Ex sur fonctions continues
20 Soit f : D une fonction uniformément continue bornée et g : une fonction continue Montrer que g f est uniformément continue sur D 21 Déterminer une fonction f définie et discontinue sur un intervalle I telle que f I soit un intervalle de R
Espaces vectoriel normés - Fonctions vectorielles
1 2 onctionF continue mais pas uniformément continue : Uniforme continuité et dérivée bornée : 1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[
AN 8 Intégration des fonctions continues sur un segment
l’intégrale Toutefois, Cauchy utilise implicitement qu’une fonction continue sur un segment [a,b] y est uniformément continue Riemann Il faudra attendre Heine pour expliciter la notion d’uniforme continuité et apporter une preuve du résultat précédent, vers 1870 Bernhard Riemann, dans un mémoire sur les séries trigonomé-
INTEGRATION
On dit que f est uniformément continue sur I ssi : >0, >0 vers On dit que f est une fonction continue par morceaux sur [a,b] i = (x 0, x 1
Université Paris 7 - Paris Diderot Premier semestre 2012/13
intervalle, alors f est continue Etendre le résultat au cas d’une fonction strictement décroissante Exercice 11 Soit f: [0,1[ → R uniformément continue Montrer que f est bornée Exercice 12 Soit f: R+ → R continue et tendant vers 0 à l’infini Montrer que f est uniformément continue Exercice 13
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X)
Soit f : R → R une fonction uniformément continue On suppose que pour toute suite (x n ) n>0 à valeurs dans Λ telle que x n → +∞, f(x n ) → 0 quand n → +∞
Espaces vectoriel normés - Fonctions vectorielles
1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[ 3- Soit Eun espace vectoriel normé de dimension nie sur K = R ou C, et fune fonction vectorielle de classe C1 dé nie sur un intervalle Ide R à aleursv dans E
Suites et séries de fonctions - AlloSchool
b Montrer que la suite (fn) converge uniformément sur [0,1] vers une fonction à préciser 28 Soient f une fonction continue de dans et (Pn) une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers f sur a Justifier qu'il existe un entier naturel N tel que : ∀ n ≥N, ∀ x ∈ , Pn x( ) −PN x( ) ≤1
Probabilité continue
Probabilité continue 1 Densité de probabilité Définition On appelle densité de probabilité sur un intervalle I toute fonction f continue et positive sur I telle que : • 1 si I=a,b [ ] b a ∫ f(x)dx = • 1 si I=a,[ ]+ x x a lim f(t)dt →+∞ ∫ = ∞
Cours 06 : Suites et séries de fonctions
uniformément sur R car elle converge simplement vers la fonction nulle sur R, et kfn ¡0k1,R =1 pour tout n 2N De même, la suite (gn)n2N⁄ définie par gn: x 2R7¡(n¯1)x n 2Rconverge simplement vers la fonction nulle sur [0,1[, mais ne converge pas uniformément sur [0,1[ car kgn¡0k1,[0,1[˘n¯1 En revanche, pour tout a ˙1,
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Université Paris 7 - Paris DiderotPremier semestre 2012/13
Licence deuxième année - MM3Maths Info 2
Liste d"exercices pour la semaine 2
Exercice 1.Soitf:R→Rcontinue en 0 telle que?x?R, on af(2x) =f(x).Montrer quefest une fonction constante.
Exercice 2.Soitf:R→Rune fonction continue en 0 et en 1 telle que?x?R,f(x) =f(x2).Montrer quefest constante.
Exercice 3.Soitf:R→Rune fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.On suppose que?x?R,f(2x) =f(x)cosx. Déterminerf(indication : se servir de sin(2x) = 2sin(x)cos(x)).
Exercice 4.Etudier la continuité surRde l"applicationf:x?→E(x) +? x-E(x). Exercice 5.Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =?1 six?Q0 sinon.
Montrer quefest totalement discontinue.
