[PDF] COURS FONCTIONS LINÉAIRES AFFINES

Comment tracer une droite représentative dune fonction et

graphique de la fonction affine ne passe pas par l'origine La fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine¹ exemple : f(x) = 4x – 5 Les représentations graphiques dans les trois cas sont sous la forme d'une droite Dans le

COURS FONCTIONS LINÉAIRES AFFINES

graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine; cette droite a une équation de la forme y =ax On in-terprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite C’est une occasion de prendre conscience de l’exis-tence de fonctions dont la représentation graphique n’est pas

CHARGE D’AFFAIRES DU BATIMENT

Représentation graphique des fonctions : y=ax ; y=ax+b Résolution graphique des équations du 1er degré Equations du second degré : résolution Somme et produit des racines d’une équation du second degré Trinômes du second degré Signe du trinôme Variations des fonctions : y=ax2 + bx + c

COURS 3ÈME FONCTIONS LINÉAIRE ET AFFINE AGE 1/7

Etant donné deux nombres a et b, la représentation graphique de la fonction linéaire f :x ax+b est une droite D parallèle à la représentation graphique de la fonction linéaire g :x ax Une équation de cette droite D est y = ax+b D passe par le point B(0 ; b), et b est appelé l’ordonnée à l’origine de f

1ère S Cours sur limites de fonctions 4 ; asymptotes obliques

la représentation graphique d’une fonction f dans le plan muni d’un repère est une droite d’équation réduite y ax b (a et b étant deux réels tels que a 0) On dit que la courbe admet la droite pour asymptote oblique en + lorsque lim 0 x f x ax b

TECHNICIEN(NE) ELECTROMECANICIEN(NE) AUTOMOBILE

Représentation graphique des fonctions : y=ax ; y=ax+b Résolution graphique des équations du 1er degré Equations du second degré : résolution Somme et produit des racines d’une équation du second degré Trinômes du second degré Signe du trinôme Variations des fonctions : y=ax + bx + c

Livret 3e 2010 11 pages-ordre croissant - AlloSchool

coordonnées (0 ; b) Equation de la représentation graphique y = ax y = ax + b Vocabulaire a est le coefficient directeur a est le coefficient directeur b est l’ordonnée à l’origine Bilan 11 : Fonction linéaire - Fonction affine

Cours : Régression Linéaire simple et Réalisée par: Dr

On trace un graphique des couples de données liant le prix et les quantités Consommées Nous 6 Obtenons le nuage de points suivant : 30 40 50 60 70 80 90

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[PDF] role vitamine c

CHAPITRE11

COURS:FONCTIONS LINÉAIRES&AFFINES

Extrait du programme de la classe de troisième :

CONTENUCOMPÉTENCES EXIGIBLESCOMMENTAIRES

Fonction

linéaire.Connaîtrela notationx?-→ax, pour une valeur numérique de afixée.La définition d"une fonction linéaire, de coefficienta, s"appuie sur l"étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspondance est "je multiplie para". Pour des pourcentages d"augmentation ou de diminution, une mise en évidence simi- laire peut être faite; par exemple, augmenter de 5% c"est multi- plier par 1,05 et diminuer de 5% c"est multiplier par 0,95.

Déterminer l"expression algé-

brique d"une fonction linéaire

à partir de la donnée d"un

nombre non nul et de son image.L"étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d"utiliser la notion d"image. On introduira la notationx?-→ax, pour la fonc- tion. À propos de la notation des imagesf(2),f(-0,25), ..., on remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu"en cal- cul algébrique.

Représenter graphiquement

une fonction linéaire.

Lire sur la représentation gra-

phique d"une fonction linéaire l"image d"un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.L"énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d"une fonction linéaire est une droite passant par l"origine; cette droite a une équation de la formey=ax. On in- terprétera graphiquement le nombrea, coefficient directeur de la droite. C"est une occasion de prendre conscience de l"exis- tence de fonctions dont la représentation graphique n"est pas unedroite(parexemple, enexaminant comment variel"aired"un carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3).

Fonction

affine.

