Variations de fonctions
I Sens de variation Définition : La fonction f est croissante sur l’intervalle I lorsque pour tous les réels x 1 et x 2 de I : si x 1≤x 2, alors f(x 1)≤f(x 2) On dit que la fonction f conserve l’ordre : les réels de l’intervalle I et leurs images par f sont rangés dans le même ordre
1) Sens de variation dune fonction Fonction croissante
Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variation Lorsque le sens de variations d’une fonction est donné par une phrase ou un tableau de variation, comparer les images de 2 nombres d’un intervalle 1) Sens de variation d'une fonction Fonction croissante, décroissante sur un intervalle
Variations de fonctions
Déterminer, en fonction de x le volume de la boîte On note la fonction obtenue V(x) 3 b Dériver V(x), étudier le signe de V’(x) et dresser le tableau de variations de la fonction V 3 c En déduire la valeur de x à choisir pour que le volume de la boîte soit maximal Cours de 1° spé Mathématiques_analyse2 :sens de variation d
Fonctions : sens de variation - èreS
Page 1/ 1 Fonctions : sens de variation - Classe de 1èreS Exercice 1 1 On considère la fonction h définie sur I = [−1 ; 10] par h(t) = t +6 −2t −5 a) Justifier que h est définie et dérivable sur I
Sens de variation dune fonction - Meilleur en Maths
Sens de variation d'une fonction x-6 -2 2 f(x)-4 4-4 Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par f et le signe de f Les antécédents de 0 par f sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses
2°) Démonstration (ROC) 1ère S Règles sur le sens de
- sens de variation (fonction croissante, décroissante) - fonction monotone sur un intervalle Objectif : donner quelques règles permettant d’étudier rapidement le sens de variation d’une fonction à partir de celui de fonctions de référence (sans calcul, c’est-à-dire sans comparer les images de deux réels, comme cela
1 Lien entre signe de la dérivée et sens de variation
1 2 Sens de variation déduit du signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R • Si pour tout x de I, f′(x)>0, alors f est croissante sur I • Si pour tout x de I, f′(x)60, alors f est décroissante sur I • Si pour tout x de I, f′(x)=0, alors f est constante sur I Théorème 2
CHAPITRE N° : FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
• Le sens de variation des fonctions suivantes est à connaître parfaitement : x aax + b x ax2 x a x 1 2°) Tableau de variation a) Définition : étudier le sens de variation d’une fonction consiste à déterminer les intervalles de l’ensemble de définition sur lesquels la fonction est strictement croissante ou décroissante
VARIATIONS D’UNE FONCTION
2) Donner les variations de la fonction 3) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints 4) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations 1) La fonction f est définie sur [–5 ; 7] 2) La fonction f est croissante sur les intervalles [–4 ; 0] et [5 ; 7] Elle est
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Sens de variation d'une fonction
Fiche exercices
EXERCICE 1
f est la fonction définie sur [-3,5;10]par sa courbe représentative tracée en bleu sur le dessin.
✔Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par f ✔Déterminer graphiquement les variations de f et le minimum de f ✔dresser le tableau de variations de fEXERCICE 2
On considère f une fonction strictement décroissante sur[-3;4]Comparer :
✔f-1 et f2 f-1,2 et f-1,4✔f et f3,14 ✔f2,12 et f2,21 ✔f-2,3 et f-2,03Sens de variation d'une fonction
EXERCICE 3
f est la fonction définie sur [-6;2]par sa courbe représentative tracée en bleu sur le dessin.
✔Déterminer graphiquement les variations et le maximum de f. Dresser le tableau de variations de f.
✔Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par f et le signe de f.On admet que fx=-1
2x224
✔Démontrer que 4 est le maximum de f sur [-6;2] ✔Déterminer par le calcul les antécédents de 0 par fEXERCICE 4
f est la fonction définie sur [-3;7]par sa courbe représentative tracée en bleu sur le dessin.
Résoudre graphiquement :
Sens de variation d'une fonction
✔Déterminer les antécédents de 1 par f ✔Déterminer les variations de f. Dresser le tableau de variations de f.EXERCICE 5
f est la fonction définie sur [-2;2]par sa courbe représentative tracée en bleu sur le dessin.
