Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

), d’où les formules suivantes : cos(x) = 1 tan2 x 2 1+tan2 x 2; sin(x) = 2tan x 2 1+tan2 x 2: Et tant qu’on y est, une factorisation utile (formules de l’arc-moitié) : ei +ei = 2cos 2 exp i + 2 ; ei ei = 2isin 2 exp i + 2 : 2

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (inﬁniment) dérivables sur ] 1;1[ et arctangente est (inﬁniment) dérivable sur R Leurs dérivées sont données par Propriété 6

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Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime FonctionDomaine de dérivabilitéDérivée ln(x)R +;1 xe xRe x1 xR 1x 2pxR +;1 2 px x ;2RR +;x

1cos(x)Rsin(x)sin(x)Rcos(x)tan(x)]2

+k;2 +k[;k2Z1 + tan

2(x) =1cos

1 +x2OpérationDérivée

f+gf

0+g0fgf

0g+fg0f

0gfg0g

2gff 0g0f1 u u0u 2u nnu

0un1puu

02 pu e uu

0euln(u)u

0usin(u)u

0cos(u)cos(u)u0sin(u)FonctionIntervalle d"intégrationPrimitive

(xa)n;n2N;a2RR1 n+ 1(xa)n+11 xa;a2R] 1;a[OU]a;+1[ln(jxaj)1 (xa)n;a2R;n2] 1;a[OU]a;+1[

1(n1)(xa)n1cos(ax);a2Rnf0gR1

a sin(ax)sin(ax);a2Rnf0gR 1a cos(ax)tan(x)]k2 ;k+2 [;k2Zln(jcos(x)j)ln(x)R +;xln(x)xe ax;a2Rnf0gR1 a eax(xa);a2R;2Rnf1g]a;+1[1 + 1(xa)+1a x;a >0R1 ln(a)ax1 x

2+ 1Rarctan(x)pxa;a2R]a;+1[2

3 (xa)3=21pxa;a2R]a;+1[2

pxa1p1x2]1;1[arcsin(x)Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles.a;betxsont des réels (quelconques) :

cos

2(x) + sin2(x) = 1;cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b);sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b);

cos(2x) = 2cos2(x)1 = 12sin2(x);cos2(x) =1 + cos(2x)2 sin(2x) = 2sin(x)cos(x);sin2(x) =1cos(2x)2 1 Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques Définition1(Logarithme).On définitln :]0;+1[!Rcommelaprimitive dex7!1x qui s"annule en 1.

Propriété1.

1.lnest continue et strictement croissante sur]0;+1[.

2.8x;y2]0;+1[;ln(xy) = ln(x) + ln(y).

3.8x >0;ln(1x

) =ln(x).

4.8x;y2]0;+1[;ln(xy

) = ln(x)ln(y).

5.8n2N;8x >0;ln(xn) =nln(x).

6.limx!0+ln(x) =1etlimx!+1ln(x) = +1Définition2(Exponentielle).On définitexp:R!]0;+1[commelasolution de l"équation différentielley0=yde

condition initialey(0) = 1.

On noteexp(x) =ex.

Propriété2.

1.expest continue et strictement croissante surR.

2.8x;y2R;ex+y=exey:

3.8x2R;ex= 1=ex:

4.8x;y2R;exy=exe

5.8n2N;8x2R;enx= (ex)n:

6.limx!1ex= 0etlimx!+1ex= +1:Propriété3.On a8x2R;ln(ex) =xet8x >0;eln(x)=x.

Définition3(Fonction puissance).Soita2R. On définit lafonction puissancesur]0;+1[par p a(x) :=ealn(x):On notexa:=ealn(x).

Exemples :

ln(x2) = 2ln(x); e2x+y=e2xey;2x=exln(2);px=x12 =e12 ln(x);3px=x13 =e13 ln(x):

Croissances comparées :Pour tous >0; >0,

lim x!+1(lnx)x = 0etlimx!0+xjlnxj= 0 lim x!+1e xx = +1etlimx!1jxjex= 0

Autrement dit, l"exponentielle impose toujours sa limite en1aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours

leur limites en0+ou+1au logarithme.

