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I Notion dévénement Probabilités 4 I Notion dévénement

la probabilité d’un événement est un nombre bien défini et fixe, alors que, la fréquence de ce même événement sera un nombre variable, fluctuant légèrement d’une série d'expériences aléatoires réelles à une autre étymologie : En arabe : « az-ahr » signifie : avec les dés En latin : « aléa » signifie : dé

Probabilités et Statistique - UNIGE

6 CHAPITRE 0 INTRODUCTION en 1563), ainsi qu’à Kepler2 et Galilée3 Toutefois, il est généralement admis que la théorie des probabilités débute réellement avec les travaux de Pascal4 et de Fermat5

Notions de probabilités - HEC Montréal

est l'événement complémentaire de l'événement m 2 ⋂ n est l'événement pour lequel les deux événements se réalisent (Si ⋂ L∅, on dit que m et n sont des événements mutuellement exclusifs) 3 ⋃ n est l'événement pour lequel au moins un des événements m ou n se réalise

Hasard, probabilités et statistique

Hasard, probabilités et statistique Louis ESCH1 L’objectif de ce chapitre est tout d’abord de dresser rapidement le portrait de ce que l’on entend par hasard, aléatoire, fortuit, ensuite d’examiner quels sont les différents sens du mot probabilité, et enfin de voir comment ces deux éléments interviennent en statistique

Chapitre 3 : Combinatoire, Probabilités

L’étude statistique nous conduit à étudier une population finie et parfaitement déterminée par rapport à un ou plusieurs paramètres Pour cela nous avons mis en place un certain nombre d’outils élaborés : les paramètres de position ( moyenne, médiane, fréquence etc ) et les statistiques de dispersion ( écart moyen, écart type,

Événement parallèle du CSNU 15 février 2021 9 h à 10 h 30 HNE

REMARQUE: l'événement sera disponible en anglais et en français À propos de Les organisateurs : Division de statistique des Nations Unies (UNSD) et le Partenariat mondial pour les données du développement durable (GPSDD) Concentrer Les données administratives collectées par les gouvernements et les prestataires de services dans leurs

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I. Notion d'événement Probabilités 4

ème

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I. Notion d'événement

Introduction.

Le calcul des probabilités s'occupe de phénomènes aléatoires, c'est-à-dire de phénomènes qui, lorsqu'ils sont observés dans des conditions déterminées, ne mènent pas toujours à la même issue. Néanmoins, même si ces phénomènes ont des issues variées, dépendant du hasard, on observe une certaine régularité statistique. On doit à Pierre de Fermat et Blaise Pascal les premières bases du calcul des probabilités. exemple :

Lorsqu'on jette une pièce de monnaie, l'issue de l'expérience, c'est à dire l'apparition de pile ou face,

n'est pas prévisible. Néanmoins, si l'on répète cette épreuve ( expérience aléatoire ) un grand nombre

de fois, la fréquence relative du nombre d'apparitions de face dans la série d'épreuves est toujours

voisine de 0,5 ( pour une pièce symétrique ). Cette permanence statistique a été vérifiée au XVIII e siècle déjà par Buffon, qui lançant une pièce de monnaie 4'040 fois, a obtenu 2'048 faces, soit une fréquence de 0,5069.

Au début du XX

e siècle, Pearson a obtenu une fréquence de 0,5005 pour 24'000 coups. Il est permis

de supposer qu'en lançant une pièce de monnaie un nombre encore plus grand de fois, on arriverait à

une fréquence encore plus proche de 0,5.

Dans l'exemple que nous avons choisi, cette probabilité de 0,5 apparaissait d'emblée pour des raisons

de symétrie évidentes. Mais il n'en est pas de même pour un grand nombre de phénomènes aléatoires

montrant cependant aussi une telle régularité statistique : accidents de la circulation, durée de la vie

humaine, proportion de pièces défectueuses produites par une machine, etc. Le calcul des probabilités, que nous allons présenter sous forme axiomatique, est un modèle mathématique pour certains aspects quantitatifs de ces phénomènes réels :

la probabilité d'un événement est un nombre bien défini et fixe, alors que, la fréquence de ce même

événement sera un nombre variable, fluctuant légèrement d'une série d'expériences aléatoires réelles à

une autre.

