Chap 7 EF3 Inégalités & sens de variation d’une fonction
et p u Proposition (Sens de variation de 1/u) Soit u une fonction définie surun intervalle I telle que u soit de signe constant et nes’annulantpas Onsupposede plus que u est monotone sur I La fonction 1 u définie sur I par x → 1 u(x) a unsens de variation contraire àceluide lafonction u surl’intervalle I ☎ R ˚ C
Dé rivabilité ét Etudé WWWDyrassacom dés fonctions
5-En déduire le signe de ′( ) puis les variations de f ( ) = s + ???? Exercice 7: Soit f la fonction définie par : 1-Déterminer le domaine de définition de f 2-Montrer que f est périodique 3-Montrer que f n’est ni paire ni impaire -Calculer ′( ) En déduire le sens de variation de f sur ]−???? 2;3???? 2
Exercices sur le sens de ariavtion dune fonction arp somme
2 Donner le sens de ariationv de u et de v sur leurs domaines de dé nition respectifs 3 En déduire le sens de arivation de u v Exercice 8 : On considère les fonctions u et v dé nies de la manière suivante : u(x) = 1 x 5 et v(x) = p x+ 3 1 Déterminer l'expression de u v, la simpli er, puis donner le domaine de dé nition de cette
EPREUVES - educationsncom
c) En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variations de f 4) On appelle la représentation graphique de la fonction dans un plan muni d’un repère orthonormal dont l’unité est 2 cm Démontrer que les droites d’équations respectives : et sont des asymptotes
Première S - Parfenoff org cours de mathématiques
Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : +1 = × 3 et 0 = -2 Réponse : Pour tout n appartenant à ℕ, +1 = × 3 la suite ( ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 mais 0 = -2 < 0 La suite ( ) est donc strictement décroissante Exemple 3 : Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : +1 =
Morphologie du français (ch 8, Initiation à la linguistique
de variation libre est l'alternance entre les mots yaourt et yogourt Le choix entre une de ces variantes ne dépend en effet pas de l'environnement dans lequel ce mot apparaît mais résulte d'un choix individuel du locuteur Autre exemple de variation libre, le choix entre les deux formes du verbe essayer au présent : essaie ou essaye
ableauT de variation
3 Découverte des ariationsv de la fonction f (a)Recopiez et complétez le tableau de aleursv ci-dessous pour f x 10x 2x2 x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 f x (b)Une autre façon de voir les choses est de tracer la courbe représentative de f avec la calculatrice : Qu'apporte de plus cette méthode par rapport à la précédente?
Croissance et structure par âge de la population : quel
boom et de l’allonge-ment régulier de la lon-gévité individuelle2 Comme les variables dé-mographiques enregis-trent des variations si-gnificatives au sens sta-tistique du terme quel que soit l’horizon de temps retenu, on peut s’attendre à ce que le rythme de croissance et la variation de la distri-bution par âges de la population
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6XLPHV JpRPpPULTXHV I) Définition
MULTIPLIE toujours par le même nombre appelé RAISON Exemple: Une voiture, achetée neuve coûtait 20 000 ¼ (en 2008), perd chaque année 20% 20 16 Soit ݑ la valeur de la voiture en 2008. ݑ = 20 000 HVP-à-dire ݑଵ = ݑ ൈ 0,8 = 16 000Soit ݑ la valeur de la voiture au bout de ݊ années, ݑ = ݑିଵ ൈ 0,8
Déclaration des variables : i , n entiers ; u , q réels ; Entrer la valeur du réel u et celle du réel q ; u est le terme initial, q la raison Traitement des données : Pour i variant de 0 à nAfficher u ;
Affecter à u la valeur de uൈq ;
Fin de la boucle Pour ;
Les affichages successifs donnent les valeurs des termes de la suiteII) Les deux formules de calculs de termes.
appelée raison: On peut obtenir directement la valeur de ࢛ à partir de celle de ࢛ en appliquant la formule suivante : Cas particulier où le 1er rang est 0 : ࢛ൌ࢛ൈRemarques:
définition de suite géométrique.élevé.
nombre ݎ .Exemples :
Exemple 1 : Soit la suite (ݑ) définie par: ݑାଵ= ݑ ൈ 3 et ݑ = 2
1) Justifier que cette suite est géométrique
3) Calculer ݑ en fonction de n
Réponse :
multipliant toujours par 3 , la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1 er terme 2On applique la 2
ème formule :
ଵହ = ݑൈ 3153) ݑ = ݑ× 3n ࢛ = 2 × 3n
Exemple 2 : Soit la suite (ݑ) définie par: ࢛3) Calculer ݑ en fonction de n
Réponse : 1) Pour tout n appartenant à Գ, ݑାଵ= ݑ ൈ ଵ
multipliant toujours parème formule : ݑ
ିଵ le 1er terme de la suite est ݑଵ au lieu de ݑLa suite a donc un terme de moins donc
Exemple 3 : Soit (ݑ) la suite géométrique définie sur Գ par ݑଷ = 4 et ݑ = 32.