Fonction

affine et fonction linéaire associée.Connaître la notation x?-→ax+bpour des va- leurs numériques deaetb fixées.

Déterminer une fonction

affine par la donnée de deux nombres et de leurs images.

Représenter graphiquement

une fonction affine.

Lire sur la représentation

graphique d"une fonction affine l"image d"un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.Pour des valeurs deaetbnumériquement fixée, le processus de correspondance sera aussi explicité sous la forme "je multiplie para, puis j"ajouteb". La représentation graphique de la fonc- tion affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. C"est une droite, qui a uneéqua- tion de la formey=ax+b. On interprétera graphiquement le coefficient directeuraet l"ordonnée àl"origineb;onremarquera la proportionnalité des accroissements dexety. Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation gra- phique. Onferaremarquerqu"unefonction linéaireestune fonc- tion affine. Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines peuvent servir de support à la construc- tion de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités d"une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance spécifique n"est exigible sur ce sujet.

3èmePage 1/6Cours fonctions

1 Fonction linéaire1.1 DéfinitionsL"unité de longueur est le centimètre. Notonsxla longueur du côté d"un carré etyle périmètre de ce

carré. On trouve : x10,83 y43,212×4

On obtient un tableau de proportionnalité: le périmètred"un carré est proportionnelà son côté et 4 est

le coefficient de proportionnalité.On peut écrirey=4×xouy=4x.

Définition:

Soitaun nombre quelconque "fixe».

Si, à chaque nombrex, on peut associer son produit para(c"est à direy=a×x), alors on définitla

fonction linéairedecoefficienta, que l"on noteraf:x?-→ax.

Vocabulaire et notation:

La fonction qui, à chaque nombrex, associe le périmètre du carré de côtéxest unefonction linéairedecoefficient4, que nous pouvons noterf:x?-→4x. L"imagede 0,8 par cette fonction est 3,2, ce que l"on peut noterf(0,8)=3,2 (et qui se lit "fde 0,8 est égal à 3,2")

Fonction linéaire

de coefficienta:

Nombre?-→Image

x?-→ax ×a

Remarque: Une fonction linéaire de coefficientareprésente une situation deproportionnalité(dans

laquelle le coefficient de proportionnalitéest égal àa). Pour passer d"un nombreà son image, onmulti-

plie para.

1.2 Représentationgraphique d"une fonction linéaire

Propriété:

Dans un repère, la représentation graphique d"une fonctionlinéaire de coefficientaest unedroite

passant par l"origine du repère. ?Représentergraphiquement une fonction linéaire

O11-1-2-31 2 3 4

12312
-1 -2 xy Ci-contre est représentée graphiquement la fonction linéairefde coefficient 0,6, que l"on peut noter f:x?→0,6x Commefest une fonction linéaire, sa représen- tation graphique est une droite qui passe par l"origine du repère . De plus, pour trouver un second point de cette droite, on peut calculer l"image de 3 :f(3)=0,6×3=1,8.

Je place

le point de coordonnées (3;1,8) . En fait, voici untableau de valeursde cette fonction : x03 y01,8

3èmePage 2/6Cours fonctions

ayant une image donnée.

O11-1-2-31 2 3 4

1234123

-1 -2 -3 -4 xy Ci-contre est représentée graphiquementune fonc- tion linéairefde coefficienta, que l"on peut noter f:x?→ax

Pour lire l"image (par exemple) du nombre 4 sur

cette représentation graphique, on commence par repérer le point de la droite dont l"abscisseest 4 , puis on lit l"ordonnéede ce point. Ici, on peut lire que l"image de 4 est 3 , c"est-à-dire quef(4)=3

De plus, pour trouver le nombre dont

l"image est-1,2 par cette fonction li- néaire, on commence par repérer le point de la droite dont l"ordonnéeest-1,2 , puis on lit l"abscissede ce point. Ici, on peut lire que le nombre dont l"image est-1,2 est-1,6 c"est-à-dire quef(-1,6)=-1,2. ?Déterminerle coefficient d"une fonction linéaire, lorsqu"on connaît un nombre etson image

Dans l"exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficientainconnu, que l"on note

f:x?-→ax. Ornousavonsvu quel"imagede4parcettefonctionest égaleà3;celasignifieque3=a×4, ce qui nous permet de déterminer le coefficient de la fonction:a=3

4=0,75.

