3s - Dérivées II : problèmes d’extremums - Corrigés
3s-DérivéesII:problèmesd’extremums-Corrigés 2 Corrigé de l’exercice 2 r h g 1 Constante(s) g 2 Variable(s) r,h 3 Expressiondontoncherchel’extremum V = ˇ 3 r2h 4 Contrainte(s) g 2= r2 +h =) r2 = g2 h2 5 Fonction V(h) = ˇ 3 (g2 h 2)h= ˇ 3 (gh h3) 6 Etudedelafonction 0 h g =)D V = [ 0; g] V0(h) = ˇ 3 (g2 3h2) Z V0 = n pg 3; pg 3 o
Extremums locaux, gradient, fonctions implicites
Trouver les points critiques de la fonction f suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle f(x;y)=sinx+y2 2y+1 Indication H Correction H [002642] Exercice 3 1 Soit f une fonction réelle d’une variable réelle de classe C2 dans un voisinage de 02Rtelle que f(0)=0 et f0(0) 6=0 Montrer que la
Exercices corrig´es - Crans
Fonctions d’une variable Exercice 2 3 Soient les fonctions f,g,hd´efinies de la mani`ere suivante : f(x) = r 2 −3x 5 −2x, g(x) = √ 2x−5 et h(x) = ln(4x−3)2 1 D´eterminer leur domaine de d´efinition 2 D´eterminer le domaine de d´efinition des fonctions marginales de f,g,het les calculer 3 Donner un point x
41 croissance, décroissance et extremums d’une fonction
4 1 croissance, décroissance et extremums d’une fonction André Lévesque 4 - 5 Étudier la croissance (ou la décroissance) d’une fonction d’une manière ponctuelle n’est pas très pratique spécialement lorsqu’on désire obtenir le comportement graphique de la fonction Une étude globale serait plus appropriée
Ch 5 — Variations de fonctions
téléphonique d’une entreprise en fonction de l’heure 1 Déterminer D f 2 Dresser le tableau des variations 3 Déterminer les extremums de fsur D f Interpréter ces deux résultats concrètement b b b b 8 12 16 20 0 5 10 heure temps d’attente Exercice 6 Soit fla fonction définie par le graphique ci-contre 1 Déterminer D f 2
El´ements de calculs pour l’´etude´ des fonctions de
1 2 Repr´esentation graphique d’une fonction de deux variables 7 Ainsi pour tracer le graphe d’une fonction d’une variable nous avons rajout´e une nouvelle variable y Le graphe est alors une courbe dans le plan R2 Pour les fonctions de deux variables x et y nous allons aussi rajouter une variable z
MS2 2F3 chapitrecomplet
Une fonction qui ne change pas de sens de variations sur un intervalle est dite monotone sur cet intervalle + −1 + 1 + 2 + 3 −1+ 1+ 0 f(x)• • • x B Maximum et minimum d’une fonction DÉFINITION : Intuitive Sur un intervalle I, le maximum d’une fonction f est la plus grande des valeurs prises par f(x);
NOM : POLYNOMES 1ère S
2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle 3) La fonction polynôme Pdéfinie par P(x) = x5 +x4 +7x+1 n’a pas de racines positives 4) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales 5) Si est une racine de deux fonctions polynômes Ret S, alors, R(x) S(x) est factorisable par x D LE FUR 1/ 50
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Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018
Exercices corrig´es
Merci de me signaler toute coquille pr´esente dans ce document :selim.cornet@dauphine.frFonctions d"une variable
Exercice 2.3
Soient les fonctionsf,g,hd´efinies de la mani`ere suivante : f(x) =?2-3x5-2x, g(x) =⎷2x-5 eth(x) = ln(4x-3)2 1.D ´eterminerleur domaine de d ´efinition.
2. D ´eterminerle domaine d ed ´efinitiondes fonctions marginales de f,g,het les calculer. 3.Donner un p ointx0appartenant aux trois domaines de d´efinition des fonctions marginales def,geth.
4. Calculer l" ´elasticit´edes fonctions f,g,hetfg/henx0. 5.On consid `ereque la fonction hrepr´esente le chiffre d"affaires d"une entreprise en fonction du temps de travailx≥1.
