[PDF] Feuille de TD no1 - Université Grenoble Alpes

Convergence d’estimateurs - unicefr

Exercice : On ne suppose plus connue la valeur de a 1 Trouver α(n)etβ(n) tel que ˆb00:= α(n)ˆa +β(n)ˆb soit un estimateur sans biais de b 2 Calculer Var(ˆb) et en d´eduire Var(ˆb0) 3 En d´eduire que les estimateurs ˆb et ˆb0 sont des estimateurs consistents de b et qu’ils convergent en moyenne quadratique

Devoir de statistiques: CORRIGE dur ee 2h

Exercice 1 On consid ere une variable al eatoire X de densit e f avec 1 2 1 2 et f (x) = 8

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Quadratique Moyenne (ce qui n'exige pas forcément d'être sans biais) Pbme: la théorie de l’estimation ne permet pas de résoudre le problème de minimisation de l’EQM (fonction dépendant de manière complexe du paramètre) Un compromis : recherche d’un estimateur sans biais de variance minimale

Exo7 - Exercices de mathématiques

recueil de problèmes - u-bourgognefr

Problème 5 – Pesées et moyenne géométrique (2) Problème 6 – Plaques moyennes et moyenne quadratique Problème 7 – Vitesse et moyenne harmonique Problème 8 – Taux de change et moyenne harmonique Problème 9 – Base « moyenne » d’un trapèze et moyenne harmonique 7 7 9 11 13 15 17 19

2 Thermodynamique, Corrigé

Si on calcule la vitesse quadratique moyenne pour une distribution de Maxwell–Boltzmann, on trouve hv2i = R ∞ 0 v 4 exp(−mv2/(2kT))dv R ∞ 0 v 2 exp(−mv2/(2kT))dv = 3kT/m , ce qui correspond bien à une énergie cinétique moyenne de 3kT/2 Comme on l’a vu en cours à propos de la séparation isotopique, les particules sortent d’autant

Feuille de TD no1 - Université Grenoble Alpes

Exercice 4 Soit (X1, ,Xn) un n-´echantillon de la loi uniforme sur [0,θ], ou` θ > 0 est inconnu En utilisant l’exercice 3 et la question 2a de l’exercice 1, construire un intervalle de confiance pour θ de coefficient de s´ecurit´e 1−α Exercice 5 Quelques rappels de probabilit´es utiles en statistique asymptotique

TD1: Population et échantillonEléments de corrigé

L'estimateur de risque quadratique minimal armip les estimateurs de l'espérance sans biais et de la forme P i X i=nest la moyenne empirique X , qui est donc admissible dans ettec classe d'estimateur Exercice 4 On souhaite estimer par échantillonnage la proportion de ménages de plus de 75 ans possédant un micro-ordinateur 2

06 valeur moyenne efficace puissances - IUTenLigne

Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (C’est souvent le seul moment où ils vont réfléchir à ce qu’ils ont su (ou pas su) faire dans ce devoir) Personnellement, je me refuse à manipuler le barème d’un devoir lors de la correction dans le but d’obtenir une

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Statistiques2010-2011

Feuille de TD n

o1

Estimation, tests et r

´egions de confiance

Exercice 1

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,θ],o`uθ >0 est inconnu.

1. (a) CalculerEθ(X1) et en d´eduire un estimateurθndeθpar la m´ethode des moments.

(b) Calculer l"estimateur du maximum de vraisemblance

θndeθ.

(c) Les estimateurs

θnetθnsont-ils biais´es?

(d) Comparer les risques quadratiques de

θnetθn.

(e) Etudier la convergence en loi de n(θn?θ) et den(θn?θ) lorsquentend vers l"infini.

2. Soitθ0>0. On souhaite testerH0: "θ=θ0" contreH1: "θ=θ0".

(a) Construire un test de niveauαen utilisant l"estimateurθn. Tracer la courbe de puissance de ce test. (b) Construire un test de niveau asymptotiqueαen utilisant l"estimateurθnet une approximation gaussienne.

Exercice 2

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [θ?1

2,θ+12],o`uθest un r´eel inconnu.

L"estimateur du maximum de vraisemblance deθest-il bien d´efini?

Exercice 3

SoitX: (Ω,)(E,) une variable al´eatoire dont la loi appartient `a une famille donn´ee Pθ, θΘ. La vraie valeur du param`etre de la loi deX, not´eeθ, est inconnue.

1. On dispose d"une r´egion de confiance(X) de coefficient de s´ecurit´e 1?αpourθ. Pour

toutθ0Θ, construire un test de niveauαdeH0(θ0) : "θ=θ0" contreH1(θ0) : "θ=θ0".

2. Pour toutθ0Θ, on dispose d"un test de niveauαdeH0(θ0) : "θ=θ0" contreH1(θ0) :

"θ=θ0". Construire une r´egion de confiance(X) de coefficient de s´ecurit´e 1?αpourθ.

