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Exercices supplémentaires : Trigonométrie

Partie A : Cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Exercice 1

Convertir en radians les mesures d'angles exprimées en degrés : 60°;150°;10°;12°;198°;15°

Exercice 2

Dans chacun des cas suivant, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique :

1) - 2) 3) 10 4) -

Exercice 3

Parmi les mesures suivantes, indiquer celles qui sont associés au même point que - sur le cercle trigonométrique. 47
12 ;-49 12;11

12;-241

12;-37

12;-313

12

Exercice 4

Dans chacun des cas suivants, déterminer si et sont des mesures d'un même angle orienté. 1) = 2) = 3) = 4) =

Exercice 5

Sur le cercle trigonométrique ci-contre, déterminer les réels associés aux points ,,,, ,!,",#,$ et %.

Exercice 6

Placer sur le cercle trigonométrique les points ,,,, et ! repérés par et -

Exercice 7

On considère un réel ∈)-

1) Déterminer la valeur exacte de cos./.

2) On sait que ∈4

5. Déterminer la valeur exacte de .

Exercice 8

1) Sachant que cos6

, calculer la valeur de sin6 7.

2) En déduire cos6

7 et sin6

7

Exercice 9

Dans chacun des cas suivants, déterminer cos./

1) ∈)

;* et sin./=

2) ∈)-

* et sin./= -0,6

3) ∈)-

;0* et sin./= - Partie B : Angle orienté, mesure principale d'un angle

Exercice 1

OIJ H C A B D EF G Déterminer la mesure principale des angles dont les mesures en radians sont : 7 3 ;-;13 6;47

12;-49

6;11

3;-241

4;-37

12;3,14;2013

Exercice 2

Donner une mesure en radian des angles orientés suivants : 9

Exercice 3

1) Construire un triangle direct rectangle en tel que = 2.

2) Construire deux triangles équilatéraux direct et .

3) Donner une mesure en radian des angles 9;

9 ;;;;<; ;;;;;<>;9;;;;;<;;;;;;<> et 9 ;;;;;<;;;;;;<>.

Exercice 4

est un triangle rectangle en , direct, tel que 9; &A2B et est un triangle équilatéral direct.

1) Faire une figure.

2) Déterminer la mesure principale des angles suivant : 9;

Exercice 5

est un triangle rectangle en direct tel que = 2. est un triangle rectangle isocèle en direct et

est un triangle équilatéral direct.

1) Faire une figure.

2) Déterminer la mesure principale des angles suivants :9;

;;;;<; ;;;;;<> ; 9;;;;;<;;;;;;<> et 9 ;;;;;<;;;;;;<>.

Exercice 6

Sachant que

9C; <;D<>= - A2B, déterminer la mesure principale de 92C;<;D<> ; 9-D<;2C;<>;.3D<;-2C;Exercice 7

Sachant que

.C; <;DExercice 8 ,, et sont quatre points du plan. Démontrer l'égalité : 9 ;;;;<;;;;;;<>+9;;;;;<;;;;;;<>+9;;;;;<;;;;;;<>+9;;;;;<;;;;;;<>= 0A2B

Partie C : Angles associés

Exercice 1

On considère un entier relatif G (il peut être positif ou négatif). Déterminer, éventuellement en fonction de G, le cosinus et le sinus des réels : 2G; .2G + 1/;G;- 2 +.2G + 1/

Exercice 2

Simplifier les expressions suivantes :

1) = cos.0/+ cos6

7 + cos6

7 + cos6

7 + cos./

2) = cos.-/+ cos6-

7 + cos6-

7 + cos6-

7

3) = sin6

&7 + sin6

7 + sin6

7 + sin6

7 + sin6

&7 + sin./

Exercice 3

Exprimer en fonction de cos./ ou de sin./ les réels suivants :

1) = cos6

- 7 OIJ N K M P

2) = sin. + 100/

3) = cos6

H + 7

4) = sin6

H + 7

5) = sin. - 78/

6) ! = cos6

- 7 + 4sin6- -

7 - 5sin. + /

7) " = sin6 +

7 - 2cos.- - /+ 5sin.-/

Exercice 4

Calculer les valeurs exactes de : cos6

I

7;sin6-I

7;cos6-

&7 et sin6- 7 Partie D : Equations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

A l'aide d'un cercle trigonométrique, donner toutes les valeurs possibles de vérifiant les conditions données.

