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les brèmes de crédit, sauf ceux liés à l’épargne logement) où actuariel (pour les placements) Donc : pour les annuités de montant variable, le calcul de la valeur acquise par les divers versements s’effectue en additionnant les valeurs acquises de chacun d’eux, ce qui donne les formules de calcul suivantes : vn d = ∑ i=1 n ai

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Mathématique financière

Sous le thème

Les annuités variables : cas

Des annuités en suite géométrique

Présenter par :

HAHLAM

TAYEBI encadré

par : HMERYEM BENJELOUN M. KH

BENMLIH

HWIAM SABAI

1EM1

Année universitaire : 2013/2014

Remerciement

Au moment ou nous préparons notre mini projet, nous aimerions remercier des personnes qui nous aid

és ; depuis le début de travail, 1Les annuités variables : cas en suites géométriques 1

nous avons l'honneur de remercie l'encadrent MONSIEUR K.BENMLIH, alors nous voudrions également remercie MONSIEUR Y.CHETIOUI qui nous encourage.

2Les annuités variables : cas en suites géométriques 2

SOMMAIRE :

I.Généralités sur les annuités

a.A quoi servent les annuités b.Les annuités variables c.Annuité en suite arithmétique d.Annuité en suite géométrique e.Rappel : formule

II.Valeur acquise par des annuités en suite

géométrique a.Cas : début de période b.Cas : fin de période

III.Valeur actuelle par des annuités en suite

géométrique a.Cas : Début de période b.Cas : fin de période

IV.Conclusion

V.bibliographie

3Les annuités variables : cas en suites géométriques 3

4Les annuités variables : cas en suites géométriques 4

I.Généralités sur les annuités :

a.A quoi servent les annuités : En général, un prêt n'est pas remboursé en une seule fois. Les remboursements sont étalés sur plusieurs périodes. De même, un capital est rarement constitué en un seul versement, mais plus souvent en une succession de versement. Il faut alors savoir calculer les intérêts dans ces cas : -On appelle suite d'annuité une succession de versement, pour créer ou rembourser un capital. -Caractéristiques d'une suite d'annuités :

HLa périodicité

HLe nombre de versement

HLe montant de chaque versement

HLa date de chaque versement

b.Les annuités variables : Les annuités variables sont des montants différents de chaque année. La part de l'amortissement de l'emprunt reste constante mais la part relative aux intérêts décroit selon un échéancier déterminé à l'avance. Par exemple : la valeur acquise d'une suite d'annuités de montant variable, le calcul de la valeur acquise par les divers versements s'effectue en additionnant les valeurs acquises de chacun d'eux, ce qui donne les formules de calcul suivantes :

5Les annuités variables : cas en suites géométriques 5

aix(1+t) (n-i) annuités de fin de période. v0 f =∑i=0n aix(1+t)(n-i-1) annuités de début de période.

Avec :

ai=montantdeversement. n=nombredeversement. ttauxd'intérêtpériodique(identiquepourtouteslespériodes)Exemples : Explique la différence entre les annuités constantes et les annuités variables. ·Vous placez 200 dh tous les mois sur un compte-épargne : la suite d'annuité est constante de terme 200 dh .

·Vous placez 100 dh le

1er janvier, 200 dh le 1er février et 300

dh le

1er mars : la suite d'annuité est variable. Le premier

terme est 100 dh , le deuxième terme est 200 dh et le dernier terme est 300 dh. Bref : ·Si les termes sont égaux, c'est-à-dire si tous les versements sont de même montant la suite d'annuités est dite constante. ·Une suite d'annuités qui n'est pas constante est dite variable. c.Annuité en suite arithmétique :

6Les annuités variables : cas en suites géométriques 6

Une suite arithmétique de terme générale unest définie par la donnée du premier terme u0. La raison r, et le numéro n du terme considéré.

Nous obtenus ainsi l'expression :

un=u0+ n.r Considérons désormais la somme de plusieurs termes d'une suite arithmétique.

Soit S la somme de n terme définie par :

S = u0+ u1+u2+......+un-1+un

Soit : u0+ (u0+ r)+ (u0+2r) +......+ (u0+ (n - 1) r)+ (u0 +nr) Du fait de la commutativité, cette somme peut être exprimée en sens inverse :

S = u0

¿+ nr) + (u0+ (n - 1) r) +......+ (u0+ 2r) + (u0+r) u0En additionnant les deux équations, nous obtenus donc :

2S = 2(n+1).u0 + (n+1).r

Soit : S = (n+1)

u0+ (n+1).r 2 C'est ainsi qu'en connaissant uniquement le premier terme d'une suite ainsi que le nombre de termes et la raison de la suite nous pouvons connaitre la somme. d.Annuité en suite géométrique :

7Les annuités variables : cas en suites géométriques 7

Nous définissons une suite géométrique de terme général un par la donnée de son premier terme u0 de la raison q et du numéro du nième terme n.

Nous obtenus donc l'expression : un=u0 +

qnLà aussi nous pouvons déterminer la somme d'une suite de n termes d'une suite géométrique. Tout d'abord, considérons l'expression suivante appelée somme télescopique : (1 - x)(1 +x + x2+x3 +.....+xn-1 +xn )

Soit : 1 -

xn-1Ainsi : (1 - x) (1+ x + x2+x3+......+xn-1 +xn) =

1 - xn-1

Nous pouvons ainsi formaliser le tout par :

(1 - x)∑k=0n xk =1 - xn-1Et isoler la somme des puissances croissantes de X : ∑k=0 n xk = 1-xn-1

1-x =1-xn-1

1-x ×-1

-1 =xn-1-1 x-1 Ainsi en appliquant cette formule aux suites géométriques, où un =u0× qnSoit S la somme des termes d'une suite géométrique de puissances croissantes :

S = u0+ u1+u2 +......+un-1+un

Soit après remplacement par leurs formules explicites :

8Les annuités variables : cas en suites géométriques 8

S = u0 + u0 × q +0

u¿×q2 +....... + u0×qnSuit après simplification: u0∑k=0 n qn=u0qn+1-1 q-1 e.Rappel : formule

Bref :

·Annuité en suite arithmétique :

S =(x+1)

u0 (x+1)r 2

·Annuité en suite géométrique :

S = u0∑k=0n

qk = u0qn+1-1 q-1 II.Valeur acquise par des annuités en suite géométrique : a.Cas : début de période Encore appelée valeur future représente le montant capitalisé période après période des versements effectués. En ce qui concerne d'abord les annuités constantes, les formules de calcul sont : a × (1+t)× (1+t)n-1 t (annuités de début de période). Avec : a = montant du versement périodique constant. n = nombre de période de versement

9Les annuités variables : cas en suites géométriques 9

t = taux d'intérêt périodique pouvant être proportionnel (pour les brèmes de crédit, sauf ceux liés à l'épargne logement) où actuariel (pour les placements). Donc : pour les annuités de montant variable, le calcul de la valeur acquise par les divers versements s'effectue en additionnant les valeurs acquises de chacun d'eux, ce qui donne les formules de calcul suivantes : vnd = ∑i=1 n ai× (1+t)(n-i+1) (annuités de début de période). -Si le dernier versement est place au début de la dernière période.

Avec :

ai =montant du ie versement. n

¿nombre de versements.

t =taux d'intérêt périodique (identique pour toutes les périodes). b.Cas : fin de période : vn f= ∑i=1n ai× (1+t)(n-i) (annuités de fin de période).quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14