Exercice 6.Soitf:R+?→Rune fonction telle quex?→f(x) est croissante etx?→f(x) xest décroissante.Montrer quefest continue.
Exercice 7.Soientf:I→Retg:I→Rdeux fonctions continues. Montrer que sup(f,g) est une fonction continue surI. Exercice 8.Soitf:R→Rcontinue telle que?x,y?R,f(x+y) =f(x) +f(y). a) Calculerf(0) et montrer que pour toutx?R,f(-x) =-f(x). b) Justifier que pour toutn?Zet toutx?R,f(nx) =nf(x). c) Etablir que pour toutr?Q,f(r) =araveca=f(1). d) Conclure que pour toutx?R,f(x) =ax. Exercice 9.On cherche les fonctionsf:R→Rcontinues telles que?x,y?R,f?x+y 2? =12(f(x) +f(y)). a) On supposefsolution etf(0) =f(1) = 0. Montrer quefest périodique et que?x?R, 2f(x) =f(2x). En déduire quefest nulle. b) Déterminer toutes les fonctionsfsolutions.Exercice 10.SoitI= [a;b] un intervalle deRetf:R→Rstrictement croissante. Montrer que sif(I) est un
intervalle, alorsfest continue. Etendre le résultat au cas d"une fonction strictement décroissante.
Exercice 11.Soitf: [0,1[→Runiformément continue. Montrer quefest bornée. Exercice 12.Soitf:R+→Rcontinue et tendant vers 0 à l"infini.Montrer quefest uniformément continue.
Exercice 13.Soitf:R+?→Rune fonction uniformément continue vérifiant ?x >0,f(nx)---→n→∞0Montrer quefconverge vers 0 en +∞.
1 Exercice 14.Soit f une fonction convexe de [a;b] dansR. Montrer qu"elle est continue sur ]a;b[.Exercice 15.A l"aide d"une formule de trigonométrie, montrer que tan n"est pas uniformément continue sur
]-π/2,π/2[.Exercice 16.Soitf: [0,1]→[0,1].
a) On suppose quefest continue. Montrer quefadmet un point fixe. b) On suppose quefest croissante. Montrer quefadmet un point fixe.Exercice 17.Soit (un) une suite strictement croissante de réels de [0,1] de limite 1. Déterminer les fonctions
f? C([0,1],R) vérifiant ?x?[0,1],f(x) =+∞? n=1f(unx+ 1-x) 2n Exercice 18.Soientf,g: [0,1]→[0,1] continues vérifiant f◦g=g◦f Montrer qu"il existex0?[0,1] telle quef(x0) =g(x0). Exercice 19.Soitn?Netf:I→Rune application de classeCns"annulant enn+ 1 points distincts deI. a) Montrer que la dérivéenème defs"annule au moins une fois surI.b) Soitαun réel. Montrer que la dérivée (n-1) ème def?+αfs"annule au moins une fois surI.
(indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.) Exercice 20.Soita >0 etf: [0,a]→Rune fonction dérivable telle quef(0) =f(a) = 0 etf?(0) = 0. a) Montrer que la dérivée dex?→f(x) xs"annule sur ]0,a[.b) En déduire qu"il existe un point autre que l"origine en lequel la tangente àfpasse par l"origine.
Exercice 21.Soitf:R→Rune fonction dérivable. Montrer que?x >0,?c >0,f(x)-f(-x) =x(f?(c) +f?(-c)). Exercice 22.Soitf:R→Rdérivable telle que lim-∞f= lim+∞f= +∞.Montrer qu"il existec?Rtel quef?(c) = 0.
Exercice 23.Soitf: [0,+∞[→Rune fonction dérivable telle que lim+∞f=f(0).Montrer qu"il existec >0 tel quef?(c) = 0.
Exercice 24.Soitf: [0,+∞[→Rune fonction dérivable. On suppose quef(0) = 0 et quef?est croissante.