Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire
2 Arrangement sans répétition Définition : On appelle arrangement sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments de E, toute disposition ordonnée de p éléments de E Remarque : Un arrangement de n éléments pris parmi les n éléments d’un ensemble E est une permutation
Fees and Refund Policy and Procedures - Einstein College of
more than 50 of the total tuition fees up front for the course before the student commences the course that are more than 25 weeks The College can require 100 of the total tuition fees for short courses of 25 weeks or less 2 Protection of tuition fees paid in advance by student visa holders is undertaken in
division 50-50% sans r arrangement fusionner en 9630218754 O n
division 50-50 sans r arrangement fusionner en nnr cursion/2 l ments/2 l ments9630218754 O(n)
Application and Enrolment Policy and Procedures
non-tuition fees i only use links to provide supplementary material 13 The College must include in the written agreement for overseas students the following information, which is to be consistent with the requirements of the ESOS Act, in relation to refunds of tuition fees and non-tuition fees in the case of student default and provider default:
Eurocode 1: Actions on Structures Part 1-1: General actions
Use of EN 1991-1-1 •Gives design guidance and actions for the structural design of buildings and civil engineering works, including the following aspects : - densities of construction materials and stored materials
Co-curricular Music Program Handbook 2020
• A fortnightly lesson arrangement may be negotiated with individual tutors REPORT CARDS Parents receive two report cards per year from the Co-curricular Music Department to let you know the progress that your daughter is making in their lessons These report cards are emailed out as a PDF at the end of the first and second semesters
Guide to Standards - Pools and Spas - SAI Global
AS 1900-2002, Flotation aids for water familiarization and swimming tuition Water safety signs placed near pools and spas should follow the recommendations in: AS/NZS 2416 1:2010, Water safety signs and beach safety flags – Specifications for water safety signs used in workplaces and public areas (ISO 20712-1:2008, MOD)
CONTRACT OF LEASE KNOW ALL MEN BY THESE PRESENTS
2 The LESSOR, however, sans participation, negligence or fault, shall not be liable for: (a) Failure of power and water supply, and telephone and internet connections; (b) Any damage caused by fire, earthquake, strike, demonstration, riot, rebellion, typhoon, war or any unforeseen event which may render the
Educational Opportunities and Geographical Distribution of
Érudit est un consortium interuniversitaire sans but lucratif composé de l'Université de Montréal, l'Université Laval et l'Université du Québec à Montréal Il a pour mission la promotion et la valorisation de la recherche Érudit offre des services d'édition numérique de documents scientifiques depuis 1998
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Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire I)Notions de dénombrements
Pour une grande partie des calculs de probabilité discrète, on cherche à calculer le nombred'événements réalisables, le nombre d'événements favorables, etc. D'où la nécessité d'utiliser des outils
de dénombrement et d'analyse combinatoire.Dans tout ce paragraphe, E désigne ensemble à n éléments que l'on suppose distinguables.
1.Permutations
On appelle permutation des n éléments de l'ensemble E toute disposition ordonnées de ces néléments.
Remarque :
Deux permutations ne différent donc que par l'ordre des n éléments distinct qui la composent. Le
nombre de permutations de n éléments est le nombre de manières possibles d'ordonner ces n éléments.
Exemple :
les permutations de l'ensemble (1,2,3) sont : (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)(3,2,1).Propositions :
Le nombre de permutations à n éléments est n! (n factorielle)Démonstration :
On démontre ce résultat par récurrence. Il y a1! manières de permuter 1 élément.
Supposons qu'il y en a
(k-1)!pour la permutation de (k-1) éléments. Alors étant donné kéléments, on en choisit 1 parmi k, ce qui donne k possibilités, et il reste (k-1) éléments
à ordonner, soit
(k-1)! possibilités. Le total fait donc k(k-1)!=k!Par convention on pose0!=1Exemple :
Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire les n boules l'une après
l'autre (on s'intéresse à l'ordre), sans les remettre dans l'urne (on n'autorise pas de répétition). Le
nombre de tirages possibles est le nombre de permutations de l'ensemble (1,2,..,n), c'est à dire n!.2.Arrangement sans répétition
Définition :
On appelle arrangement sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments de E, toute
disposition ordonnée de p éléments de E.Remarque :
Un arrangement de n éléments pris parmi les n éléments d'un ensemble E est une permutation.
