[PDF] Continuité et dérivabilité d’une fonction

Fonctions continues - MATHEMATIQUES

• la fonction valeur absolue est continue sur R; • toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition

CONTINUITÉ DES FONCTIONS - Maths & tiques

f est continue en a f est continue en a f est continue en a f n'est pas continue en a f n'est pas continue en a La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle " contenant un réel # - est continue en # si : lim ’→)(+)=(#)

Limites et fonctions continues - Exo7

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES 1 NOTIONS DE FONCTION 4 x y f (x) f (y) Exemple 2 • La fonction racine carrée ¤ [0,+1[ R x 7 p x est strictement croissante • Les fonctions exponentielle exp : Ret logarithme ln :]0,+1[ sont strictement croissantes

Continuité – Fiche de cours - Physique et Maths

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I : - f est continue en a lorsque lim x→a f(x)=f(a) - f est continue sur un intervalle I lorsqu’elle est continue en tout réel a de cet intervalle b Propriétés - Les fonctions usuelles (affines, carré, inverse, racine carrée, valeur ab-

Cours sur les limites de fonctions et la continuité

Limite de fonctions et continuité 2 Règles de calcul sur les limites On considère dans ce paragraphe deux fonctions f et gdéfinies sur un même intervalle I Les limites sont prises en 1, +1, ou en un réel aqui, ou bien appartient à I, ou bien est une borne

Chapitre 6 Continuité - maths-francefr

D’autre part, la fonction f est continue et strictement croissante sur [0,1] et donc, d’après le corollaire au théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k compris au sens large entre f(0) = 0et f(1) = 2, l’équation f(x) = k

1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

fonction et a ∈ D f est continue en a (resp sur D) si et seulement si Re(f)et Im(f)le sont Exemple La fonction t −→ eit est continue sur Rcar les fonctions cosinus et sinus le sont Définition (Continuité à gauche/à droite en un point) Soient f: D −→ Cune fonction et a ∈ D • On dit que f est continue à gauche en a si f D

Continuité et dérivabilité d’une fonction

Fonction f continue sur [−1,5; 5,5] La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut" C’est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et

LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool

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DERNIÈRE IMPRESSION LE7 novembre 2014 à 10:23

Continuité et dérivabilité d"unefonction

Table des matières

1 Continuité d"une fonction2

1.1 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Dérivabilité6

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Interprétations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Interprétation numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Interprétation cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Signe de la dérivée, sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Dérivée et extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.2 Règles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Continuité d"une fonction

1.1 Limite finie en un point

Définition 1 :Dire qu"une fonction

fa pour limite?ena, signifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle]a-η;a+η[. On note alors : lim x→af(x) =? a a+ηa-ηC f O?? Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une limite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE (voir plus loin). On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =2

1.2 Continuité en un point

Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvert I. Soitaun élément de I. On dit que la fonctionfestcontinueenasi et seulement si : lim x→af(x) =f(a) La fonctionfestcontinue sur un intervalle Isi, et seulement si,fest continue en tout point de I. Remarque :Graphiquement, la continuité d"une fonctionfsur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. 123

1 2 3 4 5-1

]Cf O

Fonctionfdiscontinue en 2

limx→2+f(x) =3?=f(2) 123

1 2 3 4 5-1

Cf O

Fonctionfcontinue sur[-1,5; 5,5]

La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut". C"est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et 50 g).

PAULMILAN2 TERMINALES

1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION

D"autres discontinuités existent. C"est par exemple le cas en 0 de lafonctionf définie parf(x) =sin1 xpourx?=0 etf(0) =0. ?x?R,?n?Z,n?xLafonction partie entièreEest alors définie par :E(x) =n

E(2,4) =2 ;E(5) =5 ;E(-1,3) =-2

On observe alors un "saut" de la fonction pour

chaque entier. La fonction partie entière n"est donc pas continue pourxentier. 123
-1 -21 2 3 4-1-2 O

Soit la fonctionfdéfinie par :???f(x) =sin1

xpourx?=0 f(0) =0

La fonctionfn"est pas continue en 0 bien qu"on

n"observe ici aucun "saut". La fonction oscille de plus en plus autour de 0 si bien qu"au voisi- nage de 0, la fonction tend vers une oscillation infinie qui explique la non continuité. 1 -11-1O

1.3 Continuité des fonctions usuelles

Propriété 1 :Admis

•Les fonctions polynômes sont continues surR. •La fonction inversex?→1xest continue sur]-∞;0[et sur]0;+∞[ •La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue surR. •La fonction racine carréex?→⎷xest continue sur[0;+∞[ •Les fonctionsx?→sinxetx?→cosxsont continues surR •D"une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com- position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier les fonctions rationnelles.

