Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, 6 sinus
Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique 1 Résoudre dans l’équation ch sh 32 2x x 2 Résoudre dans l’inéquation ch 2 ch 3 ch 4 ch 2 x x x x 3 Partie A Démontrer que, pour tout couple (x; y) de réels, on a les égalités suivantes : sh sh 2 sh ch 2 2
1 Fonctions circulaires inverses - Exo7 : Cours et exercices
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Corrections de Léa Blanc-Centi 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 1 Vérifier arcsinx+arccosx = p 2 et arctanx+arctan 1 x =sgn(x) p 2: Indication H Correction H Vidéo [000752] Exercice 2 Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p 1 À quelle distance x
Corrig e du DM 1 - logiquejussieufr
Fonctions hyperboliques 1 Question pr eliminaire Soit f une fonction de R dans R 1 Montrer qu’il existe une unique fonction paire p et une unique fonction impaire i d e nies de R dans R telles que f = p+ i 2 Montrer que f est continue / d erivable / n fois d erivable ssi p et i le sont Solution 1 On pose p(x) = f(x)+f( x) 2 et i(x) = f
CAPES-Exercices-FonctionsCirculaires etHyperboliques
CAPES-Exercices-FonctionsCirculaires etHyperboliques 9octobre2007 garithmiques des fonctions hyperboliques réciproques On demande donc de
5 FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET
5 FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RECIPROQUES 1 Fonction logarithme népérien 1 1 Définition La fonction logarithme népérien, notée ln , est la primitive sur ]0, +∞ [ qui s'annule pour x = 1 de la fonction x a 1 x Soit pour x ∈]0, +∞ [ lnx = dt 1 t x ∫ 1 2 Premières propriétés
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Biblioth`eque d’exercices Indications L1 Feuille n 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication 1 Faire un dessin Remarquer que maximiser l’angle d’observation α revient a maximiser tanα Puis calculer tanα en fonction de la distance et ´etudier cette fonction
Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions
Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 5 1 Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions continues, dérivables
Fonctions circulaires et leurs réciproques
Fonctions hyperboliques Exercice 4 1 Quereprésentelacourbed’équation x2
Fonctions élémentaires
Fonctions élémentaires Pascal Lainé 3 Exercice 13 Soit )la fonction numérique définie par : ( )=2cos( +sin2 ) 1 Déterminer l'ensemble de définition de , sa période et sa parité
[PDF] fonction circulaire réciproque cours
[PDF] limite de arctan
[PDF] limite arctan en 0
[PDF] le pouvoir du peuple par le peuple pour le peuple
[PDF] fonctions trigonométriques réciproques pdf
[PDF] shlomo sand livres
[PDF] le peuple est il souverain dissertation
[PDF] exercices corrigés fonction arctangente
[PDF] fonction circulatoire définition
[PDF] comment la terre d'israël fut inventée pdf
[PDF] origine des juifs d'israel
[PDF] appareil circulatoire cours
[PDF] système circulatoire
[PDF] comment la terre d'israël fut inventée
Exo7
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Fonctions circulaires inverses
Exercice 1Vérifier
arcsinx+arccosx=p2 et arctanx+arctan1x =sgn(x)p2 Une statue de hauteursest placée sur un piédestal de hauteurp. 1.À quelle distance x0doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la
statue sous un angle maximala0? 2.Vérifier que a0=arctans2
pp(p+s). 3.Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres a vecun piédestal de 47 mètres.
Écrire sous forme d"expression algébrique
1. sin (arccosx);cos(arcsinx);cos(2arcsinx). 2. sin (arctanx);cos(arctanx);sin(3arctanx).Résoudre les équations suivantes:
1. arccos x=2arccos34 2. arcsin x=arcsin25 +arcsin35 3. arctan 2x+arctanx=p4Montrer que pour toutx>0, on a
arctan 12x2 =arctanxx+1 arctanx1xEn déduire une expression deSn=nå
k=1arctan12k2 et calculer lim n!+¥Sn. 1 Soitz=x+iyun nombre complexe, oùx=Rezety=Imz. On sait que sizest non nul, on peut l"écrire de façon unique sous la formez=x+iy=reiq, oùq2]p;p]etr=px2+y2.r
0z=x+iyxy
q 1.Montrer que si x>0, alorsq=arctanyx
2.Montrer que si q2]p;p[, alorsq=2arctansinq1+cosq.