✔Déterminer les variations de f. Dresser le tableau de variations de f. ✔Déterminer graphiquement le signe de fEXERCICE 6
On donne le tableau de variations d'une fonction définie sur l'intervalle : [ - 3 ; 5] x-3025 f(x)5 -40 -3✔Construire la courbe représentative d'une fonction dont le tableau de variations est le précédent.
Sens de variation d'une fonction
CORRECTION
EXERCICE 1
✔Antécédents de 0 par f.Les antécédents de 0 par f sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe
des abscisses.Il y a trois points d'intersection : A ; B ; C d'abscisses respectives : -2,5 ; 2,5 (valeurs approchées) et 6
✔Variations et maximum de f f est strictement décroissante sur [-3,5;0] f est strictement croissante sur [0;4] f est strictement décroissante sur [4;6] f est strictement croissante sur [6;10] le minimum de f est f0=-6 ✔tableau de variations de f x-3,504610 f(x)-6,2 -64 04EXERCICE 2
f est strictement décroissante sur [-3;4] a∈[-3;4]et b∈[-3;4]si abalors fafb ✔f-1 et f2 -12doncSens de variation d'une fonction
f-1f2 ✔f-1,2 et f-1,4 -1,4-1,2donc f-1,4f-1,2 ✔f et f3,143,14donc
f3,14f✔f2,12 et f2,212,122,21donc
f2,12f2,21 ✔f-2,3 et f-2,03 -2,3-2,03donc f-2,3f-2,03EXERCICE 3✔Déterminer graphiquement les variations et le maximum de f. dresser le tableau de variations de f.
f est strictement croissante sur[-6;-2] f est strictement décroissante sur [-2;2]f-2=4 maximum de f.Sens de variation d'une fonction
x-6-22 f(x) -44 -4 ✔Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par f et le signe de f.Les antécédents de 0 par f sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe
des abscisses.Il y a deux points d'intersection A et B d'abscisses respectives : -4,8 et 0,8 (valeurs approchées)
S={-4,8;0,8}
Pour xÎ[-6;-4,8], f(x)<0
Pour x=-4,8, f(x)=0
Pour xÎ[-4,8;0,8], f(x)>0
Pour x=0,8, f(x)=0
Pour xÎ[0,8;2], f(x)<0
On peut aussi présenter le signe de f(x) dans un tableau: x-6-4,80,82 f(x)-0+0-fx=-12x224✔Démontrer que 4 est le maximum de f sur
[-6;2]Pour tout x∈[-6;2]4=f-24-fx=4-4-1
2x22=1
2x22≥0
donc4≥fxet
f-2≥fxdonc4 est le maximum de f
✔Déterminer par le calcul les antécédents de 0 par f fx=0 -12x224=0
12x22-4=0
a-bab=0Sens de variation d'une fonction
x2-8=0ou x28=0 x=-2 8ou x=-2-8S={-2-
8;-28}EXERCICE 4
✔Déterminer les antécédents de 1 par fOn trace la droite D d'équation : y = 1 (la droite passant par le point B(0;1) et parallèle à l'axe des
abscisses).Les antécédents de 1 par f sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f et
de la droite : D Il y a 3 points d'intersection : A; B; C d'abscisses respectives : -2 ; 0 ; 3 S={-2;0;3}✔Déterminer les variations de f. Dresser le tableau de variations de f. ◦f est strictement croissante sur [-3;-1]◦f est strictement décroissante sur [-1;1]◦f est strictement croissante sur [1;5] ◦f est strictement décroissante sur [5;6]◦f est strictement croissante sur [6;7] x-3-11567 f(x )-22 -24 34Sens de variation d'une fonction
EXERCICE 5
✔Déterminer les variations de f. Dresser le tableau de variations de f. ◦f est strictement décroissante sur [-2;0]◦f est strictement croissante sur [0;2] x-202 f(x)0,3 -0,50,3 ✔Déterminer graphiquement le signe de ffx=0Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de
f et de l'axe des abscisses. Il y a 2 points d'intersection : A et B d'abscisses respectives : -1 et 1 •Sur [-1;1] la courbe représentative de f est en dessous de l'axe des abscisses donc pour x-2-112 f(x)+0-0+Sens de variation d'une fonction
EXERCICE 6
On donne le tableau de variations d'une fonction définie sur l'intervalle : [ - 3 ; 5] x-3025 f(x)5 -40 -3✔Construire la courbe représentative d'une fonction dont le tableau de variations est le précédent.