PUISSANCES ET RACINES CARRÉES
6 sur 7 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 4) Simplifier les écritures contenant des racines carrées Méthode : Simplifier une écriture contenant des racines carrées
Cours : puissances
Il est utile de connaître les carrés des premiers nombres entiers 1² = 1 4² = 16 7² = 49 10² = 100 13² = 169 2² = 4 5² = 25 8² = 64 11² = 121 14² = 196 3² = 9 6² = 36 9² = 81 12² = 144 15² = 225 Convention : Pour a ≠ 0, on vient que a 0 = 1 Exemple : (-7)0 = 1 Attention
1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36
Les puissances de 10 L'écriture scienti nition Les 12 premiers carrés parfaits 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 de 10
Carrés et puissances utiles à connaître par cœur
Carrés et puissances utiles à connaître par cœur 02 = 0 20 = 1 12 = 1 21 = 2 22 = 4 22 = 4 32 = 9 23 = 8 42 = 16 24 = 16 52 = 25 25 = 32 62 = 36 26 = 64 72 = 49
Chapitre : Puissances et racines
Remarque : Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations Exemple : ( 7 – 10 ) 4 – 8² + 12 × 5 = ( – 3 ) 4 – 8² + 12 × 5 = 81 – 64 + 12 × 5 = 81 – 64 + 60 = 77 Remarque : Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des exemples simples
Chapitre N6 : Puissances et grandeurs
Conjecture les règles de calculs avec des puissances d'un même nombre Pour la suite, dans les parties 2 , 3 et 4 , a est un nombre non nul et m et p sont deux entiers naturels non nuls 2 Cas où les deux exposants sont positifs a Recopie et complète l'expression a m ×ap = a× ×a facteurs ×a × ×a facteurs facteurs au total =a b
Exercice sur les puissances 4ème
Exercice 2 : Vrai ou faux Exercice 3 : Écrivez les numéros suivants sous la forme d’un seul numéro de puissance Exercice 4: Magic Square Dans ces carrés magiques, le produit des nombres de chaque ligne, colonne ou diagonale est le même Complétez ces carrés avec les bons pouvoirs
RÉDUCTION DES ÉCARTS DE RENDEMENT
• Les puissances dont l’exposant est 2 ou 3 portent respectivement le nom de carré et de cube Par exemple, la puissance 62 se lit communément 6 au carré alors que la puissance 53 se lit communément 5 au cube Dans tous les autres cas, on utilise généralement des nombres ordinaux Par exemple, 65 se lit
Racine carr e - Exercices corrig s - académie de Caen
On donne les nombres : a = 2 5 - 3 et b = 2 5 + 3 Calculer a + b , a - b , a² + b² , ab et ( a + b )² Correction : Calcul de a + b : Remplaçons a et b par les valeurs données ci-dessus Attention, toute valeur doit être considérée comme une valeur entre parenthèses ( Il est vrai que si
Les carrés magiques dans la Talismanie d’Agrippa
Les carrés magiques représenteront les puissances planétaires Quant aux figures géométriques, elles possèdent également un pouvoir magique en tant que symboles des nombres Les proportions occultes du corps humain, De Occulta Philosophia, Livre III 1/
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frFRACTIONS, PUISSANCES, RACINES CARRÉES
Tout le cours sur les fractions en vidéo : https://youtu.be/a0Qb812W75c Tout le cours sur les puissances en vidéo : https://youtu.be/XA-JkXirNz4 Tout le cours sur les racines carrées en vidéo : https://youtu.be/8Atxa6iMVswPartie 1 : Fractions
1. Calcul avec les fractions (Rappels)
Propriétés :
Méthode : Effectuer des calculs de fractions
Vidéo https://youtu.be/1yV5scwCwvg
5 4 6 16 5 3 6 5 2 -3 -5 11 3 4 -5 8 8 7 4 7 5 3Correction
5×4
4×4
5×5
3×5
6×3
5×3
2×(-5)
(-3)×11 &3 2515 18 15 '$3 '&3 20+6 16 $3 8 13 8 8 7 4 7 5 3 8 7 20 21
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20 21
4 21
2. Réduire des expressions au même dénominateur
Propriété :
9 9< 9<=;: Méthode : Réduire au même dénominateurVidéo https://youtu.be/Id_udNTKsqI
Réduire les expressions suivantes au même dénominateur : 7 -2 5 3 =3+5
2+1
Correction
7 -2 5 37×3
-2 ×3 5 -2 3 -2 21-5-2 3 -2
21-5+10
3 -231-5
3 -2 =3+5
2+1
3 15
2+1
32+1
12+1)
5
2+1
32+1
+52+1
6+3+5
2+1
11+3
2+1
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 2 : Puissances
1. Rappels
De façon générale :
fois est un nombre non nul et est un entier non nul. =1 0 =0 1 =12. Attention aux signes !