Déterminer la raison et le 1
er terme ݑ de ݑRéponse :
ݑ est une suite géométrique de raison q. Pour tous entiers m et n :32 = 4 ൈ
ݍଷ donc ݍଷ = 8. Donc ݍ = 2
Son 1 er terme est ݑ : ݑଷ = ݑ ൈ 2.Montrer que ݑ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son 1er terme U0 Réponse : 1. Pour tout n appartenant à Գ, Son 1 er terme est ࢛ = 5 naturel ݊:Alors, pour tout entier naturel ݊, ݑାଵൌ ݑൈ ݍାଵ donc ݑାଵൌ ݑൈ ݍൈ ݍ ൌ ݍ ൈ ݑ , donc
Montrons maintenant la réciproque qui est :
naturel ݊, ݑାଵൌ ݑൈ ݍ alors ݑൌ ݑൈ ݍ
. n lignes FMV JpQpUMO RZ OH SUHPLHU UMQJ HVP : parൌ ݑାబ dans ce cas ݒ = ݑబ ainsi on se ramène au cas précédent.
en multipliant membre à membre ces n égalités ci-contre on obtient : On constate que les termes se simplifient deux à deux sauf deux (ݑ et ݑ) et on obtient pour tout entier naturel ݊:0 < ݍ < 1 ݍ > 1 ݍ = 1
ݑబ > 0 (ݑ) est strictement décroissante. (ݑ) est strictement croissante. (ݑ) est constante. ݑబ < 0 (ݑ) est strictement croissante. (ݑ) est strictement décroissante. (ݑ) est constante. ݑబ = 0 (ݑ) est une suite nulleDémonstration:
tout entier naturel ݊, ݑൌ ݑబൈ ݍ 1 er cas : ݑబ - 2 3ème cas : ݑబൌ - pour tout entier naturel n, ݑൌݑ݊-ൈ ݍ݊ = 0. La suite est donc
nulle.Exemples:
Exemple 1:
Etudier le sens de variation de la suite (ݑ) définie par : ାଵ= ݑ ൈ 3 et ݑ = 2Réponse :
Pour tout n appartenant à Գ, ݑାଵ= ݑ ൈ 3 la suite (ݑ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 La suite (ݑ) est donc strictement croissante.Exemple 2:
Etudier le sens de variation de la suite (ݑ) définie par : ାଵ= ݑ ൈ 3 et ݑ = -2Réponse :
Pour tout n appartenant à Գ, ݑାଵ= ݑ ൈ 3 la suite (ݑ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 mais ݑ = -2 < 0 La suite (ݑ) est donc strictement décroissante.Exemple 3 :
Etudier le sens de variation de la suite (ݑ) définie par : ݑ Pour tout n appartenant à Գ, ݑାଵ= ݑ ൈ ଵ la suite (ݑ) est une suite géométrique de raison ଵ ିૢ = 111 111S =111 111
2) Démonstration: S = 1 + + ( + ݍଷ Ą ""BĄ ݍ
3 = + ( + ݍଷ +ݍସ + ""BĄ ݍାଵ3 െ 3 = + ( + ݍଷ +ݍସ + ""BĄ ݍାଵ Ȃ (1 + + ( + ݍଷ Ą ""BĄ ݍ ) =
= + ( + ݍଷ +ݍସ + ""BĄ ݍାଵ Ȃ ͳ െ െ ( െ ݍଷ െ ""Bെ ݍ
= Ȃ ͳ + ( Ȃ ) + (( െ () + (ݍଷെ ݍଷ Ą ""BBĄ ݍെ ݍ ) + ݍାଵ
= Ȃ ͳ + 0 + 0 + 0 Ą"""BĄ 0 + ݍାଵOn obtient donc :
ݍ3 െ 3 = -1 + ݍାଵ donc :V) Exemple de graphique
Exemples :
(voir points rouges ci-dessous pour ݑൌ - et les points bleus pour ݎ ൌ ͳ et ݑൌ
Les points verts ci-dessous sont les premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique de raison ͳǡ- et de terme initial ݑൌ -ǡͷ.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27