Chapitre8-Echantillonnage estimation et intervalle de conf
Fiche d’exercices 8 : Echantillonnage, estimation et intervalle de confiance UE4 Mathématiques PACES - Année universitaire 2015/2016 PHYSIQUE ET MATHS
Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d’hypothèse
• La solution 2 a l’avantage d’être économique (400 étudiants interrogés au lieu de 2600) mais m est soumise aux fluctuations d’échantillonnage • La solution 1 donne une réponse exacte (µ n’est pas soumise aux fluctuations d’échantillonnage) mais est rarement réalisable en pratique (effectif de population, populations
Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance
fluctuationd’échantillonnage (d r 2ndepages14à18) Intervalledefluctuation Intervalledeconfiance 6/1 Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance
PACES - Dunod
PACES 99782100727292-fredon-lim indd I782100727292-fredon-lim indd I 116/06/15 13:576/06/15 13:57 Fiche cours 27 Méthode d’échantillonnage et échantillon
UE4 : Biostatistiques Chapitre 1 : Statistiques Descriptives
d’individus à partir d’un groupe plus restreint – Ce qui nécessite de préciser les notions suivantes ; • Population • Echantillons • Échantillonnage aléatoire • Paramètres • Inférer = tirer une conclusion à partir de propositions ou de faits, et de règles
Cours 4: Statistique inférentielle Échantillonnage
Méthodes d’échantillonnage : ensemble des méthodes permettant de réaliser un sondage (de prélever un échantillon de données) au sein d’une population, de manière à reproduire un échantillon aussi r eprésentatif que possible de cette population Evaluation de ces méthodes : le système d'échantillonnage sera jugé d'après
MATHÉMATIQUES - Académie de Créteil
PACES : disposer de très bonnes connaissances et compétences scientifiques • Fluctuation d’échantillonnage , mais pas explicitation d’intervalle
Fluctuation dans les programmes comparaison Confiance Theorie
Fluctuation dans les programmes comparaison Confiance Theorie´ approximation 1,96 ? intervalle ? Estimation Term 3 Intervalle de fluctuation : dans les programmes 1 en Seconde : si n ≥ 25 et 0 ,2 ≤p 8 la frequence observ´ ee´ f ∈ p − 1 √ n;p + 1 √ n avec une probabilite d’´ au moins 0,95 2 en Terminale si n ≥ 30, np > 5, n
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Intervalle de fluctuation
Intervalle de confiance
()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance1 / 1Intervalle de fluctuation - Intervalle de
confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenirà l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut
estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenirIntervalle de fluctuation d"unefréquence
Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1Intervalle de fluctuation - Intervalle de
confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenirà l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut
estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenirIntervalle de fluctuation d"unefréquence
Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1Intervalle de fluctuation - Intervalle de
confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenirà l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut
estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenirIntervalle de fluctuation d"unefréquence
Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1Intervalle de fluctuation - Intervalle de
confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenirà l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut
estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenirIntervalle de fluctuation d"unefréquence
Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1Intervalle de fluctuation - Intervalle de
confiance La notion d"intervalle de fluctuation est un "fil rouge" des programmes de lycée. Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance dans les programmes (résumé) :Interv. de fluctuationInterv. de confianceSecondeh
p1pn ;p+1pn iSensibilisationPremièreAvec la loi binomialexxx
Terminale
pupp(1p)pn ;p+upp(1p)pn h f1pn ;f+1pn i ()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance3 / 1Intervalle de fluctuation
Dans le sens commun (sondages par exemple), un
échantillonest un sous-ensemble obtenu par prélèvement aléatoire dans une population.Dans le programme (seconde) :
unéchantillon de taillenest constitué des résultats denrépétitions indépendantes de la même expérience.La fréquencefdes individus possédant le caractère dans
l"échantillon varie d"un échantillon à l"autre : c"est la fluctuation d"échantillonnage. Les fluctuations diminuent lorsque la taille des échantillons augmente. ()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance4 / 1Intervalle de fluctuation
Dans le sens commun (sondages par exemple), un
échantillonest un sous-ensemble obtenu par prélèvement aléatoire dans une population.Dans le programme (seconde) :
unéchantillon de taillenest constitué des résultats denrépétitions indépendantes de la même expérience.La fréquencefdes individus possédant le caractère dans
l"échantillon varie d"un échantillon à l"autre : c"est la fluctuation d"échantillonnage. Les fluctuations diminuent lorsque la taille des échantillons augmente. ()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance4 / 1Intervalle de fluctuation
Définition(programme de seconde)
Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %: centré autour dep(proportion du caractère dans la population), contient, avec une probabilité (au moins) égale à 0,95, lafréquence observée dans un échantillon de taillen.Il existe, pour un même seuil,plusieurs intervalles de
fluctuation. On peut vérifier que, pour une même valeur dep, cesintervalles sont de plus en plus proches lorsquenaugmente.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance5 / 1