1.4 Théorème du point fixe

Théorème 1 :Théorème du point fixe

Soit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?. Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite?est solution de l"équationf(x) =x.

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Démonstration :

On sait que la suite(un)est convergente vers?donc : limn→+∞un=? De plus, la fonctionfest continue en?donc : limx→?f(x) =f(?)

Par composition, on en déduit que : lim

n→+∞f(un) =f(?)?limn→+∞un+1=f(?) or lim Exemple :Reprénons l"exemple du chapitre 2, soit la suite(un) ?u0=0 u n+1=? 3un+4 On a montré que la suite(un)était positive, croissante et majorée par 4, elle est donc convergente vers?. La fonctionx?→⎷

3x+4 est continue sur[0;4], donc?

est solution de l"équationf(x) =x.

3x+4=xon élève au carré

3x+4=x2

x

2-3x-4=0

Cette équation a-1 et 4 comme solution. Or on sait queun?0. On en déduit que la seule solution acceptable est 4. La suite(un)converge vers 4.

1.5 Continuité et dérivabilité

Théorème 2 :Admis

•Sifest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena. •Sifest dérivable sur un intervalle I alors la fonctionfest continue sur I. ?La réciproque de ce théorème est fausse Remarque :Laréciproquedecethéorèmeestfausse.Pours"enrendrecompte,on peut s"appuyer surunereprésentation graphique.Siunefonction est continuesur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Sila fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple :

La fonction dont la représentation est

ci-contre, est bien continue ena, car la courbe est en un seul morceau.

Par contre, la fonction n"est pas déri-

vable ena, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.

Onditquelacourbeadmetunpointan-

guleux A O a?

PAULMILAN4 TERMINALES

1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION

La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue mais pas dérivable en 0.

1.6 Continuité et équation

Théorème 3 :Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonctioncontinuesur un intervalle I= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe un réelc?I tel quef(c) =k.

Remarque :Ce théorème est admis.

Ce théorème résulte du fait que l"image

d"un intervalle deRpar une fonction continue est un intervalle deR

Voici une illustration graphique. Icik

est bien compris entref(a)etf(b).

L"équationf(x) =kadmet donc des so-

lutions.

Le fait quecexiste ne veut pas dire

qu"il soit unique. Dans notre exemple, il existe ainsi trois valeurs pourc. abf(a) f(b)k c

1c2c3O

Théorème 4 :Théorème des valeurs intermédiaires bis Soit une fonctionfcontinue et strictement monotonesurI= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =ka une unique solution dans I= [a,b] Démonstration :L"existence découle du théorème précédent, et l"unicité de la monotonie de la fonction.

Remarque :

•On généralise ce théorème à l"intervalle ouvertI=]a,b[.kdoit alors être com- pris entre limx→af(x)et limx→bf(x) •Lorsquek=0, on pourra montrer quef(a)×f(b)<0.

•Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car lafonction réalise

une bijection de I surf(I). •Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuitéet la monotonie de la fonction. Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x3+x-1. Montrer que l"équationf(x) =0 n"admet qu"une solution surR. On donnera un enca- drement à l"unité de cette solution. Trouver ensuite, à l"aide d"un algorithme un encadrement à 10 -6de cette solution.

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

123
-1 -20.5 1.0 1.5 Oα

La fonctionfest une fonctioncontinuesurRcarf

est un polynôme.

La fonctionfest la somme de deux fonctions crois-

santesx?→x3etx?→x-1, doncfeststrictement croissantesurR.

On af(0)=-1 etf(1)=1?f(0)×f(1)<0

donc d"après le théorème des valeurs intermé- diaires, la fonctionfadmet un uniqueα?[0,1] tel quef(α) =0.

Algorithme :Un algorithme utilisant le

principe dedichotomie(on divise l"intervalle en deux et on réitère l"opération) permet de trouver une approximation deαà la précision demandée. On pose :

•AetBles bornes de l"intervalle.

•Pla précision (entier positif).

•Nle nombre d"itérations.