étymologie :

En arabe :" az-ahr » signifie : avec les dés.

En latin :" aléa » signifie : dé.

Définitions et notations.

définitions : L'univers est l'ensemble U de toutes les issues possibles, incompatibles deux à deux, qui se présentent au cours d'une épreuve aléatoire déterminée.

Une issue est un élément de l'ensemble U.

Blaise Pascal

( 1623 - 1662 )

Pierre de Fermat

( 1601 - 1665 )

I. Notion d'événement Probabilités 4

ème

- 2

exemple : On jette un dé une seule fois, et on note le nombre de points obtenu. Les issues possibles

sont 1 , 2 , 3 , 4 , 5 et 6. On prend donc, pour l'univers de cette expérience : `1;2;3;4;5;6U définition : Un événement est un sous-ensemble de l'univers. exemple : Pour l'expérience précédente, sont des événements : `1=" le nombre obtenu est 1 ». `1; 3=" le nombre obtenu est impair et plus petit ou égal à trois ». `2;4;6=" le nombre obtenu est pair ». exercice I.1 : On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. a) Donner l'univers de cette expérience aléatoire.

b) Décrire, en français dans le texte, trois événements liés à cette expérience.

définition : On dit qu'un événement a eu lieu s'il contient l'issue qui s'est produite lors de l'expérience. exemple : Soit l'expérience qui consiste à jeter un dé. Posons

1;2;3;4;5;6U, et supposons que

le résultat obtenu soit la face 3. Alors l'événement : `1;3;5=" le nombre obtenu est impair » a eu lieu. `1;2;4;6=" le nombre obtenu est soit 1, soit pair » n'a pas eu lieu. définitions et notations : est l'événement impossible. n'a jamais lieu. U est l'événement certain.U a toujours lieu. A se lit l'événement contraire de A.A a lieu A n'a pas lieu. ABse lit l'événement A union B.AB a lieu A ou B a lieu. AB se lit l'événement A inter B.AB a lieu A et B ont lieu. Un événement élémentaire est constitué d'une issue exactement. Si deux événements A et B sont tels que AB, on dit qu'ils sont incompatibles. De tels événements ne peuvent se produire simultanément.

I. Notion d'événement Probabilités 4

ème

- 3 exercice I.2 : On considère le jet d'un dé à six faces et l'univers 1;2;3;4;5;6U.

Soient les événements :

A=" le nombre obtenu est pair ».

B =" le nombre obtenu est plus petit ou égal à quatre ».

C=" le nombre obtenu est 1 ou 5 ».

a) Compléter les égalités suivantes : A=B= A B AB =AB= BC =BC=

AB C=AB C=

ABC=AC B=

b) Trouver un événement élémentaire de U. c) Trouver deux événements incompatibles. d) Trouver un événement, non élémentaire, qui soit incompatible avec B. e) Illustrer, à l'aide des diagrammes, les opérations ensemblistes données en légende. 1 3 5 6 4 2 1 3 5 6 4 2 AB AB 1 3 5 6 4 2 1 3 5 6 4 2 ACB BC f) Trouver une issue telle que AB soit réalisé. Même question avec AB.

II. Diagramme ensembliste Probabilités 4

ème

- 4

II. Diagramme ensembliste

Soient A et B deux événements d'un univers U. En utilisant uniquement les symboles A , B , A ,

B , et , déterminer les événements décrits ci-dessous et les illustrer dans les diagrammes de

Venn.

