2 = 4 ; 5 ; 2 ´ 5 = 10 ; 20}

17 = 1 ´ 17 donc la liste des diviseurs de 17 est {1 ; 17}

Remarques :

Activité (suite) :

Réponse :

Le PGCD de 15 et 12 est 3.

Application directe :

Trouver le PGCD de 66 et de 44.

Réponse :

Cas particuliers :

Trouver le PGCD de 22 et 15.

Réponse :

22 = 1 ´ 2 ´ 11 = 1 ´ 22 donc la liste des diviseurs de 22 est {1 ; 2 ; 11 ; 22}

Définition :

Exemple :

4 et 15 sont premiers entre eux car ils n"admettent que 1 comme diviseur commun.

3. Simplification d"une fraction

Rappels :

´ 2 ¸ 3 ¸ 4 ´ 10

Exemple :

24====

´ 2 ¸ 3 ¸ 4 ´ 10

Parmi toutes les fractions de même valeur que

24, quelle est celle dont le dénominateur et le numérateur

Réponse : 5

4 . On dit alors que5

4 est une fraction irréductible.

Définition :

Autre exemple :

Simplifier la fraction

450 pour jusqu"à ce qu"elle soit irréductible.

¸ 2 ¸ 3 ¸ 5

Réponse : 2

450=== Fraction irréductible :

¸ 2 ¸ 3 ¸ 5

Comment, en une seule étape, écrire

450 en une fraction irréductible ?

¸ 30

Réponse : 2

450= Or 30 est le PGCD de 450 et 60.

¸ 30

Conclusion :

Application directe :

21 en une fraction irréductible.

Pourquoi la fraction13

17 est-elle déjà irréductible ?

Réponse :

7 ; 35 ; 70} pour 70 et {1 ; 3 ; 7 ; 21} pour 21

Donc le PGCD de 70 et 21 est égal à 7.

21 =

3 en divisant par 7 le numérateur et dénominateur.