Exercice 4

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,θ],o`uθ >0 est inconnu. En utilisant

l"exercice 3 et la question 2a de l"exercice 1, construire unintervalle de confiance pourθde coefficient de s´ecurit´e 1?α.

Exercice 5

Quelques rappels de probabilit´es utiles en statistique asymptotique. On suppose dans toute la suite que (Xn)nNest une suite de variables al´eatoires dansRd, convergeant en loi vers une v.a. X.

1. Soitgune fonction continue en tout point d"un sous-ensembleCdeRdtel queP(X

C) = 1. Montrer que (g(Xn))nNconverge en loi versg(X).

2. Dans cette question, on suppose queXest constante p.s, ´egale `a 0. Soitgune fonction

deRddansRktelle queg(h) =o(hp) au voisinage de 0, pour un entierp?0. Montrer queg(Xn) =oP(Xnp), c"est `a dire qu"il existe une variable al´eatoire r´eelleYndansRk, convergeant vers 0 en probabilit´e, telle queg(Xn) =YnXnp.

3. Soit (Yn)nNune suite de variables al´eatoires dansR, convergeant en loi vers une constante

c. Montrer queXn.Ynconverge en loi versX.c.

4. Soitrnune suite de r´eels tendant vers +etθRdtel quern(Xn?θ) converge en

loi vers une variable al´eatoireT. SoitgdeRddansRk, une fonction diff´erentiable enθ. Montrer quern(g(Xn)?g(θ)) converge en loi vers la variable al´eatoireDgθ(T).

Exercice 6

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi de Poisson de param`etre inconnuθ >0.

1. Estimerθ. On noteraθnl"estimateur propos´e.

2. D´eterminer la loi limite de

θn?θconvenablment renormalis´e (de sorte que la loi limite ne soit pas triviale), puis construire un intervalle de confiance asymptotique de coefficient de s´ecurit´e 1?αpourθ.

3. Proposer un estimateur asymptotiquement sans biais et consistant dePθ(X1= 0).

Exercice 7

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi Gaussienne(μ,σ2), o`uμRetσ >0. On note

μn=1

nn i=1X ietσ2n=1nn i=1(Xi?μn)2.

1. Pr´eliminaires : SoientYle vecteur al´eatoire `a valeurs dansRndont lai`eme coordonn´ee

est (Xi?μ)/σetE1le sous-espace vectoriel deRnengendr´e par le vecteurt(1,...,1). (a) Calculer les projections orthogonales deYsurE1et surE1et en d´eduire la loi de (μn,σ2n). (b) En d´eduire que si l"on noteσnla racine carr´ee positive deσ2n, alorsTt(n?1), o`u T= n?1μn?μσn

2. On suppose dans cette question queμest inconnu etσest connu.

(a) Calculer l"estimateur du maximum de vraisembance deμ. Est-il biais´e? consistant? (b) On se donneα]0,1[ etμ0R. On souhaite construire le test du rapport des vraisemblances deμ=μ0contreμ=μ0au niveauα. Montrer que le rapport des vraisemblances Λ est

Λ = expn

2σ2(μn?μ0)2

puis donner la r´egion de rejet du test du rapport des vraisemblances.

3. On suppose dans cette question queσest inconnu etμest connu.

(a) Estimerσ2et ´etudier les propri´et´es de l"estimateur propos´e. (b) Construire un intervalle de confiance pourσ2.

4. On suppose dans cette question queσetμsont inconnus.

(a) Calculer l"estimateur du maximum de vraisemblance de (μ,σ2) et ´etudier ses pro- pri´et´es. (b) On se donneα]0,1[ etμ0R. On souhaite construire le test du rapport des vraisemblances deμ=μ0contreμ=μ0au niveauα. Montrer que le rapport des vraisemblances Λ est

σ2n

σ2n

n/2

1 +(μn?μ0)2σ2n

n/2 o`uσ2n= i(Xi?μ0)2/npuis donner la r´egion de rejet du test du rapport des vraisemblances. (c) Donner un intervalle de confiance pourμde coefficient de s´ecurit´e 0.95 sur la base de l"observation suivante d"un ´echantillon gaussien : -0.4326 -1.6656 0.1253 0.2877 -1.1465 1.1909 1.1892 -0.0376 0.3273

0.1746 -0.1867 0.7258 -0.5883 2.1832 -0.1364 0.1139 1.06680.0593

-0.0956 -0.8323 0.2944 -1.3362 0.7143 1.6236 -0.6918 (les r´ealisations deμnet deσnsont ici 0.1171 et 0.8955).