Intervalle de fluctuation
Définition(programme de seconde)
Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %: centré autour dep(proportion du caractère dans la population), contient, avec une probabilité (au moins) égale à 0,95, lafréquence observée dans un échantillon de taillen.Il existe, pour un même seuil,plusieurs intervalles de
fluctuation. On peut vérifier que, pour une même valeur dep, cesintervalles sont de plus en plus proches lorsquenaugmente.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance5 / 1
Intervalle de fluctuation
En fonction de l"appartenance ou non defà l"intervalle de fluctuation à 0,95 que l"on a déterminé, on prendunedécisionconcernant la conformité de l"échantillon :sifn"appartient pas à l"intervalle,on rejette, au
risque d"erreur de 5 %, l"hypothèse que l"échantillon est compatible avec le modèle;dans le cas contraire,on ne peut pas rejeter l"hypothèse.(d.r. 2nde pages 14 à 18)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance6 / 1Intervalle de fluctuation
En fonction de l"appartenance ou non defà l"intervalle de fluctuation à 0,95 que l"on a déterminé, on prendunedécisionconcernant la conformité de l"échantillon :sifn"appartient pas à l"intervalle,on rejette, au
risque d"erreur de 5 %, l"hypothèse que l"échantillon est compatible avec le modèle;dans le cas contraire,on ne peut pas rejeter l"hypothèse.(d.r. 2nde pages 14 à 18)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance6 / 1Intervalle de fluctuation
En fonction de l"appartenance ou non defà l"intervalle de fluctuation à 0,95 que l"on a déterminé, on prendunedécisionconcernant la conformité de l"échantillon :sifn"appartient pas à l"intervalle,on rejette, au
risque d"erreur de 5 %, l"hypothèse que l"échantillon est compatible avec le modèle;dans le cas contraire,on ne peut pas rejeter l"hypothèse.(d.r. 2nde pages 14 à 18)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance6 / 1Intervalle de fluctuation vu en seconde
D"après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taillen fournissent une fréquencefappartenant à l"intervalle p1;96rp(1p)n ;p+1;96rp(1p)n :En seconde, on majore 1;96pp(1p)par 1; l"intervalle p1pn ;p+1pn contient l"intervalle précédent. (d.r. collège page 24)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance7 / 1Intervalle de fluctuation vu en seconde
D"après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taillen fournissent une fréquencefappartenant à l"intervalle p1;96rp(1p)n ;p+1;96rp(1p)n :En seconde, on majore 1;96pp(1p)par 1; l"intervalle p1pn ;p+1pn contient l"intervalle précédent. (d.r. collège page 24)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance7 / 1Intervalle de fluctuation - Loi binomiale
(première) Avec la notion de variable aléatoire et la loi binomiale, il n"est plus nécessaire d"approximer par la loi normale. L"intervalle de fluctuation à 95 % d"une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire, d"une variable aléatoireXde loiB(n;p)est l"intervalle an ;bn défini par :aest le plus petit entier tel queP(X6a)>0;025;best le plus petit entier tel queP(X6b)>0;975.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance8 / 1
Intervalle de fluctuation - Loi binomiale
(première) Avec la notion de variable aléatoire et la loi binomiale, il n"est plus nécessaire d"approximer par la loi normale. L"intervalle de fluctuation à 95 % d"une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire, d"une variable aléatoireXde loiB(n;p)est l"intervalle an ;bn défini par :aest le plus petit entier tel queP(X6a)>0;025;best le plus petit entier tel queP(X6b)>0;975.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance8 / 1
Intervalle de fluctuation - Terminale
F n= variable aléatoire qui, à tout échantillon de taillen, associe la fréquence d"apparition du caractère dans cetéchantillon.
pupp(1p)pn ;p+upp(1p)pn =intervalle de fluctuation asymptotiqueau seuil 1deFn. Il contientFnavec une probabilité d"autant plus proche de1quenest grand.
En terminale ES/L, STI2D, STL, STMG :
=0;05; 1=0;95;u=1;96. (seuil 95 %).()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance9 / 1Intervalle de confiance
Estimation d"une proportion inconnuepgrâce à unéchantillon aléatoire
Soitfla fréquence observée dans un échantillon de taillen.On peut faire uneestimation ponctuelleen posantp=f.
Cette estimation varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage.Mieux : On cherche unintervalle de confiance de la proportionp(c"est-à-dire un intervalle contenant " très vraisemblablement »p) à partir de la fréquencef.(d.r. 3ème p.25, 2nde p.18, terminale p.30 ...)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance10 / 1
Intervalle de confiance
Estimation d"une proportion inconnuepgrâce à unéchantillon aléatoire
Soitfla fréquence observée dans un échantillon de taillen.On peut faire uneestimation ponctuelleen posantp=f.
Cette estimation varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage.Mieux : On cherche unintervalle de confiance de la proportionp(c"est-à-dire un intervalle contenant " très vraisemblablement »p) à partir de la fréquencef.(d.r. 3ème p.25, 2nde p.18, terminale p.30 ...)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance10 / 1
Intervalle de confiance
Estimation d"une proportion inconnuepgrâce à unéchantillon aléatoire
Soitfla fréquence observée dans un échantillon de taillen.On peut faire uneestimation ponctuelleen posantp=f.
Cette estimation varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage.Mieux : On cherche unintervalle de confiance de la proportionp(c"est-à-dire un intervalle contenant " très vraisemblablement »p) à partir de la fréquencef.(d.r. 3ème p.25, 2nde p.18, terminale p.30 ...)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance10 / 1