Ex sur fonctions continues
20 Soit f : D une fonction uniformément continue bornée et g : une fonction continue Montrer que g f est uniformément continue sur D 21 Déterminer une fonction f définie et discontinue sur un intervalle I telle que f I soit un intervalle de R
Espaces vectoriel normés - Fonctions vectorielles
1 2 onctionF continue mais pas uniformément continue : Uniforme continuité et dérivée bornée : 1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[
AN 8 Intégration des fonctions continues sur un segment
l’intégrale Toutefois, Cauchy utilise implicitement qu’une fonction continue sur un segment [a,b] y est uniformément continue Riemann Il faudra attendre Heine pour expliciter la notion d’uniforme continuité et apporter une preuve du résultat précédent, vers 1870 Bernhard Riemann, dans un mémoire sur les séries trigonomé-
INTEGRATION
On dit que f est uniformément continue sur I ssi : >0, >0 vers On dit que f est une fonction continue par morceaux sur [a,b] i = (x 0, x 1
Université Paris 7 - Paris Diderot Premier semestre 2012/13
intervalle, alors f est continue Etendre le résultat au cas d’une fonction strictement décroissante Exercice 11 Soit f: [0,1[ → R uniformément continue Montrer que f est bornée Exercice 12 Soit f: R+ → R continue et tendant vers 0 à l’infini Montrer que f est uniformément continue Exercice 13
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X)
Soit f : R → R une fonction uniformément continue On suppose que pour toute suite (x n ) n>0 à valeurs dans Λ telle que x n → +∞, f(x n ) → 0 quand n → +∞
Espaces vectoriel normés - Fonctions vectorielles
1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[ 3- Soit Eun espace vectoriel normé de dimension nie sur K = R ou C, et fune fonction vectorielle de classe C1 dé nie sur un intervalle Ide R à aleursv dans E
Suites et séries de fonctions - AlloSchool
b Montrer que la suite (fn) converge uniformément sur [0,1] vers une fonction à préciser 28 Soient f une fonction continue de dans et (Pn) une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers f sur a Justifier qu'il existe un entier naturel N tel que : ∀ n ≥N, ∀ x ∈ , Pn x( ) −PN x( ) ≤1
Probabilité continue
Probabilité continue 1 Densité de probabilité Définition On appelle densité de probabilité sur un intervalle I toute fonction f continue et positive sur I telle que : • 1 si I=a,b [ ] b a ∫ f(x)dx = • 1 si I=a,[ ]+ x x a lim f(t)dt →+∞ ∫ = ∞
Cours 06 : Suites et séries de fonctions
uniformément sur R car elle converge simplement vers la fonction nulle sur R, et kfn ¡0k1,R =1 pour tout n 2N De même, la suite (gn)n2N⁄ définie par gn: x 2R7¡(n¯1)x n 2Rconverge simplement vers la fonction nulle sur [0,1[, mais ne converge pas uniformément sur [0,1[ car kgn¡0k1,[0,1[˘n¯1 En revanche, pour tout a ˙1,
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