Ne pas confondre :
-3 et : -3 =-3×3×3×3=-81Exercice :
Calculer de même en appliquant la règle des signes : -5 ;-1 -1 ;-3 -2 ;-7 -9 ;-9Réponses : 25;-1;1;-27;4;-49;1;-1
3. Opérations sur les puissances
Avec et entiers relatifs :
1 1Exemples :
2 =2×2×2 11 =11×11×11×11×11Exemples :
15 =15 103=1 0 =0 1 =1
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Effectuer des calculs sur les puissancesVidéo https://youtu.be/FBmVDGvUtJ4
Vidéo https://youtu.be/cY6xdxT7kLM
Exprimer sous la forme d'une seule puissance :
1 4 =4 ×4 5 5 =7 7 =6 ×9Correction
=4 ×4 =7 3 7 2 6 =6 ×9 =4 =4 =5 =7 ×76×9
=4 =5 =7 ×7 =54 =7 =7 Méthode : Appliquer les formules sur les puissances de 10Vidéo https://youtu.be/GWz5_veC12U
Vidéo https://youtu.be/EL4dBiBbL-U
a) Écrire sous la forme 10 ou 10 =10×10
10 10 10 =10 10 b) Écrire en notation scientifique : =4×7×10×10
)17×10
×5×10
156×10
)232×10
+6×102×10
Correction
a) )=4×7×10×10
)17×10
×5×10
156×10
)232×10
+6×102×10
=28×10 )+)17×5
5610
×10
1 10 )20,0032+0,006
2×10
=10×10
=10 =10 10 10 =10 =10 )2 10 =10 =10 =10 10 =10×10
=10×10
=10 =10 =105 sur 9
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr =28×10 =0,625× 10 10 )20,0092
2×10
=2,8×10 =0,625×100,0092
2 1 10 =6,25×10 =0,0046×10 =4,6×10Partie 3 : Racines carrées
1. Définition
Exemples :
• 3 =9 donc 9 =3 • 2,6 =6,76 donc6,76 =2,6
2 ≈1,4142
3≈1,732
2 et3 s'écrivent avec un nombre infini de décimales, on les appelle des nombres
irrationnels.Définition :
La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est .Racines de carrés parfaits :
0=0 25=5100=10
1=1 36=6121=11
4=2 49=7144=12
9=3 64=8169=13
16=4 81=9Remarque :
-5 =? La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5 !Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d'un nombre
négatif est impossible. -5 n'existe pas !2. Propriétés sur les racines carrées
Propriétés : et sont des nombres positifs. 9 9 (≠0) F G6 sur 9
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr + etDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gzp16wnchaU
• F G =F G ×F G • F ×G =× car a et b sont positifsDonc F
G =F ×G et doncDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/fkE5KngvcCA
On a par exemple :
• F G =F G +2 +F G =++2 • F +GDonc F
G >F +G car 2 >0Et donc
Méthode : Effectuer des calculs sur les racines carréesVidéo https://youtu.be/CrTjK3Qa72s
Écrire le plus simplement possible :
32×
2 =
3×27 =
3×36×
3 !3 8& = !4 5% $3 (3Correction
32×
2=32×2=
64=83× 27=
3×27=
81=93×
36×
3 =3×3×
36=9×
36=3×6=18
49=7!3 8& !3 8& = !4 5% =4 5% =16×5=80
7 sur 9
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr32×
10 80%&×$3 (3 4=2
3. Extraire un carré parfait
Méthode : Extraire un carré parfait
Vidéo https://youtu.be/cz27kb_qTy4
Écrire sous la forme
, avec et entiers et étant le plus petit possible :72 =
45 = 3
125Correction
7236×2 ← On fait " apparaître » dans 72 le carré parfait 36
36 ×
2 ← On extrait cette racine en appliquant une formule
=62 ← On simplifie la racine du carré parfait
Pour que soit le plus petit possible, ne doit pas " contenir » de carré parfait. 459×5
9× 5 =3 5 =3 125= 3