Remarque :ce nombrean"est autre que le coefficient de proportionnalitédu tableau suivant : x4-1,6 y31,2×a

Définitions:

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficienta. On dit alors queaestle coefficient directeurde la droite (d) et quey=axest uneéquation de la droite(d). ?Interprétation graphique du coeffi- cient directeur:

Soit (d) la droite qui représente graphi-

quement la fonction linéaire de coeffi- cient-1,2; lecoefficient directeurde la droite (d) est donc -1,2 , et son équa- tion esty=-1,2x.

Graphiquement, voici comment lire le

coefficient directeur :

O11-1-2-31 2 3 4

1234123

-1 -2 -3 -4xy +1 -1.2 +1 -1.2 +1 -1.2

3èmePage 3/6Cours fonctions

1.3 Fonction linéaire et pourcentage

Calculer avecdes pourcentages:

?Prendret% d"un nombre, c"est multiplier ce nombre part 100.
?Augmenterun nombre det%, c"est multiplier ce nombre par? 1+t 100?
?Diminuer un nombre det%, c"est multiplierce nombre par? 1-t 100?

Exemples

?Prendre 15% dexc"est effectuerx×15

100. A cette action, on associe la fonction linéairex?→0,15×x.

?Diminuer un nombrexde 12% c"est effectuerx×? 1-12 100?
=x×0,88. A cette action, on associe la fonction linéairex?→0,88×x. ?Augmenter un nombrexde 3% c"est effectuerx×? 1+3 100?
=x×1,03. A cette action, on associe la fonction linéairex?→1,03×x.

2 Fonction affine

2.1 Définitions

Définition:

Soientaetbdeux nombres quelconques "fixes».

Si, à chaque nombrex, on peut associer le nombrea×x+b, alors on définitune fonction affine, que

l"on noteraf:x?-→ax+b. On dit quex?→axest lafontion linéaire associéeà la fonction affinex?→ax+b.

Vocabulaire et notation:

f:x?-→2x+3.L"imagede5 par cettefonctionest 2×5+3=13, ce que l"on peut noterf(5)=13

Fonction affine

Nombre?-→ ?-→Image

x?-→ax?-→ax+b

×a+b

Remarque 1: Pour passer d"un nombre à son image, onmultiplie para, puison ajouteb. Remarque 2: Lorsqueb=0 On obtientf:x?→ax, c"est à dire une fonctionlinéaire.

2.2 Représentationgraphique d"une fonction linéaire

Propriété:

Dans un repère, la représentationgraphiqued"une fonctionaffine est unedroite: - passant par le point de coordonnées (0;b) - qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée

3èmePage 4/6Cours fonctions

?Représentergraphiquement une fonction affine

O11-1-2-31 2 3 4

112345

xy Ci-contre est représentée graphiquement la fonction affinef:x?→0,5x+ 3

Commefest une fonction affine, sa représen-

tation graphique est une droite qui passe par le point de coordonnées (0;3 ) .

De plus, pour trouver un second point de cette

droite, on peut calculer, par exemple, l"image de 4 : f(4)=0,5×4+3=5.

Je place

le point de coordonnées (4;5) . En fait, voici untableau de valeursde cette fonction : x04 y35

Remarquez que la droite représentant cette fonction (x?-→0,5x+3) estparallèleà la droite représen-

tant la fonction linéaire associée (x?-→0,5x). ?Liresurlareprésentationgraphiqued"une fonctionaffinel"imaged"unnombre donné etle nombre ayant une image donnée.

O11-1-2-31 2 3 4

1231234

-1 -2xy Ci-contre est représentée graphiquementune fonc- tion affinef:x?→ax+b

Pour lire l"image (par exemple) du nombre-2 sur

cette représentation graphique, on commence par repérer le point de la droite dont l"abscisseest-2 , puis on lit l"ordonnéede ce point. Ici, on peut lire que l"image de-2 est 5 , c"est-à-dire quef(-2)=5

De plus, pour trouver le nombre dont l"image est

-1,6 par cette fonction, on commence par repérer le point de la droite dont l"ordonnéeest-1,6 , puis on lit l"abscissede ce point. Ici, on peut lire que le nombre dont l"image est-1,6 est 2,4 , c"est-

à-dire quef(2,4)=-1,6.

