Chapitre 19 : Intervalle de confiance : pour estimer une
On a vu ci-dessus qu’en tirant 100 boules de l’urne, l’intervalle de confiance obtenu est d’d’amplitude 0,2 (=0,69−0,49) ; on peut trouver cet intervalle trop grand En procédant à un tirage de 400 boules, si ???? ???????? est la fréquence observée de sortie du rouge, on obtient un intervalle de confiance au niveau 95 égal à :
Estimation d’un intervalle de confiance 1
Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre
6 Estimation et intervalle de confiance - Fabrice Monna
grand qu’un intervalle de confiance 90 , puisqu’on accepte de prendre 5 de risque en plus de ne pas contenir la vraie valeur Enfin, pour la loi normale, on remarque également que l’amplitude est proportionnelle à l’écart-type
MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance
• [c1,c 2] ou [g1(θˆ), g2(θˆ)] est appelé intervalle de confiance, • c1,c 2 sont les limites de confiance, • 1− α: degré de confiance ou degré de certitude Le principe de l’estimation par intervalle de confiance est de proposer un encadrement d’un paramètre inconnu d’une population dont la loi, elle, est connue
Statistique : étude de cas Intervalles de confiance
n un estimateur de dont nous connaissons la loi de probabilit e pour chaque valeur de D e nition Etant donn e une valeur 0 du param etre , nous d eterminons un intervalle de probabilit e bilat eral de niveau (1 ) pour l’estimateur b n, c’est- a-dire deux bornes n 1 et n 2 telles que P n 1 < b n < n2j = 0 > 1 :
Estimation et intervalle de confiance
1 La loi de X est la loi binomiale n=30, p=0:2 2 Un intervalle de confiance au seuil 95 , permettant d’estimer le nombre de clients à prévoir : c’est pour la fréquence : 0 657; 0 943 Soit entre 20 et 28 personnes C’est une large fouchette due à n petit Correction del’exercice4 N 1 On obtient, sur l’échantillon, la moyenne m
Estimations et intervalles de confiance Exemple
une valeur, il est nécessaire de déterminer un intervalle contenant, avec une certaine probabilité fixée au préalable, la vraie valeur du paramètre : c’est l’es-timation par intervalle de confiance 3 1 Définition d’un intervalle de confiance Soit (X 1;:::;X n) un n-échantillon aléatoire et un paramètre inconnu de la loi des
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
12 = et 0 , l’intervalle de confiance est alors de la forme : IC a, - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend 12= e t 0 et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : IC b, 3) Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution
Estimation par intervalle pour Chapitre 4 une variable
intervalle de fluctuation ≠ intervalle de confiance (ou de Variation) Fixe, dépends des paramètres théoriques Pour construire l’intervalle de confiance, le statisticien va utiliser le calcul des probabilités: • Suppose que la loi de la population et sa moyenne sont connues;
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Estimations et intervalles de confiance
Estimations et intervalles de confiance
Résumé
Cette vignette introduit la notion d"estimateur et ses propriétés : ponctuelle de paramètres de loi : proportion, moyenne, variance. La connaissance des lois de ce estimateurs permet l"estimation par in- tervalle de confiance et donc de préciser l"incertitude sur ces esti- mations : intervalle de confiance d"une proportion, d"une moyenne si la variance est connue ou non, d"une variance.Retour au
plan du cour s1 Introduction
Le cadre est le suivant : on dispose de données observées (en nombre fini) et l"on désire tirer des conclusions de ces données sur l"ensemble de la popu- lation. On fait alors une hypothèse raisonnable : il existe une loi de probabilité sous-jacente telle que les "valeurs observables" des différents éléments de la population étudiée puissent être considérées comme des variables aléatoires indépendantes ayant cette loi. Un aspect important de l"inférence statistique consiste à obtenir des "esti- mations fiables" des caractéristiques d"une population de grande taille à partir d"un échantillon extrait de cette population. C"est un problème de décision concernant des paramètres qui le plus souvent sont : l"espérance mathématique ; la proportion p; la v ariance2. Ces paramètres sont a priori inconnus car la taille réelle de la population étant très grande, il serait trop coûteux de tester tous les éléments de la population. Ainsi, comme un échantillon ne peut donner qu"une information partielle sur la population, les estimations que l"on obtiendra seront inévitablement entachées d"erreurs qu"il s"agit d"évaluer et de minimiser autant que possible. En résumé, estimer un paramètre inconnu, c"est en donner une valeur ap-prochée à partir des résultats obtenus sur un échantillon aléatoire extrait de lapopulation sous-jacente.
Exemple :Un semencier a récolté 5 tonnes de graines de Tournesol. Il a besoin de connaître le taux de germination de ces graines avant de les mettre en vente. Il extrait un échantillon de 40 graines, les dépose sur un buvard humide et compte le nombre de graines ayant évolué favorablement. On remarque que ce contrôle est de type destructif : l"échantillon ayant servi au contrôle ne peut plus être commercialisé. Il s"agit donc d"évaluer la proportionpdes graines de la population à grand effectif, présentant un certain caractèreX: succès de la germination. Même avec une population d"effectif restreint, un contrôle depne peut être calculée. Le modèle s"écrit commenréalisationsxide v.a.r. indépendantes de Ber- noulliXidéfinies par : X i=1si l"individuiprésente le caractèreX