PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques
PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et
Produit Scalaire - CRIFPE
Cours Produit Scalaire Page 1 sur 6 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Produit Scalaire Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I- Norme d’un vecteur 1°) Définition : u étant un vecteur de représentant le bipoint (A;B), on appelle norme de u le nombre réel positif noté : u =d(A;B)
Le produit scalaire et ses applications - F2School
On retrouve le produit scalaire en physique pour le travail d’un force En effet le travail W d’une force ~F est égale au produit scalaire du vecteur force ~F par le vecteur déplacement~‘ W = ~F ~‘ Une dépaneuse remorque une voiture en panne sur une côte de 20 degré La
LE PRODUIT SCALAIRE ( Dans le Plan) I) ANGLES ORIENTES DE
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment Définition n°2: avec les coordonnées Dans un repère orthonormé (O,Åi,Åj) , soient Åu x y et Åv x′ y′ alors , on a : Åu Åv=xx ′+yy ′
Produit scalaire dans le plan Applications
On appelle produit scalaire des vecteurs # u et # v de l’Espace le produit scalaire des vecteurs # AB et # ACdans le plan P Remarques 4 2 1 On a alors : # u # v = 1 2 h k# u + # vk2 k # uk2 k # vk2 i: Cette égalité est bien indépendante du plan Pchoisi 2 Quitte à se placer dans le plan P, les différentes expressions du produit
PRODUIT SCALAIRE de lespace
le produit scalaire de et dans l’espace est le produit scalaire de AB Définition2 :par AC dans le plan ABC, noté uv remarques: 1) est un nombre réel définit par Si u 0 ou v 0 alors uv 0 Si uz0 et vz0 alors soit H le projeté orthogonal de sur la droite -AB et alors uv AB AC AH AB u c a d uv AB AC AH AB u si AB et AH ont le même sens
PROF: ATMANI NAJIB Le produit scalaire - AlloSchool
Le produit scalaire Exercice 1 Une unit´e de longueur a ´et´e choisie Soit ABC un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 3, B’ est le milieu de [AC] et D le point d´efini par la relation : 4 Ý AD Ñ AB 3BC 1 a) D´emontrer que D est le barycentre du syst`eme : (A,3); (B,-2); (C,3) b) En d´eduire que D appartient a la m´ediatrice du
Le produit scalaire - Corrigé Exercice 1
Le produit scalaire - Corrigé Exercice 1 : 1) =×=4× 4+2 =24 car et sont colinéaires et de même sens 2) =××cos =8×5×cos 60 ° =8×5׈ ˙ =20 3) = ˝ par projection orthogonale =×˝ =7×3=21 car et ˝ sont colinéaires et de même sens 4) On utilise la formule des normes avec la différence : = 1 2
Ch 11 Produit scalaire et applications 1 S 1
Mais comme le produit scalaire se comporte comme le produit habituel, on a décidé de le noter avec les mêmes notations G Identités remarquables Le produit scalaire se comporte comme le produit des réels et on a des identités remarquables qui ressemblent aux identités remarquables habituelles : ♠ Exercice 15 Prouvons-le
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Le produit scalaireExercice 1Une unit´e de longueur a ´et´e choisie.Soit ABC un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 3, B" est le milieu de [AC] et D le point d´efini par la relation :4
?3?1. a)D´emontrer que D est le barycentre du syst`eme : (A,3); (B,-2); (C,3)b)En d´eduire que D appartient `a la m´ediatrice du segment [AC].2.D´emontrer que
?32?3.Calculer DA2et DB24.D´eterminer l"ensemble (E) des points M v´erifiant la relation : 3 MA2- 2 MB2+ 3 MC2= 12V´erifier que le centre de gravit´e G du triangle ABC appartient `a (E).Exercice 2On consid`ere dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC= 4 cm et AC = 5 cm.Soit I le milieu de [BC].1.Montrer que AI =
?33 cm.2. a)Soit M un point du plan.Pour quelle valeur du r´eelmle vecteur ?est-il ´egal `a un vecteurind´ependant du pointM?D´eterminer alorsen fonction du vecteur?.b)D´eterminer et construire l"ensembleFdes points M du plan tels que : -MA2+ MB2+ MC2= -25.Exercice 3´Ecrire une ´equation cart´esienne du planP, sachant que le projet´e orthogonal de l"origine surPest le pointA(1; 5; 7).Exercice 4´Ecrire une ´equation de la sph`ere de centre I(3; 1; -4), passant par le point A(4; 2; 1).Exercice 5V´erifier que A(4; -1; 2) est un point de la sph`ereS; ´ecrire une ´equation du plan tangent en A `aS.S:2
?2 ?2 ?6 ?2 ?4 ?3 ?0.Exercice 6Calculer la distanceddu point A `a la droiteDsachant que :la droiteDa pour ´equation ?4 ?2 ?0;et le point A a pour coordonn´ees (-1; 3).1PROF: ATMANI NAJIB Exercice 7Dans l"espace muni d"un rep`ere orthonormal O;, on consid`ere les points A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0;0; 1) et D(0; -1; 0).1.V´erifier que le triangle ABC est ´equilat´eral.2.Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales?3.Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].Calculer
?CI ?CJ. En d´eduire une mesure en degr´es de l"angleICJ.4.On appelle H le projet´e orthogonal de J sur la droite (CI).Calculer les coordonn´ees de H.Quel rˆole joue le point H sur le triangle ABC?Exercice 8ABCD est un t´etra`edre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K etL les milieux respectifs de [AD], [BC],[AC] et [BD].1.Montrer que
?AB ?DC ?2 ?IJ et que ?AB ?DC ?2?KL.2.Montrer que (IJ) et (KL) sont s´ecantes et orthogonales.3.Quelle est la nature du quadrilat`ere IKJL? Calculer la longueur de ses cˆot´es en fonction de a.4.Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que IKJLsoit un carr´e.Exercice 9Soit
?2 ?1;1; ?2 ?1 et 1; ?2 ?1; ?4 ?2 ?2 .Calculer?; qu"en d´eduit-on pouret?V´erifier ce r´esultat par un autre calcul.Exercice 10Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan.D´emontrer que (AB2+ CD2) - (AD2+ CB2) = 2
?DB?AC `a l"aide de relations de Chasles judicieusementchoisies dans le premier membre.Exercice 111.Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l"´egalit´e :
?MA ?BC ?MB ?CA ?MC ?AB?0.2.Application :montrer que les trois hauteurs d"un triangle sont concourantes.Indication :On appelle H le point d"intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi `a latroisi`eme hauteur.2PROF: ATMANI NAJIB
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