I Propriétés fondamentales
I 1 Valeurs particulières 0 Attention : par contre arctan(tan ) n’est pas forcément égal à (c’est égal à seulement quand 2]
Les fonctions circulaires réciproques
2 3 Valeurs particulières Remarquons que la fonction Arcsin, réciproque d’une bijection impaire, est elle aussi impaire Arctan0x= 1 h0(Arctanx) = 1 1+tan2
I Propriétés fondamentales
I 1 aleursV particulières 0 ˇ 6 ˇ 4 ˇ 3 ˇ 2 sin 0 1 2 p 2 2 p 3 2 1 cos 1 p 3 2 p 2 2 1 2 0 tan 0 1 p 3 1 p 3 non dé ni Moyen mnémotechnique : la ligne des sin se lit p 0 2; p 1 2; p 2 2; p 3 2; p 4 2; la ligne des cos est dans l'autre sens Application pratique : couper un gâteau en 6 parts égales en utilisant cos ˇ 3 = 1 2 I 2
Formulaire 1 – Fonctions circulaires, trigonométrie
• Valeurs particulières 0 Si a >0et b 6=0 : ϕ =−Arctan b a =−Arccos b A ∗ Somme de deux sinusoïdes de même amplitude et même pulsation :
A Primitives - bagbouton
c) Déterminer les primitives de la fonction arctan sur 3) Changement de variable Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si j est une fonction de classe C 1 sur un intervalle J telle que j J I et si f est continue sur j I , alors ab, , J 2 f t t dt f x dx' b jb a ja
Table des matières
arctan x a; Z 1 a2 x2 dx= 1 2a ln a+ x a x Z 1 sinx dx= ln tan x 2 : 2 5 onctionsF particulières 2 5 1 onctiFons du type : x7 1 ax2 + bx+ c Notons le discriminant associé à ax2 + bx+ c 1 er cas : = 0 , on se ramène à une expression 1 a(x x 1)2 et on intègre Exemple 2 8 Calculer : Z 0 1 1 3x2 + 6x 3 dx 2 ème cas : >0, on se ramène à
113 R 17 - AlloSchool
• on prend des valeurs particulières 17 4 3 Tracé d’un diagramme de Bode pour l’argument On utilise la méthode suivante pour tracer le diagrammede Bode de l’argument: • on calcule les asymptotes de tanφ: x→ 0, x→ ∞ On en déduit les asymptotes de φ, • on prend des valeurs particulières 17 4 4 Pulsation de coupure à
GEOMETRIE PLANE TRIANGLES - DROITES PARTICULIERES
Valeurs > ordre croissant Médiane : (N + 1) / 2 Si médiane comprise entre deux nb : faire la moyenne de ces deux nb Quartile : Q1 au moins 25 / Q3 > au moins 75 Ecart interquartile : Q3 - Q1 GEOMETRIE PLANE 2/2 Polygone Figure fermée, délimitée par plusieurs segments triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, octogone,
Formulaires et tables : Mathématiques, Physique, Chimie
Toute reproduction d’un extrait de ce livre par quelque procédé que ce soit est interdite www crm-diffusion ch Valeurs exactes des fonctions trigonométriques d’arcs particuliers
Interrogation 08 Fonctions usuelles
1 Tracer le graphe de la fonction logarithme, y faire apparaitre les éventuelles tangentes, asymptotes, valeurs particulières (3x)+arctan(10x) = 3
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Université du Québec à Montréal Session d"automne 2011
Groupe-cours 51 MAT1112 - Calcul I
VivienRipoll
Rappels de trigonométrieI Propriétés fondamentales On considère un triangle rectangle, et un de ses angles non droits. cos=côté adjacenthypothénuse ; sin=côté opposéhypothénuse ; tan=sincos=côté opposécôté adjacent Sur lecercle trigonométrique(cercle de centre(0;0)et de rayon1), on définit la mesure d"un angle (en radians) comme la longueur de l"arc de cercle décrivant cet angle.(cos;sin) sont alors les coordonnées du pointMcorrespondant à l"angle. Ettanest l"ordonnée du point d"intersection de la droite(OM)avec la droite d"équationx= 1(tangente au cercle). Visualiser ou dessiner le cercle est un très bon moyen pour se souvenir des propriétés des fonctions trigonométriques.I.1 Valeurs particulières0