Dans un arrangement on se contente de p éléments pris parmi les n, tel que p Les arrangements à 2 éléments de l'ensemble (1,2,3) sont (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)Proposition : le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est l'une après l'autre (on s'intéresse à l'ordre), sans les remettre dans l'urne (on n'autorise pas de répétition). Le nombre de tirages possibles est le nombre d'arrangements sans répétition à p éléments On appelle combinaison sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments d'un ensemble Deux combinaisons ne diffèrent que par la nature des éléments qui la composent, l'ordre de ces Le nombre de combinaisons sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est Le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n éléments est éléments (correspondant au nombre de permutations des p éléments de la combinaison) est donc au ordre et sans répétition, le nombre de tirages possibles est le nombre de combinaison sans répétition à De combien de façons peut-on constituer le groupe des 5 personnes qui commencent par la prise de sang a) Si Jean fait partie du groupe " prise de sang », il ne reste plus qu'à choisir 4 personnes parmi 6 ce E étant un ensemble fini de cardinal n déterminant le nombre de parties de E (de combinaison) sans oublier On appelle arrangement avec répétition de à éléments pris parmi les n éléments de l'ensemble E toute Les arrangements avec répétition à 2 éléments de {1,2,3} sont (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), Le nombre d'arrangement avec répétition de p éléments de l'arrangement parmi les n éléments de l'ensemble Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire p boules l'une après l'autre (on s'intéresse à l'ordre) en les remettant dans l'urne après chaque tirage (on accepte les répétitions), le nombre de tirages possibles est le nombre d'arrangement avec répétition à p éléments de l'ensemble {1,2,3, .....,n} On appelle combinaison avec répétition de p éléments pris parmi les n éléments d'un ensemble E toute Le nombre de combinaisons avec répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire p boules en les remettant dans l'urne après chaque tirage (on accepte les répétitions). On ne s'intéresse pas à l'ordre d'apparition des boules. Le nombre de tirages possible est le nombre de combinaisons avec répétition à p éléments de l'ensemble {1,2, Supposons que le n éléments de l'ensemble E se répartissent en l (petit L) catégories. Il y éléments de On appelle permutation avec répétition de n éléments de l'ensemble E, toute disposition où figure fois un élément de type 1, fois un éléments de type 2, ..........., fois un éléments de type l. La permutation avec répétition n'est pas un cas particulier d'arrangement avec répétition, contrairement au cas sans répétition. La " répétition » n'agit pas dans le même contexte pour permutation et l'arrangement. 2 -Dans le cas des permutations, répétition signifie qu'un type d'éléments donné de l'ensemble E peut -Dans le cas d'arrangement, répétition signifie qu'un même élément de l'ensemble E peut être Le nombre de permutations avec répétition des n éléments de l'ensemble E (répartissant l catégories) : Il y a n! permutations différentes des n éléments de l'ensemble. Pour obtenir le nombre de permutations avec répétition il faut considérer le fait que les éléments d'un même type vont fournir une même permutation. Or le nombre de permutations identiques fournies par les éléments de type k est . Au total Dans une urne contenant n boules de l couleurs différentes avec boules de couleur , boules de couleur C2, ......., boules de couleur Cl (avec n1+n2+......nl=n) sans les remettre dans l'urne ( la répétition joue au niveau des couleurs). Le nombre de tirages possibles distincts est le nombre de Quel est le nombre de tirages distincts possibles qu'on peut faire à partir de 5 boules, en sachant qu'il y en a Soit une expérience aléatoire E composée de r expériences successives, la première pouvant produire un résultat quelconque parmi n1 résultats possibles, la deuxième produisant un résultat quelconque parmi n2 résultats possibles,....., la rième pouvant produire un résultat quelconque parmi nr résultats possibles. Le nombre total de résultats possibles pour l'expérience aléatoire E est le produit de n1*n2 *n3*.....