3. En déduire que si zn"est pas réel négatif ou nul, on a l"égalité q=2arctan yx+px 2+y2!Exercice 7Simplifier l"expression
2ch2(x)sh(2x)xln(chx)ln2et donner ses limites en¥et+¥.
Soitx2R. On poset=arctan(shx).
1.Établir les relations
tant=shx1cost=chxsint=thx 2.Montrer que x=lntant2
+p4Soitxun réel fixé. Pourn2N, on pose
C n=nå k=1ch(kx)etSn=nå k=1sh(kx):CalculerCnetSn.
2 Soitaetbdeux réels positifs tels quea2b2=1. Résoudre le système ch(x)+ch(y) =2a sh(x)+sh(y) =2bExercice 11Simplifier les expressions suivantes:
1. ch (argshx);th(argshx);sh(2argshx). 2. sh (argchx);th(argchx);ch(3argchx). Étudier le domaine de définition de la fonctionfdéfinie par f(x) =argch12 x+1x et simplifier son expression lorsqu"elle a un sens. Montrer que l"équation argshx+argchx=1 admet une unique solution, puis la déterminer.Indication pourl"exer cice1 NFaire une étude de fonction. La fonction sgn(x)est lafonction signe: elle vaut+1 six>0,1 six<0 (et 0 si
x=0).Indication pourl"exer cice2 NFaire un dessin. Calculer l"angle d"observationaen fonction de la distancexet étudier cette fonction. Pour
simplifier l"expression dea0, calculer tana0à l"aide de la formule donnant tan(ab).Indication pourl"exer cice3 NIl faut utiliser les identités trigonométriques classiques.
Indication pour
l"exer cice4 NOn compose les équations par la bonne fonction (sur le bon domaine de définition), par exemple cosinus pour
la première. Pour la dernière, commencer par étudier la fonction pour montrer qu"il existe une unique solution.Indication pourl"exer cice5 NDériver la différence des deux expressions.
Indication pour
l"exer cice7 NOn trouve1+e2xln(1+e2x).Indication pourl"exer cice8 NPour la première question calculer
1cos2t. Pour la seconde question, vérifier quey=lntant2
+p4 est biendéfini et calculer shy.Indication pourl"exer cice9 NCommencer par calculerCn+SnetCnSnà l"aide des fonctions ch et sh.Indication pourl"exer cice10 NPoserX=exetY=eyet se ramener à un système d"équations du type somme-produit.Indication pourl"exer cice12 NOn trouvef(x) =jlnxjpour toutx>0.Indication pourl"exer cice13 NFaire le tableau de variations def:x7!argshx+argchx.4
Correction del"exer cice1 N1.Soit fla fonction définie sur[1;1]parf(x) =arcsinx+arccosx:fest continue sur l"intervalle[1;1],
et dérivable sur]1;1[. Pour toutx2]1;1[,f0(x) =1p1x2+1p1x2=0. Ainsifest constante sur ]1;1[, donc sur[1;1](car continue aux extrémités). Orf(0) =arcsin0+arccos0=p2 donc pour tout x2[1;1],f(x) =p2 2.Soit g(x) =arctanx+arctan1x
. Cette fonction est définie sur]¥;0[et sur]0;+¥[(mais pas en 0). On a g0(x) =11+x2+1x
211+1x
2=0; doncgest constante sur chacun de ses intervalles de définition:g(x) =c1sur]¥;0[etg(x) =c2sur ]0;+¥[. Sachant arctan1=p4 , on calculeg(1)etg(1)on obtientc1=p2 etc2= +p2.Correction del"exer cice2 N1.On note xla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteal"angle d"observation de la statue