Statistiques2010-2011

Feuille de TD n

o2

Tests non param

´etriques

Exercice 8

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon. On noteFnla fonction de r´epartition empirique associ´ee :

tR,Fn(t) =1 nn i=11I Xi?t.

Pour toute fonction de r´epartitionF, on note

D n(F) = sup tRF(t)?Fn(t).

1. Soit (U1,...,Un) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,1] etFune fonction de r´epartition.

On noteUnla fonction de r´epartition empirique associ´ee `a (U1,...,Un),Xune variable al´eatoire de fonction de r´epartitionFetF1l"inverse g´en´eralis´e deF: u[0,1], F1(u) = inftR, F(t)?u, avec la convention inf= +. (a) Montrer que pour tout r´eelt, u, F1(u)?t=u, u?F(t). (b) Montrer que (F1(U1),...,F1(Un)) est unn-´echantillon de la loi deX. (c) En d´eduire que siFest continue et si (X1,...,Xn) est unn-´echantillon de la loi deX, alorsDn(F) est identique en loi `a supt[0,1]Un(t)?t, et la loi deDn(F) ne d´epend pas deF(elle est tabul´ee).

2. On se donne une fonction de r´epartition continueF0, et on noteFla fonction de r´epartition

commune desXi. Construire un test deF=F0contreF=F0sur la base de l"observation de (X1,...,Xn) et montrer que la puissance du test propos´e tend vers 1 en tout point de l"alternative quandn .

3. Tester si la variable al´eatoireXsuit une loi normale(2,1),connaissant l"observation

suivante d"un 21-´echantillon : 0.3, 0.7, 0.9, 1.2, 1.4, 1.4, 1.5, 1.5, 1.6, 1.9, 2.0, 2.1, 2.1, 2.3,

2.5, 2.6, 2.7, 3.0, 3.8, 3.9, 4.0.

Exercice 9

Soient (X1,...,Xn) unn-´echantillon d"une loi continueμet (Y1,...,Ym) unm-´echantillon d"une loiν, ind´ependant de (X1,...,Xn). On noteFnla fonction de r´epartition empirique de (X1,...,Xn),Gmla fonction de r´epartition empirique de (Y1,...,Ym) et on d´efinit D n,m= sup tRFn(t)?Gm(t). On s"int´eresse aux hypoth`esesH0: "μ=ν" etH1: "μ=ν".

1. Montrer que si lesXiet lesYjont la mˆeme loi, alors la loi deDn,mest libre deμetν.

2. En utilisant le fait que la loi deDn,mest connue sousH0(cette loi est tabul´ee), construire

un test deH0contreH1.

3. On souhaite comparer deux m´edicaments cens´es soulagerla douleur post-op´eratoire. On

a observ´e sur 16 patients dont 8 ont pris un m´edicament A habituel et les 8 autres un m´edicament B exp´erimental, les nombres suivants d"heures de soulagement. Y a-t-il une diff´erence significative au niveau 5% entre A et B?

A6,83,15,84,53,34,74,24,9

B4,42,52,82,16,60,04,82,3

Exercice 10

SoitXune variable al´eatoire de fonction de r´epartition inconnueF, et soit (X1,...,Xn) un

n-´echantillon de la loi deX. Pour toutθ >0, on noteFθla fonction de r´epartition d´efinie par

F

θ(x) = (1?exp(?x/θ)) 1Ix>0.

1. On suppose queF , o`u=Fθ, θ >0. D´eterminer l"estimateurTdu maximum de

vraisemblance deθ, puis construire un test deθ= 100 contreθ= 100 au niveau 5%.

2. On noteFnla fonction de r´epartition empirique de (X1,...,Xn), et on d´efinit

n= sup tRFn(t)?FT(t).

Montrer que la loi de Δ

nest libre deθlorsqueF . En d´eduire un test de l"hypoth`ese F contreF . Sin= 5 et que l"on a observ´e les valeurs 133, 169, 8, 122 et 58, tester de deux mani`eres l"hypoth`eseF=F100au niveau 10%.

Exercice 11

Partant de races pures, Bauer a crois´e des mufliers ivoires avec des mufliers rouges. A la deuxi`eme

g´en´eration, apr`es autof´econdation des plantes de la premi`ere, il a obtenu 22 mufliers rouges,

52 pˆales et 23 ivoires. Si la couleur des fleurs est g´er´ee par un couple d"all`eles, la probabilit´e

th´eorique d"obtenir une fleur rouge (resp. pˆale, resp. ivoire) est de 1/4 (resp. 1/2, resp. 1/4).

Que conclure?

Statistiques2010-2011

Feuille de TD n

o3 Mod `eles lin´eaires gaussiens Remarque : les donn´ees se trouvent dans le dossier : /home/doc/rossigno/M1MFA/

Exercice 12

Soientn1etn2des entiers positifs. On observeYij(i= 1,2,j= 1,...,ni) o`u pour tout (i,j),Yij

est de loi(μi,σ2i),μietσi´etant inconnus. Les variablesYijsont suppos´ees ind´ependantes.