1) cos./=

avec ∈A-;B

2) cos./=

avec ∈A-;B

3) cos./= -

et sin./= - avec ∈A-;3B

4) cos./= 0 et sin./= -1 avec ∈A-2;3B

Exercice 2

Résoudre les équations ci-dessous dans ℝ

1) cos./=

2) sin./=

3) cos./= -

4) sin./=

Exercice 3

Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par les équations suivantes :

1) 2 =

A2B

2) 4 =

A2B

3) 3 =

A2B

Exercice 4

Résoudre les équations trigonométriques suivantes.

1) cos.2/= cos6

I

7 dans ℝ puis dans A;5B

2) sin6 -

7 = sin6

7 dans ℝ puis dans A-2;2B

3) cos.3/= -cos./ dans ℝ puis dans A-2;B

4) sin62 +

7 = -sin./ dans ℝ puis dans A4;6B

5) sin.3/= cos.2/ dans ℝ

Exercice 5

Représenter sur un cercle trigonométrique l'ensemble des points = du cercle associés aux réels vérifiant :

2) cos./∈)

;1*

3) -1 < sin./< 0

4) -

5) sin./∈)-

;0)

6) cos./∈)-

Exercice 6 Résoudre à l'aide du cercle trigonométrique les inéquations suivantes :

1) sin./<

dans B-;B

2) cos./≥

dans A0;2B

3) cos./>

dans A-;3B dans A-;2B

Exercice 7

Résoudre dans ℝ les équations suivantes

1) 2cos

./+ 9cos./+ 4 = 0

2) 4sin

Exercice 8

1) Déterminer les racines éventuelles du trinôme O défini par O./= -4

2) Factoriser O./

4) En déduire le signe sur A0;2B de -4cos

Exercices supplémentaires : Trigonométrie

Partie A : Cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Exercice 1

Angle en ° 60 150 10 12 198 15

Angle en radians

3 5 6 18 15 11 10 12

Exercice 2

2) et plus généralement - + 2P, soit 18R 4) - et plus généralement - + 2P soit .18IR/

Exercice 3

- 6- 7 =I = 4 ce qui correspond à un écart de deux tours. - 6-

7 = -I

= -4 ce qui correspond à un écart de deux tours. - 6- 7 = = ce qui correspond à un demi-tour. - 6-

7 = -H

= -20 ce qui correspond à un écart de 10 tours. - 6- 7 = - = -3 ce qui correspond à un tour et demi. - 6- 7 = - = -26 ce qui correspond à un écart de 13 tours.

Finalement,

et - sont associés au même point que -

Exercice 4

1) - =

= - donc et ne sont pas des mesures d'un même angle orienté.

2) - =

=H8& =I donc et ne sont pas des mesures d'un même angle orienté.

3) - =

donc et ne sont pas des mesures d'un même angle orienté.

4) - =

=I = 4 donc et sont des mesures d'un même angle orienté.

Exercice 5

2 ;$:0;%: 2

Exercice 6

Voir le cercle ci-contre.

Exercice 7

1) Pour tout ∈ ℝ, cos

./ + sin./= 1 donc cos 4V 16 16

Donc cos./=

Or, comme ∈)-

2) sin./< 0 donc ∈)-

;0* et de plus |cos./|> |sin./| donc ∈)- ;0* et finalement = - OIJ A B D E F C

Exercice 8

1) sin X9

5Y = 1 - cosX9

4V

De plus

;2* donc sin6

7 < 0 et donc sin6

2) cos6

7 = cos6H

7 = cos62 -

7 = cos6-

7 = cos6

7 donc cos6

sin6

7 = sin6-

7 = -sin6

7 donc sin6

Exercice 9

1) cos

./= 1 - sin./= 1 - 6 7 = 1 -

Or ∈)

2) cos

./= 1 - sin./= 1 -.-0,6/= 1 - 0,36 = 0,64 donc cos./= 0,8 ou -0,8.

Or ∈)-

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