Les fonctions polynômes de degré 2
1STMG 135 Factoriser une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines 1STMG 136 Déterminer le signe de la fonction de la forme x −→ a(x −x1)(x −x2) I Introduction aux fonctions polynômes du second degré 1 Définition On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f définie sur Rpar une
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c Caractéristiques de la fonction du second degré Théorie : Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a 0) est une parabole Cette parabole : Possède un axe de symétrie: droite parallèle à y, d’équation x = −b 2 a
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0 Remarque :
Le second degré - Accueil
Le second degré Les savoir-faire 110 Etudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée 111 Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts 112 Donner la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré 113
Le second degre Exercices - SITE DE MATHS-SCIENCE DU MME CHESNEL
Exercice N°4 : Signe du polynôme de second degré 1 )Soit f la fonction définie sur [0 ; 3] par f(x) = -4x 2 + 12x – 9 a) Résoudre à la calculatrice l’équation f(x) =0
Second degré Fiche d’exercices
IIS estiment que le nombre de bactéries présentes dans la culture en fonction du temps t, en min, est donné par : 5t2 N(t) — 50t 1000 Quel est le nombre maximum de bactéries obser- vables ? f est une fonction polynôme du second degré dont les racines sont —4 et 5 De plus, on sait que f(3) 8 Déterminer la forme développée de f(x)
Chapitre 2 : Fonction et équation du deuxième degré
B Fonction du second degré Une fonction du second degré est fonction ayant une équation du type : =² ++ avec ≠0 Remarques : 1) Elle est dite du second degré car son exposant le plus élevé est le carré 2) Si =0 , le terme du second degré disparait et on a alors une fonction du premier degré
1 Fonctions polynôme de degré 2
Si on connaît une racine d’une fonction polynôme du second degré, on peut calculer l’autre racine en utilisant la somme ou le produit des racines Lorsque cela est possible, on cherchera une racine évidente parmi des nombres simples comme 1, −1, 2, −2, etc
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITION On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f(x)=ax2 +bx+c (a,b et c réels avec a6=0) Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 +bx+c est aussi appelée trinôme du second degré DÉFINITION
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1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur
par une expression de la forme : f(x)=ax 2 +bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : -
f(x)=3x 2 -7x+3 g(x)= 1 2 x 2 -5x+ 5 3 h(x)=4-2x 2 k(x)=(x-4)(5-2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x)=5x-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x)=5x 4 -3x 3 +6x-8est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur
par f(x)=ax 2 +bx+c peut s'écrire sous la forme : f(x)=ax-α 2 , où α et βsont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. La forme canonique d'une fonction est de la forme :
f(x)=J(x - J)2 + J où J, J et J sont des nombres réels. Exemples : f(x)=32x-1()2+4 g(x)=-2x+5()2-4 h(x)=-3x-5()2-12
2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Démontrer qu'une expression est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/M3vCMgYzvM8 Soit la fonction f définie sur
par : f(x)=2x 2 -20x+10. Démontrer que 2x-5()2-40est la forme canonique de f. 2x-5()2-40=2x2-10x+25()-40=2x2-20x+50-40=2x2-20x+10=f(x) III. Variations et représentation graphique Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :
f(x)=2x-1 2 +3Alors :
f(x)≥3 car 2x-1 2 est positif. Or f(1)=3 donc pour tout x, f(x)≥f(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par
f(x)=ax-α 2 , avec a≠0 . - Si a>0 , f admet un minimum pour x=α . Ce minimum est égal à β . - Si a<0 , f admet un maximum pour x=α . Ce minimum est égal à β . Remarque : Soit la fonction f définie sur par : f(x)=ax 2 +bx+c , avec a≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour
x=- b 2a . - Si a>0 : x -∞ f(x) β3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Si
a<0 : x -∞ f(x) β Dans un repère orthogonal O,i ,j, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x=α. Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/pXWDPw3B3ms Soit la fonction f définie sur par
f(x)=-x 2 +4x. 1) Démontrer que -x-2()2+4 est la forme canonique de f. 2) Représenter graphiquement la fonction f.
4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1) -x-2()2+4=-x2-4x+4()+4=-x2+4x-4+4=-x2+4x=f(x) 2) On a donc f(x) = -(x - 2)2 + 4 f admet donc un maximum pour x = 2. Ce maximum est égal à égal à 4. Il est possible de le vérifier : ()
2 (2)2244 f=--+= . Les variations de f sont donc données par le tableau suivant : x -∞2 +∞
f(x) 4 On obtient la courbe représentative de f : Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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