1. Tester l"´egalit´e des variancesσ21etσ22.

2. On suppose ici les variances ´egales.

(a) Ecrire le mod`ele sous forme matricielle. (b) Estimer les param`etres du mod`ele. (c) Construire le test de Fisher de l"hypoth`eseH0: "μ1=μ2" contreH1: "μ1=μ2".

3. On traite 12 parcelles de terrain identiques avec un engrais A et 12 autres avec un nouvel

engrais B. On obtient avec A une production moyenne de 4,8 quintaux avec un ´ecart-type

empirique observ´e ´egal `a 0,36. Les quantit´es correspondantes pour B valent 5,1 et 0,4. On

mod´elise cette exp´erience comme ci-dessus. Tester l"´egalit´e des variances et des esp´erances

pour A et B, au niveau 10%.

Exercice 13

Soitpun entier positif, et pour touti= 1,...,p, soitniun entier positif. On suppose le mod`ele lin´eaire suivant r´egulier. Y ij=ai+bixij+εiji= 1,...,p, j= 1,...,ni(1)

Lesxijsont des r´eels fix´es et lesεijsont des variables al´eatoires ind´ependantes entre elles, de

loi(0,σ2). Les param`etresai,bi(i= 1,...,p) etσsont inconnus.

1. Estimer les param`etres du mod`ele.

2. Tester l"´egalit´e des droites de r´egression (d"´equations respectivesy=ai+bix).

3. On suppose les droites de r´egression identiques. Le mod`ele s"´ecrit alorsYij=a+bxij+εij.

(a) D´eterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance des param`etres.

(b) Construire une r´egion de confiance avec coefficient de s´ecurit´e 1?α(α]0,1[) pour

le param`etre (a,b). (c) Tester l"hypoth`ese "la droite de r´egression passe parle point (x0,y0)", o`ux0ety0 sont des r´eels fix´es.

4. Application :

Des photographies a´eriennes de champs d"orge sont analys´ees au photom`etre, qui mesure la brillance de chaque champ. On recherche la relation entreles rendements des parcelles et la brillance, en tenant compte de l"application d"un fongicide sur certaines parcelles pour combattre le mildiou. On consid`ere le mod`ele lin´eaire d´ecrit ci-dessus en (1), o`u x ijd´esigne la brillance duj`eme champ soumis au fongicidei, etYijrepr´esente le ren- dement de ce champ. Les donn´ees sont dans le fichierfongicide.dat, sous la forme (rendement, brillance, fongicide). (a) Tracer sur un mˆeme graphe les rendements en fonction de la brillance, en distinguant avec deux couleurs diff´erentes selon le groupe (i.e avec ou sans fongicide). (b) V´erifier rapidement l"allure des r´esidus. (c) Tester l"absence d"effet du fongicide sur le rendement. (d) Estimer les param`etres du mod`ele (donner des intervalles de confiances).

Exercice 14

Soientp,qetrdes entiers strictement sup´erieurs `a 1. Pour touti 1,...,p,j 1,...,qet k 1,...,r(kest un indice de r´ep´etition), on observeYi,j,k=mi,j+εi,j,k, o`u les variables

i,j,ksont ind´ependantes, de loi(0,σ2),σ2´etant inconnu. On consid`ere un mod`ele d"analyse

de la variance `a deux facteurs complet et ´equilibr´e, c"est-`a-dire qu"on suppose qu"il existeμ,αi,

jetγi,j(inconnus) tels que Y On suppose de plus la contraintesuivante satisfaite : iαi= 0 jβj= 0 jγi,j= 0,i 1,...,p iγi,j= 0,j 1,...,q?1

1. Dans un mod`ele lin´eaire non r´egulierY=Xβ+ε, on dit queLβ= 0 est une contrainte

d"identifiabilit´e siLest une application lin´eaire et si pour toutmde l"image deX, il existe un uniqueβtel queXβ=metLβ= 0. V´erifier queest une contrainte d"identifiabilit´e.

2. Estimer les param`etres du mod`ele.

3. Tester les hypoth`eses suivantes :

(a) absence d"effet du facteurj(i.e.βj= 0 etγij= 0 pour tout (i,j)) (b) absence d"effet du facteuri(i.e.αi= 0 etγij= 0 pour tout (i,j)). (c) absence d"interaction (i.e.γij= 0 pout tout (i,j)).

4. Application :

Une exp´erience est destin´ee `a ´etudier l"adaptation de deux vari´et´es de moutarde `a la

s´echeresse. On a un dispositif `a 4 traitements diff´erentsd´erivant de 2 vari´et´es (Clause et

quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16