Le second degré - lyceedadultesfr
1 Factoriser le trinôme suivant : P(x) = 2x2 + 3x 14 Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les racines de ce trinôme sont : 7 2 et 2 , donc : P(x) = 2 x + 7 2 (x 2) Nous retrouvons le résultat que nous avons démontré avec la forme canonique 2 Factoriser le trinôme suivant : Q(x) = 3x2 18x + 27
Le second degré - exercices
Le second degré - exercices Exercice 1 Pour chacune des fonctions polynômes d'expression ax bx c2 + + qui suit, préciser les valeurs des réels a , b et c , puis calculer le discriminant Donner les résultats entiers , décimaux, ou sous la forme d’une fraction simplifiée si ce n’est pas un décimal pour le calcul de ∆
Problèmes équations du second degré (1) Correctif : Problèmes
4ème Problèmes équations du second degré (1) 1 Correctif : Problèmes à résoudre avec des équations du second degré : Exercice 1 Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noel Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes
CHAPITRE Problèmes du second degré 4
la symétrie de la parabole via le tableau de valeurs de la fonction carré Les fonctions polynômes du second degré sont introduites avec un problème d’optimisation puis largement étudiées Ces dernières permettent une ouverture sur les inéquations produit de deux termes polynomiaux de degré 1 et sont
Problemes sur le second degre - Free
On sait que le coût de production de 50 vestes est égal à 5 850 € a) Calculer le prix de vente de 50 vestes Le prix de vente de 50 vestes est de € b) On appelle bénéfice la différence entre le montant des ventes et le coût de production pour une quantité donnée Calculer le bénéfice réalisé par la vente des 50 vestes
Chapitre 2 : Fonction et équation du deuxième degré
Une fonction du second degré est fonction ayant une équation du type : =² ++ avec ≠0 Remarques : 1) Elle est dite du second degré car son exposant le plus élevé est le carré 2) Si =0 , le terme du second degré disparait et on a alors une fonction du premier degré
(EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Bac Pro tert)
EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Exercice 1 Le propriétaire d’un restaurant souhaite refaire ses cartons publicitaires Il désire pour des raisons esthétiques que les dimensions L et ℓ de chaque carton rectangulaire respectent l’égalité suivante : 1 5 2 L L + + = où 1 5 2 + est appelé le « nombre d’or »
LES PROBLEMES OUVERTS AU CYCLE 3 DE L’ECOLE PRIMAIRE ET A
Dans le cadre de la liaison CM2-6ème, le groupe « Mathématiques » du Loir-et-Cher propose aux enseignants des premier et second degrés des situations d’enseignement axées sur la résolution de problèmes pour apprendre à chercher Les constats PISA et les mathématiques
Partie 1 : Vibrations des systèmes linéaires de second ordre
canonique de l’équation différentielle régissant le l’évolution du système La méthode de résolution de ce problème peut aussi être étendue à des systèmes comportant de nombreux degrés de libertés, y compris les systèmes continus (modes propres d’une corde dans un instrument de musique, vibration
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Le second degré
Table des matières
1 La forme canonique du trinôme
21.1 Le trinôme du second degré
21.2 Quelques exemples de formes canoniques
21.3 Forme canonique du trinôme
32 Racines du trinôme
42.1 Définition
42.2 Le discriminant est positif
52.3 Le discriminant est nul
52.4 Le discriminant est négatif
62.5 Conclusion
63 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines
73.1 Factorisation du trinôme
73.2 Somme et produit des racines
83.3 Application
84 Signe du trinôme et inéquation du second degré
94.1 Le discriminant est positif
94.2 Le discriminant est nul ou négatif
104.3 Conclusion
105 Représentation du trinôme
116 Équation paramètrique
127 Équation ou inéquation se ramenant au second degré
137.1 Équation rationnelle
137.2 Inéquation rationnelle
147.3 Équation bicarrée
157.4 Équation irrationnelle
167.5 Somme et produit de deux inconnues
168 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré
178.1 Problème de résistence équivalente
178.2 Un problème de robinet
188.3 Une histoire de ficelle
19 Paul Milan 1 sur21 Première S
1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
1Laformecanoniquedutrinôme
1.1Letrimômeduseconddegré
Définition 1 :
On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1(x)=x2+2x8
P2(x)=2x2+3x14
P3(x)=x2+4x5
1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques
La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un termepuis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8
Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P1(x)=x2+2x+118
=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P2(x)=2
x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916Cela donne :
=2 x 2+32 x+916 9167! =2266664 x+34 2 916
7377775
=2266664 x+34 2 121163
77775forme canonique deP2(x)
on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 1142377775
=2 x+34 114x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P
1(x)=x24x+5
on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3Forme canonique du trinôme
Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+cOn factorise para, cela donne :
P(x)=a
x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S2 RACINES DU TRINÔME
on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.Cela donne :
=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23
77775Théorème 1 :
La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :P(x)=a266664
x+b2a! 2 b24ac4a2377775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule
un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.2Racinesdutrinôme
2.1Définition
Définition 2 :
Les racines d"un trinômes sont les solutions de l"équation : ax2+bx+c=0Définition 3 :
On pose =b24ac. L"équationax2+bx+c=0devient donc : a266664
x+b2a! 2 4a2377775=0
Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de, cette quantité est appelé discriminant.Paul Milan 4 sur21 Première S2 RACINES DU TRINÔME
2.2Lediscriminantestpositif
Comme le discriminantest positif, la forme canonique se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1CCCCA0BBBB@x+b2a+p
2a1CCCCA=0
On obtient alors deux solution :
x+b2ap2a=0oux+b2a+p
2a=0On obtient alors :
x 0=b+p2aoux00=bp
2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0
On calcule:
=b24ac =3242(14) =9+112 =121 =112 Commeest positif, il existe deux solutions distinctesx0etx00: x 0=b+p2a=3+114
=2 x 00=bp2a=3114
=72On conclut par :
S=( 72;2)