Définitions:

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affinef:x?-→ax+b.

On dit alors queaestle coefficientdirecteurde la droite (d), quebestl"ordonnée à l"origine, et que

y=ax+best uneéquationde la droite(d). ?Interprétation graphique du coefficient directeur et de l"ordonnée à l"origine: Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affinex?-→ -0,7x+1,5; lecoefficient directeurde la droite (d) est donc -0,7 , sonordonnée à l"origineest1,5 et son

équationesty=-0,7x+1,5.

Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeur et l"ordonnée à l"origine :

O11-1-2-3-41 2

1121xy+1

-0,7 +1 -0,7

3èmePage 5/6Cours fonctions

?Déterminerl"expression d"une fonction affine, lorsqu"on donne deuxnombres et leursimages Exemple :Déterminer la fonction affineftel quef(1)=4 etf(3)=8. Une applicationaffine est de la formex?→ax+b.

Def(1)=4, on tirea×1+b=4, c"est-à-direa+b=4

(égalité n°1) Def(3)=8, on tirea×3+b=8, c"est-à-dire 3a+b=8 (égalité n°2)

Calcul dea:

Si onsoustrait membre à membreles deux égali- tés encadrées ci-dessus, on obtient (a+b)-(3a+b)=4-8 ce qui nous donnea+b-3a-b=-4, c"est-à-dire-2a=-4, ce qui nous permet d"obtenir la valeurdea: a=-4 -2=2.Calcul deb: On reprend l"une des deux égalités (n°1 ou n°2), et on remplaceapar la valeur trouvée, pour calculer la valeur deb:

Comme on a trouvéa=2, on reprend (par

exemple) l"égalité n°1, et on y remplaceapar 2 : a+b=4qui donne 2+b=4, et donc b=4-2=2 La fonction affine recherchée, qui vérifief(1)=3 etf(3)=8, est donc la fonctionf:x?-→2x+2

2.3 Proportionnalité des accroissements

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité; ce n"est pas le cas d"une fonction

reproduit ci-dessous : x124711 f(x)-0,8-0,6-0,20,41,2 Ce tableau n"est manifestement pas un tableau de proportionnalité. Cependant, regardons ce qui se passe lorsque l"on regarde les accroissements de cette fonction :

Lorsquexaugmente de ...1234567

alorsf(x) augmente de ...0,20,40,60,811,21,4 Ce tableau est un tableau de proportionnalité,et le coefficient de proportionnalitéest 0,2! Ceci nous amène à énoncer la propriétésuivante :

Propriété:

Soitfune fonction affinex?→ax+b.

Sixvarie (c"est à direaugmenteou diminue)d"unnombreh, alorsson imagef(x) variedeah. Autre- ment dit, six1-x2=h, alorsf(x1)-f(x2)=ah: les accroissements def(x) sont proportionnelsaux accroissements dex, et le coefficient de proportionnalitéesta. ?Déterminerl"expression d"une fonction affine, lorsqu"on donne deuxnombres et leursimages (2) Soitfune fonction affine, telle quef(1)=5 etf(4)=7.

Calcul dea:

Comme on sait que les accroissements def(x)

sont proportionnels aux accroissements dex, et que le coefficient de proportionnalité esta, on peut écrire quef(4)-f(1)=a×(4-1), ce qui nous donne 7-5=a(4-1), c"est-à-direa=7-5

4-1=23

Calcul deb:

ticulier,on af(1)=a×1+b. Or, on a vu quea=2 3: onadoncf(1)=2

3+b.Deplus,onsaitquef(1)=5;

on a donc 5=2

3+b, qui donneb=5-23=133

La fonction affine recherchée, qui vérifief(1)=5 etf(4)=7, est doncf:x?-→23x+133

3èmePage 6/6Cours fonctions

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