(a) Mon trerque le c hiffred"affaires est stricte mentcroissan tpar r apportau temps de tra vail. (b) Donner un d ´eveloppementli mit´e` al"ordre 2 de hau point 1. (c) En d ´eduirela p ositionde la tangen teau p ointd"abscisse x= 1.Corrig´e
1.La fonction ⎷·´etant d´efinie surR+, dressons un tableau de signe pour d´eterminer le domaine de d´efinition def.
x]- ∞,2/3][2/3,5/2[]5/2,+∞[2-3x+--5-2x++-
2-3x5-2x+-+
fest donc d´efinie sur ]- ∞,2/3]?]5/2,+∞[.gest d´efinie sur [5/2,+∞[. ln ´etant d´efinie surR?+, la fonctionhest
d´efinie sur ]3/4,+∞[. 2.La fonction
⎷·´etant d´erivable sur tout son domaine de d´efinition sauf en 0,fest d´erivable sur ]-∞,2/3[?]5/2,+∞[,
et alorsfm(x) =f?(x) =12 ?5-2x2-3x×-3(5-2x) + 2(2-3x)(5-2x)2=-112(2-3x)1/2(5-2x)3/2. De mˆeme,gest d´erivable sur ]5/2,+∞[ et alorsgm(x) =g?(x) =22 ⎷2x-5=1⎷2x-5.Enfin, ln ety?→y2´etant d´erivables sur tout leur domaine de d´efinition,hest d´erivable sur ]3/4,+∞[ et
h m(x) =h?(x) = 2ln(4x-3)×44x-3=8ln(4x-3)4x-3 3.L"in tersectiondes trois domaines de d ´efinitiondes fon ctionsmarginales est ]5 /2,+∞[. Ainsi,x0= 3 appartient aux
trois domaines de d´efinition. 4.On a, p ourtout x?]- ∞,2/3[?]5/2,+∞[,
e f(x) =xf?(x)f(x)=-11x2(2-3x)1/2(5-2x)3/2?5-2x2-3x=-11x2(2-3x)(5-2x).Pour toutx?]5/2,+∞[,eg(x) =xg?(x)g(x)=x2x-5. Pour toutx?]3/4,+∞[,eh(x) =xh?(x)h(x)=8x(4x-3)ln(4x-3).
Enfin, pour toutx?]5/2,+∞[,efg/h(x) =ef(x)+eg(x)-eh(x) =-11x2(2-3x)(5-2x)+x2x-5-8x(4x-3)ln(4x-3).
1 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 5. (a) ´Etudions le signe dehm. Pourx >1, 4x-3>1 donc ln(4x-3)>0, et 4x-3>0, donchm(x)>0 pour x >1, ce qui prouve quehest strictement croissante sur [1,+∞[. (b)P ourtout x?]3/4,+∞[,h??(x) =8×44x-3(4x-3)-8ln(4x-3)×4(4x-3)2=32(1-ln(4x-3))(4x-3)2. D"o`u le d´eveloppement
limit´e `a l"ordre 2 en 1 : h(x) =h(1)+h?(1)(x-1)+h??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) = 16(x-1)2+(x-1)2ε(x-1), avecε(x-1)-→x→10. (c) On calcule, au v oisinagede 1, h(x)-h(1)-h?(1)(x-1) = (x-1)2(16 +ε(x-1)). Or (x-1)2≥0 et16+ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque limx→1ε(x-1) = 0. Donc au voisinage de 1, la courbe repr´esentative
dehest au-dessus de la tangente en 1.Exercice 2.19
Soitf:x?→xex2+1/x.
1.Donner le domaine de d ´efinitionde f.
2. Donner le d ´eveloppementlimit ´ede fau pointx= 1 `a l"ordre 2. 3. En d ´eduirela p ositiond ela tangen tede fau voisinage du pointx= 1. 4.Mon trerque fest convexe sur [1,+∞[.
Corrig´e
1.L"exp onentielle´ etantd ´efiniesur R, la fonctionfest d´efinie en tout pointxtel quex2+ 1/xsoit d´efini, c"est-`a-dire
queDf=R?. 2.On calcule, p ourtout x?R?,f?(x) =ex2+1/x+x?
2x-1x 2? e x2+1/x=?2x2+ 1-1x
e x2+1/x, puis f ??(x) =?2x2+ 1-1x
2x-1x 2? e x2+1/x+? 4x+1x 2? e x2+1/x=?4x3-2 + 2x-1x
2-2 +1x
3+ 4x+1x
2? e x2+1/x4x3+ 6x-4 +1x
3? e x2+1/x. Il existe alors une fonctionεtelle qu"au voisinage de 1, f(x) =f(1)+f?(1)(x-1)+f??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) =e2+e2(x-1)+72 e2(x-1)2+(x-1)2ε(x-1) avec lim x→1ε(x-1) = 0. 3.L" ´equationde la tangen te` ala courb erepr ´esentativede fen 1 esty=f(1) +f?(1)(x-1). On calcule alors
f(x)-f(1)-f?(1)(x-1) = (x-1)2?72 +ε(x-1)? . Or (x-1)2≥0 et72 +ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque limx→1ε(x-1) = 0. Ainsi, au voisinage de 1, on af(x)≥f(1) +f?(1)(x-1), et donc la courbe repr´esentative def
est au-dessus de la tangente en 1 au voisinage de 1. 4. On a, p ourtout x≥1,4x3-4≥0,6x≥0,1x