*nr. Autrement dit, le nombre de choix possibles pour une expérience aléatoire consistant à faire un choix et un ·On choisit 4 chiffres parmi 10 avec ordre et avec remise et on choisit 2 lettres parmi 26 avec ordre et ·Si une expérience aléatoire E peut être réalisé de r manières différentes, la première fournissant n1 résultats distincts possibles,......, la rième fournissant nr résultats distincts possibles, alors le nombre Autrement dit le nombre de choix possibles pour une expérience aléatoire consistant à faire 1 choix Dans une urne contenant 49 boules numérotées de 1 à 49, on tire simultanément 6 boules. Calculons le ·Au moins 5 bons numéros c'est exactement 5 bons ou exactement 6 bons numéros. Il y a 1 seul On considère une urne de n boules distinguables, où on effectue p tirages successifs. Combien il y a-t-il deExemple :
En itérant on vérifie qu'il y a
(n-p+1) façons de choisir le p ième élément de l'arrangement. Au total, le nombre d'arrangements est donc n(n-1)....(n-p+1). Exemple :
Dans une urne contenant
n boules distinguables (numérotées) on tire les p boules 1,2,...,n, c'est à dire An
p A3 2=3∗2=6n-p+1=3-2+1=2
3.Combinaison sans répétition
Définition :
Remarque :
éléments est indifférent.
Exemple :
Les combinaisons à deux éléments de l'ensemble 1,2,3 sont : 1,2,1,32,3.
(C'est le cas du loto par exemple, car l'ordre n'est pas important) Proposition :
Cnp=n!
p!(n-p)! Démonstration :
Pour une combinaison de
p éléments donnés il y a p! arrangements différents de ces p Exemple :
Dans une urne contenant n boules distinguables on tire p boules simultanément (donc sans 2!(3-2!)=3∗2
2∗1=3
Proposition :
On a les propriétés suivantes :
•Cn p=Cn n-pn! Exemple :
7 salariés sont convoqués pour un contrôle médical
2 vont avoir un cardiogramme et les 5 autres font une prise de sang
1)De combien de façons peut-on choisir les deux personnes qui commenceront la visite par un
électrocardiogramme ?
2)De combien de façons peut-on choisir les 5 personnes qui commenceront la visite par une prise
sang ? Solution :
Il y aC72 façons de choisir 2 parmi 7, C72=7! 5!(7-5)!=7∗6
2!=21=
Exemple :
L'un d'eux s'appelle JEAN
Réponse :
Proposition : Le triangle de PASCAL
On appelle triangle de Pascal le tableau de nombres suivants : Grâce à et et
1 11 1 21 1331
14641
15101051
1615201561
Proposition : Formule du binôme de Newton
Exemple :
Exercice :
Solution :
L'ensemble de toutes les parties de E comprend :
-L'ensemble vide 1 (partie -Les parties de E à 1 éléments, il yen a -Les parties de E à 2 éléments, il y en a -Les parties de E à (n-1) éléments, il y en a -L'ensemble E soit 1 () partie Donc en tout, il y a parties.
En appliquant la formule du binôme de Newton avec a=1 et b=1, on obtient : = . Donc si card (E)=n, le nombre de parties de E est donc 4.Changement avec réflexion
Définition :
Exemple :
Proposition
Exemple :
Exemple :
n=3, p=2, 5. Combinaison avec répétition
Définition :
Exemple :
Les combinaisons avec répétition à deux éléments de l'ensemble {1,2,3} sont: {1,1},{1,2},{1,3},{2,2},{2,3} et {3,3} Proposition :
Exemple :
Exemple d'avant
.n=1, p=2, ==6 6.Permutation avec répétition
Définition :
Au total :
Remarque :
être présent plusieurs fois.
Proposition :
Démonstration :
Exemple 1:
Exemple 2 :
2 blanches et 3 noires.
n=5, n1=3 (tirages distincts possibles) 7.Pratique du dénombrement
Exemple :
Calculons le nombre de plaques minéralogiques distinctes disponibles par département quand la numérotation comprend 4 chiffres et 2 lettres. Exemple :
Au total : 1+ tirages possibles.
8.Synthèse
SANS REMISEAVEC REMISE
AVEC ORDRE
SANS ORDRE
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