6 4 3 2 sin01 2p2 2p3 21cos1p3 2p2 21
20 tan01p31p3non défini
Moyen mnémotechnique : la ligne dessinse litp0
2 ;p1 2 ;p2 2 ;p3 2 ;p4 2 ; la ligne descosest dans l"autre sens. Application pratique :couper un gâteau en 6 parts égales en utilisantcos3 =12I.2 Propriétés analytiques
cosetsinsont définies surR,2-périodiques, et bornées (entre1et1). cosest paire,sinest impaire. tanest définie surRnf2 +k;k2Zg, elle est impaire et-périodique.Limites : à droite :limx!(2
+k)+tanx=1;à gauche :limx!(2 +k)tanx= +1. Dérivées :cos(x)0=sinx; sin(x)0= cosx; tan(x)0= 1 + tan2x=1cos 2x.Tracé des courbes.(à connaître)
1II Formules de trigonométrie
II.1 Formules basiques :
La série de formules suivante est à savoir absolument, et se retrouve facilement en visualisant
le cercle trigonométrique : cos(x) = cosxcos(x) =cosxcos(+x) =cosx sin(x) =sinxsin(x) = sinxsin(+x) =sinx tan(x) =tanxtan(x) =tanxtan(+x) = tanx cos( 2 x) = sinxsin(2 x) = cosxtan(2 x) =1tanx= cotanxRappelons également :cos
2x+ sin2x= 1II.2cosetsind"une somme
Les formules suivantes sont très utiles; il faut connaître au moins celles marquées (*), et savoir retrouver les autres rapidement à partir de celles-ci. cos(a+b) = cosacosbsinasinb() cos(ab) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa() sin(ab) = sinacosbsinbcosa cos2x= cos2xsin2xsin2x= 2sinxcosx = 2cos 2x1 = 12sin2x cos2x=1 + cos2x2
sin2x=1cos2x2 Les formules pour la fonctiontanse retrouvent à partir de celles pour lescosetsin: tan(a+b) =tana+ tanb1tanatanbtan(ab) =tanatanb1 + tanatanbII.3 Linéarisation et factorisation
On déduit de la série précédente les formules de linéarisation d"un produit decosousin.
cosacosb=12 (cos(ab) + cos(a+b)) sinasinb=12 (cos(ab)cos(a+b)) sinacosb=12 (sin(ab) + sin(a+b)) En posantp=abetq=a+bdans les formules précédentes, on obtient les formules de factorisation de sommes decosousin: cosp+ cosq= 2cosp+q2 cospq2 cospcosq=2sinp+q2 sinpq2 sinp+ sinq= 2sinp+q2 cospq2 2III Fonctions trigonométriques réciproques
III.1 Rappels sur les fonctions réciproques
SoientI,Jdeux intervalles, etf:I!June fonction d"une variable. On suppose quefest bijective(c"est-à-dire : pour touty2J, il existe un uniquex2Itel quef(x) =y). Alorsfadmet unefonction réciproque, notéef1. C"est l"unique fonctiongtelle que :8x2I; g(f(x)) =xet8y2J; f(g(y)) =y :
On a, pourx2Iety2J:y=f(x),x=f1(y).
On peut montrer que, sifest une fonction dérivable sur[a;b]telle quef0(x)>0pour tout x2]a;b[, alorsfinduit une bijection de[a;b]vers[f(a);f(b)]. De même, sif0(x)<0pour tout x2]a;b[, alorsfinduit une bijection de[a;b]vers[f(b);f(a)]. Dérivée de la fonction réciproque.Sif:I!Jest bijective, et sif0(x)6= 0pour toutx2I, alorsf1est dérivable surJet f1(x)0=1f
0(f1(x)):
Démonstration :Il suffit d"écriref(f1(x)) =xet de dérivée terme à terme en utilisant la
dérivation d"une fonction composée; on obtientf0(f1(x))f1(x)0= 1. Ex. : ln : ]0;+1[!Rest la réciproque deexp :R!]0;+1[. La fonctionx7!px, deR+dansR+, est la réciproque de larestrictionàR+de la fonction x7!x2(et elle n"est dérivable que surR+). La fonctionx7!3px, deRdansR, est la réciproque de la fonctionx7!x3(elle n"est dérivable que surR). Propriété des courbes.Le graphe def1est lesymétriquedu graphe defpar rapport à la droitey=x.