Fonctions circulaires réciproquesOn suppose connues les fonctionssinusetcosinus. On rappelle que la fonctiontangenteest définie sur]2

;2 [par tan(x) =sin(x)cos(x). Valeurs spéciales des fonctions trigonométriquesx0 6 4 3

2233456

cos(x)1p3 2p2 21
20 12 p2 2 p3

21sin(x)01

2p2 2p3 21p3
2p2 21
20 tan(x)01p31p31 p31 1p30 2

Formules de trigonométrie

cos

2(x) + sin2(x) = 1 tan(x) =sin(x)cos(x)

cos(x+ 2) = cos(x) sin(x+ 2) = sin(x) tan(x+) = tan(x) cos(2x) = 2cos2(x)1 = 12sin2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Définition4(Arcsinus).Sinus est une bijection de[2 ;2 ]sur[1;1]. On appellearcsinussa réciproque.

8x2[1;1];82[2

;2 ]; x= sin(),arcsin(x) =:

Définition5(Arccosinus).Cosinus est une bijection de[0;]sur[1;1]. On appellearccosinussa réciproque.

8x2[1;1];82[0;]; x= cos(),arccos(x) =:

Définition6(Arctangente).Tangente est une bijection de]2 ;2 [surR. On appellearctangentesa réciproque.

8x2R;82]2

;2 [; x= tan(),arctan(x) =:

ArcsinusArccosinusArctangente

Propriété4.

1.8x2[1;1];sin(arcsin(x)) =x.

2.8x2[1;1];cos(arccos(x)) =x.

3.8x2R;tan(arctan(x)) =x.Icixappartient au domaine de défi-

nition de la fonction réciproque.

Propriété5.

1.82[2

;2 ];arcsin(sin()) =.

2.82[0;];arccos(cos()) =.

3.82]2

;2 [;arctan(tan()) =.FAttention, icine parcourt pas tout l"ensemble de définition des fonctions sinus, cosinus ou tangente!

Exemples :

1.arcsin(sin(175

)) = arcsin(sin(205 35
)) = arcsin(sin(35 )) =35

2.arccos(cos(175

)) = arccos(cos(205 35
)) = arccos(cos(35 )) = arccos(cos(35 )) =35

3.arctan(tan(175

)) = arctan(tan(35 )) =35

Dérivées :Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur]1;1[et arctangente est (infiniment)

[PDF] Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

1cos(x)Rsin(x)sin(x)Rcos(x)tan(x)]2

2(x) =1cos

1 +x2OpérationDérivée

0+g0fgf

0g+fg0f

0gfg0g

0un1puu

0euln(u)u

0usin(u)u

0cos(u)cos(u)u0sin(u)FonctionIntervalle d"intégrationPrimitive

1(n1)(xa)n1cos(ax);a2Rnf0gR1

2+ 1Rarctan(x)pxa;a2R]a;+1[2

2(x) + sin2(x) = 1;cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b);sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b);

Propriété1.

1.lnest continue et strictement croissante sur]0;+1[.

2.8x;y2]0;+1[;ln(xy) = ln(x) + ln(y).

3.8x >0;ln(1x

4.8x;y2]0;+1[;ln(xy

5.8n2N;8x >0;ln(xn) =nln(x).

6.limx!0+ln(x) =1etlimx!+1ln(x) = +1Définition2(Exponentielle).On définitexp:R!]0;+1[commelasolution de l"équation différentielley0=yde

On noteexp(x) =ex.

Propriété2.

1.expest continue et strictement croissante surR.

2.8x;y2R;ex+y=exey:

3.8x2R;ex= 1=ex:

4.8x;y2R;exy=exe

5.8n2N;8x2R;enx= (ex)n:

6.limx!1ex= 0etlimx!+1ex= +1:Propriété3.On a8x2R;ln(ex) =xet8x >0;eln(x)=x.

Exemples :

Croissances comparées :Pour tous >0; >0,

2233456

21sin(x)01

Formules de trigonométrie

2(x) + sin2(x) = 1 tan(x) =sin(x)cos(x)

8x2[1;1];82[2

8x2[1;1];82[0;]; x= cos(),arccos(x) =:

8x2R;82]2

ArcsinusArccosinusArctangente

Propriété4.

1.8x2[1;1];sin(arcsin(x)) =x.

2.8x2[1;1];cos(arccos(x)) =x.

3.8x2R;tan(arctan(x)) =x.Icixappartient au domaine de défi-

Propriété5.

1.82[2

2.82[0;];arccos(cos()) =.

3.82]2

Exemples :

1.arcsin(sin(175

2.arccos(cos(175

3.arctan(tan(175

Propriété6.1.8x2]1;1[;arcsin

0(x) =1p1x2.

2.8x2]1;1[;arccos

0(x) =1p1x2.

3.8x2R;arctan

0(x) =11 +x2.