Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique 1 Résoudre dans l’équation ch sh 32 2x x 2 Résoudre dans l’inéquation ch 2 ch 3 ch 4 ch 2 x x x x 3 Partie A Démontrer que, pour tout couple (x; y) de réels, on a les égalités suivantes : sh sh 2 sh ch 2 2
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Corrections de Léa Blanc-Centi 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 1 Vérifier arcsinx+arccosx = p 2 et arctanx+arctan 1 x =sgn(x) p 2: Indication H Correction H Vidéo [000752] Exercice 2 Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p 1 À quelle distance x
Fonctions hyperboliques 1 Question pr eliminaire Soit f une fonction de R dans R 1 Montrer qu’il existe une unique fonction paire p et une unique fonction impaire i d e nies de R dans R telles que f = p+ i 2 Montrer que f est continue / d erivable / n fois d erivable ssi p et i le sont Solution 1 On pose p(x) = f(x)+f( x) 2 et i(x) = f
CAPES-Exercices-FonctionsCirculaires etHyperboliques 9octobre2007 garithmiques des fonctions hyperboliques réciproques On demande donc de
5 FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RECIPROQUES 1 Fonction logarithme népérien 1 1 Définition La fonction logarithme népérien, notée ln , est la primitive sur ]0, +∞ [ qui s'annule pour x = 1 de la fonction x a 1 x Soit pour x ∈]0, +∞ [ lnx = dt 1 t x ∫ 1 2 Premières propriétés
Biblioth`eque d’exercices Indications L1 Feuille n 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication 1 Faire un dessin Remarquer que maximiser l’angle d’observation α revient a maximiser tanα Puis calculer tanα en fonction de la distance et ´etudier cette fonction
Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 5 1 Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions continues, dérivables
Fonctions hyperboliques Exercice 4 1 Quereprésentelacourbed’équation x2
Fonctions élémentaires Pascal Lainé 3 Exercice 13 Soit )la fonction numérique définie par : ( )=2cos( +sin2 ) 1 Déterminer l'ensemble de définition de , sa période et sa parité
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Fonctions élémentaires Pascal Lainé
1
Fonctions élémentaires
Exercice 1.
Déterminer les limites de ݔ lorsque ݊՜λ selon les valeurs de ݔ.
Aller à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Aller à : Correction exercice 2
Exercice 3.
Résoudre
Lorsque ݔ et ݕ sont des entiers strictement positifs.
Aller à : Correction exercice 3
Exercice 4.
Déterminer la limite quand ݔ tend vers -ା (avec ݔ്-) de : (On pourra utiliser une variable auxiliaire bien choisie tendant vers λ).
Aller à : Correction exercice 4
Exercice 5.
1. Déterminer les limites de ݂ à l'infini.
2. Etudier les variations de ݂.
3. Tracer la courbe représentative de ݂.
Aller à : Correction exercice 5
Exercice 6.
Soit ݂ la fonction définie sur Թ par
1. Etudier les variation de ݂ sur Թ.
2. Calculer les limites de ݂ en േλ.
3. Tracer sommairement le graphe de ݂.
Aller à : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soient ݂ et ݃ les fonctions définies par
1. Montrer que ݂ et ݃ sont définies pour tout ݔאԹାכ
4. En déduire les variations de ݃
Fonctions élémentaires Pascal Lainé
2
5. Calculer la limite de ݃ en -ା, puis calculer la limite de ݃ en λ (on pourra poser ܺ
6. Tracer le graphe de ݃.
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8.
Soit ݂ la fonction définie sur Թ par :
1. Montrer que ݂ est continue et dérivable sur Թ.
admet une asymptote en േλ.
4. Tracer sommairement le graphe de ݂.
Aller à : Correction exercice 8
Exercice 9.
Soit ݂ la fonction définie sur Թ par
1. Vérifier que ݂ est bien définie sur Թ.
3. Calculer les limites de ݂ en λ et en െλ.
Aller à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Soit ݂ la fonction définie sur Թ par
1. ݂ est définie et continue.
réels.
3. Calculer la limite de ݂ en λ.
Aller à : Correction exercice 10
Exercice 11.
Soit אܽԹ, ܽ
Allez à : Correction exercice 11
Exercice 12.