1) " A et B sont réalisés » :

2) " A ou B est réalisé » :

3) " A n'est pas réalisé » :

4) " A est réalisé et B n'est pas réalisé » :

5) " Un seul des événements A, B est réalisé » :

6) " Ni A, ni B n'est réalisé » :

A B U AB U A B U A B U AB U A B U

III. Axiomes et théorèmes Probabilités 4

ème

- 5

III. Axiomes et théorèmes

Ce n'est qu'en 1933 que la théorie des probabilités a été présentée sous une forme axiomatisée par le mathématicien russe Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1987) dans sa publication : "Fondements de la théorie des probabilités". Soit U un univers fini. On dit que l'on définit une probabilité sur les événements de U si à tout événement AU on associe un nombre PA, appelé probabilité de l'événement

A, satisfaisant aux trois axiomes suivants :

remarque : Tous ces axiomes sont " légitimes ». En effet, il est souhaitable que la probabilité d'un

événement soit positive ou nulle, que l'événement certain ait une chance sur une de se produire, et

enfin que la probabilité de réalisation de deux événements incompatibles soit la somme des

probabilités de chacun des événements. théorème 1 : 0P en effet : U PU =PU P PU =PU P0P théorème 2 :1PǹPA en effet : etUAA AA PA A PA PA 1= PA PA

1PA PA

(1) Pour tout événement A, 0PA. (2) 1PU. (3) Si

AB, alors PA B PA PB .

Andrey Nikolaevich

Kolmogorov

( 1903 - 987 ) A U A

III. Axiomes et théorèmes Probabilités 4

ème

- 6 théorème 3 :

Si alorsAB PǹPB

en effet : , donc aussi ( ) .AA A BA B=

AǺA

PB

0(Axiome1)

PA PB A

PB PA théorème 4 :

PBǹPB PA B

en effet : B=

AǺAǺ

PB

PAǺPAǺ

PB A PǺPAǺ théorème 5 :

PA B PA PB PA B

en effet : AB=

AǺA

PA B

PA PA B

= PA PB PAǺ théorème 6 :

1PA B PA B

en effet : U=

AǺAǺ

PU

PAǺPAǺ

1PAǺPAǺ

B U A A B U A B U A B U

III. Axiomes et théorèmes Probabilités 4

ème

- 7

fait : Le troisième axiome exprime que si A et B sont incompatibles, la probabilité que l'un ou

l'autre se produise égale la somme des probabilités de réalisation de

A et de B :

AB PAB PA PB

En pratique, cela signifie que pour calculer PA B lorsque A et B sont incompatibles, il suffit de

connaître PA et PB. Cet axiome se généralise à une famille d'événements deux à deux incompatibles théorème 7 : Si 12 n AA A sont des événements deux à deux incompatibles, alors :

12 1 2

nn

PA A A PA PA PA

C'est le théorème fondamental. Pour calculer la probabilité d'un événement donné A, on décompose

cet événement en une réunion d'événements incompatibles deux à deux, dont on connaît la probabilité individuelle : U A A 1 A 2 A n

exercice III.1 : Trois personnes A , B et C participent à une course. A et B ont la même probabilité

de gagner, et chacun d'eux a deux fois plus de chance de gagner que

C. Calculer la probabilité pour

que

B ou C gagne.

12 n

PA PA PA PA

III. Axiomes et théorèmes Probabilités 4

ème

- 8 exemple : Fabrication de téléviseurs.

On considère une chaîne de fabrication de téléviseurs. A la sortie, chaque téléviseur subit une

vérification du tube cathodique ( TC ) et du haut parleur ( HP ). Les statistiques montrent que : le TC fonctionne avec une probabilité de 0,81. le HP fonctionne avec une probabilité de 0,75. le TC et le HP fonctionnent simultanément avec une probabilité de 0,66.

Déterminer la probabilité que :

a) le TC fonctionne seul. d) aucun des deux éléments ne fonctionne. b) le HP ne fonctionne pas. e) le téléviseur soit en état de marche. c) seul l'un des deux éléments fonctionne. solution :

On notera :T = " le TC fonctionne »

H = " le HP fonctionne »

U T H a) seul fonctionnePTC b) le ne fonctionne pasPHP c) seul ou fonctionnePTCHP d) ni ni fonctionnePTCHP e) le téléviseur marcheP

D'après l'énoncé :

P(T ) = 0,81 P(H ) = 0,75 PT H = 0,66

T T

H0,66 0,75

H

0,81 1,00

Les données sont en gras, le reste se déduit grâce aux propriétés des probabilités : IV. Evénements équiprobables Probabilités 4

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IV. Evénements équiprobables

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