On rentre alors :A=0,B=1,P=6 et

f(x) =x3+x-1

On obtient alors :A=0,682 327,B=0,682 328

etN=20. Il faut donc 20 itérations pour obtenir la préci- sion demandée

Variables:A,B,Créels

P,Nentiersffonction

Entrées et initialisation

LireA,B,P

0→N

Traitement

tant queB-A>10-Pfaire A+B

2→C

sif(A)×f(C)>0(*)alors

C→A

sinon

C→B

fin

N+1→N

fin

Sorties: Afficher :A,B,N

?Cette algorithme ne fonctionne que sik=0, si l"on veut généraliser cet algorithme à un réel

kquelconque, on peut : •demander à lireKet changer la ligne étoilée par : f(A)-K)×(f(C)-K)>0 •au lieu de rentrer la fonctionf, on rentre la fonctiongtelle que : g(x) =f(x)-k

2 Dérivabilité

2.1 Définition

Définition 3 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvertIetaun point de I. On dit que la fonctionfest dérivable enasi et seulement si le taux d"accroissement de la fonctionfenaadmet une limite finie?ena, c"est à dire : lim h→0f(a+h)-f(a) h=? Dans ce cas, on appelle?le nombre dérivé defenaet on le notef?(a) Lorsque la fonctionfest dérivable sur un intervalle I, on notef?, la fonction dérivée qui à toutxdeIassocie son nombre dérivéef?(x).

PAULMILAN6 TERMINALES

2. DÉRIVABILITÉ

Remarque :

•Si la fonctionfest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena •Les physiciens expriment volontiers une variation à l"aide du symboleΔ; il notent ainsiΔx=x-aetΔy=f(x)-f(a). Pour une variation très petite, on note alors dxet dy. On obtient alors la nota- tion différentielle de la dérivée : f ?=dy dxetf?(a) =dydx(a) Exemple :Soit la fonction par morceaux définie par : ?f(x) =x2-2x-2 six?1 f(x) =x-4 xsix>1 Étude de la continuité et de la dérivabilité en 1. •Continuité en 1. La continuité à gauche de 1 ne pose pas de problème, car une fonction polynôme est continue sur]-∞;1]. Il faut donc étudier la continuité

à droite.

lim x→1+x-4 x=-3 etf(1) =12-2×1-2=-3 on a donc : lim x→1+x-4 x=f(1)la fonctionfest donc continue en 1 •Dérivabilité en 1. La dérivabilité à gauche de 1 ne pose pas de problème car une fonction polynôme est dérivable sur]-∞;1]. six?1, on af?(x) =2x-2 doncf?g(1) =0 Pour la dérivabilité à droite, il faut revenir à la définition. On calcule alors : f(1+h)-f(1) h=1+h-4 1+h+3 h=4hh(1+h)=41+h

On a donc :

lim h→0-4

1+h=4 doncf?d(1) =4

Commef?g(1)?=f?d(1)la fonctionf

n"est pas dérivable en 1.

Graphiquement la fonctionfest en un

seul morceau et possède un point an- guleux en 1. -1 -2 -31 2 3 4-1-2 Cf A O

PAULMILAN7 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Interprétations

2.2.1 Interprétation graphique

Théorème 5 :

Lorsquefest dérivable ena, la courbe

représentativeCfde la fonctionfad- metaupointA(a,f(a))unetangentede coefficient directeurf?(a)dont l"équa- tion est : (T) :y=f?(a)(x-a) +f(a) AM xy a f(a) OC f(T) Remarque :Il est important de retenir que le nombre dérivé représente le coef- ficient directeur de la tangente à la courbe en un point.

2.2.2 Interprétation numérique

Théorème 6 :Lorsqu"une fonctionfest dérivable ena, une bonne approxi- mation affine, lorsquea+hest voisin deaest : f(a+h)≈f(a) +hf?(a) Exemple :Déterminer une approximation affine de⎷4,03.

On posef(x) =⎷

x,a=4 eth=0,03. On calcule alors la dérivée en 4. f ?(x) =1

2⎷xdoncf?(4) =14

et doncf(4,03)≈f(4) +0,03×1

4≈2,0075

On obtient donc :

4,03≈2,0075 à comparer à la valeur donnée par la calcu-

latrice 2,007 486. La précision est donc de 10 -4.