1. Déterminer l'ensemble de définition de ݂, sa période et sa parité. En déduire un ensemble d'étude.
2. Calculer la dérivée de ݂ et déterminer son signe.
3. Dresser le tableau de variation.
4. Tracer la courbe représentative de ݂.
Aller à : Correction exercice 12
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3
Exercice 13.
1. Déterminer l'ensemble de définition de ݂, sa période et sa parité. En déduire un ensemble d'étude.
3. Dresser le tableau de variation.
Allez à : Correction exercice 13
Exercice 14.
Soit ݂ la fonction définie sur ܫ
1. Etudier la parité de ݂
3. Dresser le tableau de variation de ݂ et tracer le graphe de ݂.
Allez à : Correction exercice 14
Exercice 15.
Soit ݂ la fonction définie sur Թ par
1. Déterminer la période de ݂ܫ
3. Etudier les variation de ݂ sur ܫ
5. Dresser le tableau de variation. Tracer sommairement le graphe de ݂ sur trois périodes.
Aller à : Correction exercice 15
Exercice 16.
et గ
Aller à : Correction exercice 16
Exercice 17.
Soit ݂ la fonction définie sur ቂ-ǡగ
1. Montrer que ଵ
2. Etudier les variations de ݂ sur ቂ-ǡగ
4. Tracer le graphe de ݂.
Allez à : Correction exercice 17
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4
Exercice 18.
Déterminer ݃ sa bijection réciproque.
Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
Calculer les limites suivantes :
Aller à : Correction exercice 19
Exercice 20.
Calculer
Aller à : Correction exercice 20
Exercice 21.
Résoudre dans Թ
Aller à : Correction exercice 21
Exercice 22.
1. Résoudre
Allez à : Correction exercice 22
Exercice 23.
1. Calculer
Aller à : Correction exercice 23
Exercice 24.
1. Montrer que
2. Résoudre
Allez à : Correction exercice 24
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5
Exercice 25.
1. Montrer que -"...-ቀଵ
3. En déduire que
Allez à : Correction exercice 25
Exercice 26.
1. Montrer que pour tout ݔא
2. Montrer que :
3. Résoudre
Allez à : Correction exercice 26
Exercice 27.
1. Montrer que pour tout ݐא
2. Montrer que
Allez à : Correction exercice 27
Exercice 28.
Soit ݂ la fonction définie par
1. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue ?
3. Calculer la dérivée de ݂ partout où cela ne pose pas de problème. Sur quel ensemble ݂ est-elle
dérivable, que peut-on en déduire sur le graphe de ݂ en - ?
5. Tracer sommairement le graphe de ݂. (On tracera clairement les tangente(s) et demi-tangente(s)
remarquable, ainsi que les asymptotes si nécessaire).
Allez à : Correction exercice 28
Exercice 29.
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6
Soit ݂ la fonction définie par :
1. ݂.
2. Calculer les limites de ݂
3. Etudier les variations de ݂.
4. Dresser le tableau de variation de ݂.
5. Tracer le graphe de ݂.
Aller à : Correction exercice 29
Exercice 30.
Soit ݂ :
1. Préciser son domaine de définition.
2. Préciser ses limites quand ݑ tend vers λ et െλ.
3. Etudier les variations de ݂. On veillera à fournir une expression très simple de la valeur ݑ pour laquelle
programme)).
4. Tracer le graphe de ݂.
Aller à : Correction exercice 30
Exercice 31.
Soit ݂ la fonction définie par
1. Sur quel ensemble la fonction est-elle définie et continue ?
2. Montrer que
a. b. Puis que
3. En déduire les variations de ݂
4. Calculer les limites au bord de son ensemble de définition.
Allez à : Correction exercice 31
Exercice 32.
Soit ݂ la fonction définie par :
1. ݂.
2. Calculer les limites de ݂
3. Etudier les variations de ݂.
4. Dresser le tableau de variation de ݂.
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7
5. Tracer le graphe de ݂.
Aller à : Correction exercice 32
Exercice 33. (Hors programme)
Soit ݂ la fonction numérique définie par :
1. Préensemble de définition de ݂ ensemble des points où elle est dérivable.
3. Dresser le tableau de variation de ݂. Tracer le graphe de ݂.
Aller à : Correction exercice 33
Exercice 34.
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Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, 6 sinus