seule, etbl"angle d"observation du piédestal seul.s p xa b Nous avons les relations trigonométriques dans les triangles rectangles : tan(a+b) =p+sx et tanb=pxOn en déduit les deux identités :
a+b=arctanp+sx etb=arctanpx à partir desquelles on obtienta=a(x) =arctanp+sx arctanpx Étudions cette fonction sur]0;+¥[: elle est dérivable et a0(x) =s+px
21+s+px
2px 21+px2=s(x2+p2)(x2+(s+p)2)p(p+s)x2
Ainsia0ne s"annule sur]0;+¥[qu"enx0=pp(p+s). Par des considérations physiques, à la limite en
0 et en+¥, l"angleaest nul, alors enx0nous obtenons un angleamaximum. Donc la distance optimale
de vision estx0=pp(p+s). 52.Pour calculer l"angle maximum a0correspondant, on pourrait calculera0=a(x0)à partir de la définition
de la fonctiona(x). Pour obtenir une formule plus simple nous utilisons la formule trigonométrique
suivante : sia,betabsont dans l"intervalle de définition de la fonction tan, alors tan(ab) = tanatanb1+tanatanb, ce qui donne ici tana0=tan(a0+b0)b0=p+sx 0px01+p+sx
0px0=s2x0=s2
pp(p+s)Commea02]p2
;p2 [, on en déduita0=arctans2x0=arctans2 pp(p+s). 3.Pour la statue de la liberté, on a la hauteur de la statue s=46 mètres et la hauteur du piédestalp=47
mètres. On trouve donc x0=pp(p+s)'65;40mètresa0=arctans2
pp(p+s)'19: Voici les représentations de la statue et de la fonctiona(x)pour ces valeurs desetp.s p x 0a 0b0xa(x)a(x)a
0x 00Correction de
l"exer cice3 N1.sin
2y=1cos2y, donc siny=p1cos2y. Avecy=arccosx, il vient sin(arccosx) =p1x2.
Or arccosx2[0;p], donc sin(arccosx)est positif et finalement sin(arccosx) = +p1x2. De la même manière on trouve cos(arcsinx) =p1x2. Or arcsinx2[p2 ;p2 ], donc cos(arcsinx)est positif et finalement cos(arcsinx) = +p1x2. Ces deux égalités sont à connaître ou à savoir retrouver très rapidement : sin(arccosx) =p1x2=cos(arcsinx): Enfin, puisque cos(2y) =cos2ysin2y, on obtient avecy=arcsinx, cos(2arcsinx) = (p1x2)2x2=12x2: 2. Commençons par calculer sin (arctanx), cos(arctanx). On utilise l"identité 1+tan2y=1cos2yavecy=
arctanx, ce qui donne cos2y=11+x2et sin2y=1cos2y=x21+x2. Il reste à déterminer les signes de cos(arctanx) =1p1+x2et sin(arctanx) =xp1+x2Ory=arctanxdoncy2]p2 ;p2 [etya le même signe quex: ainsicosy>0, etsinyalemêmesignequeyetdoncquex. Finalement, onacos(arctanx)=1p1+x2 et sin(arctanx) =xp1+x2. 6Il ne reste plus qu"à linéariser sin(3y):
sin(3y) =sin(2y+y) =cos(2y)sin(y)+cos(y)sin(2y) = (2cos2y1)siny+2sinycos2y =4sinycos2ysinyMaintenant
sin(3arctanx) =sin(3y) =4sinycos2ysiny =4x(1+x2)3=2xp1+x2=x(3x2)(1+x2)3=2Remarque :la méthode générale pour obtenir la formule de linéarisation de sin(3y)est d"utiliser les
nombres complexes et la formule de Moivre. On développe cos(3y)+isin(3y) = (cosy+isiny)3=cos3y+3icos2ysiny+quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5