2.2.3 Interprétation cinématique

Si on appellex(t)la loi horaire d"un mouvement, alorsx?(t)représente la vitesse instantanée à l"instantt. De même, si on appellev(t)la vitesse instantanée à l"ins- tantt, alorsv?(t)représente l"accélération à l"instantt. Ainsi, avec les notations des physiciens, la vitesse instantanéevet l"accélération as"écrivent : v=dx dteta=dvdt=d2xdt2

PAULMILAN8 TERMINALES

2. DÉRIVABILITÉ

2.3 Signe de la dérivée, sens de variation

Théorème 7 :Soit une fonctionfdérivable sur un intervalle I. •Si la fonction dérivéef?estnulle, alors la fonction estconstante. •Si la fonction dérivée eststrictement positive(sauf en quelques points isolés de I où elle s"annule), alors la fonctionfeststrictement croissantesur I. •Si la fonction dérivée eststrictement négative(sauf en quelques points isolés de I où elle s"annule), alors la fonctionfeststrictement décroissantesur I. Remarque :Ainsi l"étude des variations d"une fonction dérivable consiste à

étudier le signe de la dérivée.

Exemple :Étudier les variations de la fonctionfdéfinie surRpar : f(x) =x3-6x2+1 fest dérivable surRet : f ?(x) =3x2-12x=3x(x-4) Donc

•f?(x) =0?x1=0 oux2=4

•f?est positive à l"extérieur des racines et négative à l"intérieur.

On obtient le tableau de variation suivant :

x f ?(x) f(x) -∞04+∞ 0-0+ 11 -31-31

2.4 Dérivée et extremum local

Théorème 8 :Soit une fonctionfdérivable sur un intervalle ouvert I.aun point de I.

•Sifadmet un extremum local enaalorsf?(a) =0.

•Sif?(a) =0 et sif?change de signe enaalors la fonctionfadmet un extremum local ena. Remarque :Les extremum locaux d"une fonction sont à chercher parmi les zéros de la dérivée, mais sif?(a) =0,an"est pas nécessairement un extremum local (contre-exemplef(x) =x3ena=0). ConséquenceLes problèmes d"optimisation consistent à déterminer une fonc- tion dérivable et à déterminer les extremum locaux.

PAULMILAN9 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Exemple :Problème de l"éditeur.

Un éditeur doit produire un livre avec

les contraintes suivantes : sur chaque page le texte imprimé doit être contenu dans un rectangle de 300 cm

2, les

marges doivent mesurer 1,5 cm sur les bords horizontaux et de 2 cm sur les bords verticaux.

Quelles doivent être les dimensions

d"une page pour que la consommation de papier soit minimale?

On appelleraxetyles dimensions hori-

zontales et verticales etSla surface to- tale de la feuille. On cherchera à expri- merypuisSen fonction dex. Comme la consommation de papier est donnée par la surface, on cherchera à détermi- ner le minimum deSsuivant les va- leurs dex

300 cm22 2

1,51,5

x y La surface imprimée :(x-4)(y-3) =300?y=300x-4+3

La surface totale :S(x) =xy=300x

x-4+3x=3?100xx-4+x?

On dériveS:S?(x) =3?100(x-4)-100x

(x-4)2+1? =3?-400+x2-8x+16(x-4)2? S ?(x) =3(x2-8x+384) (x-4)2

On annuleS?:S?(x) =0?x2-8x+384=0

d"oùΔ=82+4×384=1600=402

La racine positive vaut :x=8+40

2=24 x S ?(x) S(x)

4 24+∞

0+ La surface totale admet donc un minimum pourx=24, on en déduit alors y=300

24-4+3=18

Les dimensions de la feuille qui rend la consommation de papier minimum est

24 cm×18 cm

PAULMILAN10 TERMINALES

2. DÉRIVABILITÉ

2.5 Dérivées des fonctions usuelles

2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires

Voici le tableau des dérivées usuelles ainsi que leurs ensembles de validité.

FonctionDfDérivéeD?f

f(x) =kRf?(x) =0R f(x) =xRf?(x) =1R f(x) =xnn?N?Rf?(x) =nxn-1R f(x) =1xR?f?(x) =-1x2 ]-∞;0[ou ]0;+∞[ f(x) =1xnn?N?R?f?(x) =-nxn+1 ]-∞;0[ou ]0;+∞[ f(x) =⎷x[0;+∞[f?(x) =12⎷x]0;+∞[ f(x) =sinxRf?(x) =cosxR f(x) =cosxRf?(x) =-sinxR

2.5.2 Règles de dérivation

Dérivée de la somme(u+v)?=u?+v?

Dérivée du produit par un

scalaire(ku)?=ku?quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14