Algèbre linéaire et bilinéaire I

II Noyau, image et rang d’une matrice 2 1 Déﬁnitions Soit A 2Mn,p(K) † On appelle noyau de A et on note Ker A le sous-ensemble de Mp,1(K) déﬁni par : Ker A ˘{X 2Mp,1(K) , AX ˘0}

Noyau et image des applications linéaires

Noyau d’une application lin eaire : d e nition D e nition Si f : E F est une application lin eaire, son noyau, not e Kerf est l’ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := fv 2Ejf(v) = 0g: Exemple Le noyau de la projection p := (x;y;z) 7(x;y;0) de R3 sur son plan horizontal est l’axe vertical d e ni par x = y = 0

Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr

chacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs 2,−1 sont les racines de l’équation det(A−λId)=0 ) : diagonaliser A 5 −3 6 −4 det(A−λId)=0 λ = 2 ւ ց−1 A−λId 3 −3 6 −6 6 −3 6 −3 base du noyau 1 1 1 2 assembler P = 1 1 1 2 et M = 2 0 0 −1 vériﬁer que AP =PM Conclure que A =PMP−1 A est diagonalisée

1 Noyau et image d’une matrice - a IEZZI

Ecrire la matrice A de l’application linéaire f en base canonique de R3 3 Déterminer le noyau et l’image de f Donner une base du noyau et de l’image et en déduire leur dimensions

I Théorie du rang COMPLEMENTS SUR LES MATRICESI 1 Image et

I Théorie du rangCOMPLEMENTS SUR LES MATRICESI 1 Image et noyau d’une matrice A2M n;p(K) Complément sur les matrices 1Image et noyau d’une matrice A2M n;p(K) • Application canoniquement associée à A C’est l’application f A 2L(Kp;Kn) de matrice A dans les bases canoniques On note :•KerAˆKp le noyau de l’application f A

TD 24 Matrices et applications linéaires - heb3org

Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vériﬁer le théorème du rang Faire de même

Algèbre linéaire et bilinéaire I

La proposition suivante montre que la somme du rang d’une matrice et de la dimension de son noyau est égale à la dimension de l’espace sur lequel est déﬁnie la matrice Proposition 1 (formule du rang) Soit A une matrice de taille m×n rang(A) +dim ker(A) = n 2 Matrices échelonnées 2 1 Déﬁnition d’une matrice échelonnée

ELEMENTS DALGEBRE LINEAIRE, - u-bordeauxfr

En s'aidant d'une suite constante (u n) n∈ NI , exprimer v n et w n en fonction de n - Exercice 3 - B est la base canonique de IR 3, ϕ est l'endomorphisme de IR 3,de matrice M B (ϕ) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1) Déterminer Ker ( ϕ) En donner base et dimension -2) Déterminer Im ( ϕ) En donner base et dimension

Matrice d’une application linéaire

priment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M0qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M =P 1M0P Plus en détails pour chacun des cas : 1 Im f ˆKer f et discuter suivant la dimension du noyau 2 Utiliser l’exercice9: Ker f Im f et il existe une base telle

[PDF] Algèbre linéaire et bilinéaire I