Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.

6.1 Quelques rappels

Définitions

Les fonctions trigonométriques sont définies à l'aide du cercle trigonométrique : Considérons le point M du cercle trigonométrique corres- pondant à l'angle .

Le cosinus de , noté cos(), est la 1

ère

coordonnée (ou abs- cisse) de M.

Le sinus de , noté sin(), est la 2

ème

coordonnée (ou or- donnée) de M. La tangente de , notée tan(), est l'ordonnée de T.

Relations fondamentales

(I) sin 2 ()+cos 2 ()=1 (II) tan()=sin() cos()

Valeurs particulières

degrés radians sin cos tan 0°

30°

45°

60°

90°

180°

Graphes des fonctions trigo

96 CHAPITRE 6

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Périodicité

• La fonction sinus est périodique de période ...... sin( + ...) = sin(...) • La fonction cosinus est périodique de période ...... cos( + ...) = cos(...) • La fonction tangente est périodique de période ...... tan( + ...) = tan(...) a) Esquisser la fonction f définie par f(x)=3sin x 2 puis préciser sa période et son amplitude.

Exemple

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97

2M stand/renf - JtJ 2019 b) Esquisser la fonction f définie par f(x)=1

2cosx+

puis préciser sa période, son amplitude.

Exemple

Exercice 6.1 :

Esquisser les fonctions f suivantes en précisant leur période et leur amplitude: a) f(x)=2cos x 3 b)f(x)=sinx+ 2 c) f(x)=3cos x 2

Théorème

Si f(x)=asin(bx+c) ou f(x)=acos(bx+c),

où a, b et c sont des réels non nuls, alors : • l'amplitude A vaut : | a | • la période T vaut : 2 |b|

98 CHAPITRE 6

2M stand/renf - Jt 2019 On considère la fonction f définie parf(x)=3cos x 2 Déterminer l'amplitude A et la période T de f. En déduire son esquisse

Exemple

Exercice 6.2 :

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa pé- riode T et son amplitude A : a) f(x)=sinx 2 b)g(x)=2cos 3x+ c) h(x)=cos x 2 3 d) i(x)=2sin 3x Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon- dantes à ces 4 fonctions :

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 99

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6.2 Quelques équations trigonométriques

Introduction

Une équation trigonométrique est une équation contenant des expressions trigonométriques. Il n"existe pas de mé- thode universelle, mais le cercle trigonométrique sera très souvent votre allié.

Exemple

Résoudre cos(2x) = -0,9

Exercice 6.3 :

Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) cos(x)=1

2 b) sin(3x)=0,829

c) tan(x)=0,754 d) cos(x)=1, 43 e) tanx 2 =5,33 f) sin(3x)=3 2

100 CHAPITRE 6

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Résoudre sin 2x+

2 =3 2

Exemple

Exercice 6.4 :

Résoudre les équations suivantes (en radians): a) sinx+ 4 =1 2 b) cosx 3 =1 2 c) sin 2x 3 =1 2 d) cos 4x 4 =2 2 e) tan(2x+)=3 f) tanx 2 =1

Exemple

Résoudre sin

2 x =1

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 101

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Exercice 6.5 :

Résoudre les équations suivantes (en radians): a) cos 2 x =1 b) sin 2 x =1 4 c) tan 2 x =3 d) sin 2 x =3 4 e) tan 2 x =1 f) sin 2 (x)=cos 2 (x)

Exemple

Résoudre 4cos

2 (x)4cos(x)3=0

Exercice 6.6 :

Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) 2sin 2 (x)5sin(x)+2=0 b) 2cos 2 (x)3cos(x)+1=0 c) tan 2 (x)+2tan(x)=1

102 CHAPITRE 6

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Exemple

Résoudre 3sin

2 (x)+cos 2 (x)2=0

Exercice 6.7 :

Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) 3sin 2 (x)+cos 2 (x)2=0 (en proposant une autre substitution) b) 2cos 2 (x)sin(x)=1 c)

5sin(x)=6cos

2 (x)

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 103

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6.3 Dérivée des fonctions trigonométriques

Introduction

À l'image des chapitres précédents, nous pourrions détermi- ner la dérivée de la fonction f définie par f (x) = sin(x) à l'aide du calcul de limite : lim xa sin(x)sin(a) xa. Essayons de trouver cette dérivée en comparant les graphes de f et de la pente de la tangente en plusieurs points. x 2π y -2 2 f(x)=sin(x) x 2π y -1 1 f (x)=......... Des démarches analogues permettraient de justifier les règles suivantes : Les règles de dérivation des fonctions trigo : 8

ème

règle : Si f(x)=sin(x) f (x)=cos(x) 9

ème

règle : Si f(x)=cos(x) f (x)=sin(x) 10

ème

règle : Si f(x)=tan(x) f(x)=tan 2 (x)+1 ou f(x)=1 cos 2 (x)

Exercice 6.8 :

Dériver les fonctions f suivantes :

a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x 2

· cos(x)

c) f (x) = cos(x) - 2tan(x) d)f(x)=tan(x) x e)f(x)=sin(x)

1+cos(x) f)f(x)=x

sin(x)+cos(x)

104 CHAPITRE 6

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Exercice 6.9 :

En combinant les règles 8 et 9 du tableau précédent, justifier la 10

ème

règle (sous les deux formes).

Exercice 6.10 :

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point indiqué : a) f (x) = tan(x) au point d'abscisse x = b) f (x) = x cos(x) au point d'abscisse x =

Exercice 6.11 :

En quelles valeurs de x[0;2], la courbe y = x + 2sin(x) a-t-elle une tangente horizontale ?

6.4 La dérivée de fonctions composées

Introduction

Nous avons déjà eu l'occasion de dériver quelques fonctions composées codées: f(x)=(gh)(x). Par exemple : • f(x)=x2 correspond à f(x)=(gh)(x) avec g(x) = ......... et h(x) = ......... • f(x)=(3x5) 3 correspond à f(x)=(gh)(x) avecquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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