Les hypothèses sur la fonction dutilité
Microéconomie 1 (2016 - 2017) - Département d'économie ENS TD 4 L'arbitrage traail-loisirv et l'o re de traailv Correction On considère un individu dont la fonction d'utilité Ua pour arguments un bien de consommation agrégé, c, et du loisir, l, telle que U=U(c;l) Cette fonction d'utilité est
1Exercice1** - Master Finance de lUniversité dOrléans
La fonction d’utilité de VNM de l’agent est uA(R,H)= √ R−2 s’il choisit l’action H,etuA(R,L)= √ R−1 s’il choisit l’action L L’utilité de l’agent s’il ne contracte pas avec le Principal est u¯A=2 Q1 Interpréter la fome (par rapport à R) des fonctions d’utilité de VNM du principal et de l’agent Q2
Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1
Lorsque l’on travaille avec la fonction d’utilité linéaire u(x) = x, il est commode d’introduire le rendement d’un actif afin de comparer des actifs n’ayant pas la même valeur initiale Définition Le rendement d’un titre prenant les valeurs V 0 >0 et V 1 0 est R = V 1 V 0 V 0 Remarques : I en anglais, rendement return I On a
FIN6053 Théories avancées de portefeuille COMPLÉMENTS DE
Que l’on adopte une fonction d’utilité quadratique (ou une approximation du deuxième ordre d’une autre fonction d’utilité) ou que l’on postule que les rendements des actifs sont normaux, le risque d’un actif est quantifiable par sa variance, ce qui simplifie grandement le p roblème de choix de portefeuille Ce cadre d’ana-
La finance comportementale, une critique cognitive du
cette extension en choisissant une fonction d'utilité quadratique et en faisant l'hypothèse que les actifs financiers sont des variables normales caractérisées par leurs deux moments, l'espérance et la variance Il est dans ces conditions possible de résoudre simplement le programme de l'investisseur financier L'agent
DM 1 - Ecole déconomie de Paris - Paris School of Economics
outefois,T avec la fonction d'utilité considérée, les solutions en coin ne sont pas possi- bles : dès que l'individu n'alloue aucun euro de son budget à la consommation d'aide à domicile, ou qu'au contraire il a ecte tout son revenu à ce poste de dépense, son
Analyse moyenne-variance des portefeuilles efficaces
Accent sur prix d’équilibre des actifs et prix d’états sous-jacents Questions ouvertes Généralité des conditions d’équilibre des prix Echange : qui détient les actifs risqués, volume de l’échange Plus loin dans l’analyse de l’équilibre Généralité Intuition de la mécanique Option :
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Master Modélisation Statistique M2
Finance - chapitre 1
Gestion optimale de portefeuille,
l"approche de MarkowitzClément Dombry,
Laboratoire de Mathématiques de Besançon,
Université de Franche-Comté.
C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 1 / 31Motivations
Comment aider un investisseur à placer son argent sur un marchéfinancier complexe comprenant plusieurs actifs financiers?Nous étudions ici un modèle probabiliste simple de gestion de
portefeuille basé sur l" approche monopériodique de Markowitz Ce modèle s"intéresse exclusivement à l"évolution du cours des actifs entre 2 dates (i.e. sur une pér iodede temps ) et propose une répartition des fonds sur les différents actifs (i.e. une composition de por tefeuilleoptimale pour un critère espérance/variance.Ce modèle simple admet une solution simple mais ne tiend pas compte
de problématiques importantes dans la pratique de la gestion de portefeuille comme la liquidité, la fiscalité, les coûts de transaction ... C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 2 / 31Plan du cours
1Comportement d"un investisseur face au risque
2Le modèle de Markowitz avec vente à découvert
3Le modèle de Markowitz sans vente à découvert
4Mini-projets autour du modèle de Markowitz
C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 3 / 31Notions de base
On s"intéresse à l"évolution du cours d"un actif financier entre deux dates t0ett1et on note
VA0:valeur de l"actif A au tempst0;
VA1:valeur de l"actif A au tempst1:On suppose :
IVA0connu (cours à la datet0d"aujourd"hui),
IVA1inconnu (cours à une datet1future)
Pour tenir compte de l"incertitude du cours futur, on modéliseVA1par unevariable aléatoire.Question de base : comment comparer deux actifsAetB?C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 4 / 31
Exemple I : utilité moyenne
Considérons deux actifsAetBtels que :
VA0=VB0=900e
etVA1=920eavec proba 1=2
VA1=960eavec proba 1=2;
VB1=1100eavec proba 4=5
VB1=150eavec proba 1=5:Les valeurs initiales étant identiques, on pense naturellement à comparer
les espérancesE[VA1] =12
920+12
960=940
E[VB1] =45
1100+15
150=910
et à préférer l"actifA.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 5 / 31
Exemple I : utilité moyenne
On suppose désormais que le placement doit servir à financer un achat de 1000eet on introduit la fonction d"utilité : u(x) = (x1000)+=max(x1000;0)Notons queAne permettra jamais de financer cet achat et queE[u(VA1)] =0
tandis queE[u(VB1)] =45
100+15
0=80On est donc ammené à préférerB.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 6 / 31
Règle 1 : maximisation de l"utilité moyenne
Une fonction d"utilité est une fonction croissante sur[0;+1[et généralement concave. Par exemple u(x) =ex( >0);u(x) =x11(0);u(x) =log(x):Elle représente le comportement de l"investisseur.D"après les exemples précédent, un investisseur cherche à maximiser
l"utilité moyenne :Règle 1 - critère d"espérance Etant donné deux actifsAetBde même cours initialVA0=VB0, un investisseur préférera l"actif maximisant l"utilité moyenneE[u(VA;B1)].C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 7 / 31
Règle 2 : minimisation du risque
Dans la suite du cours, on se place dans le contexte le plus fréquent de la fonction d"utilité linéaireu(x) =x.Comment comparer deux actifs tels que VA0=VB0etE[VA1] =E[VB1] ?On introduit la notion de risque d"un actif mesuré par sa variance : plus la
variance est élevée, plus l"actif est risqué.Règle 2 - critère de variance Etant donné deux actifsAetBde même cours initialVA0=VB0et de même utilité moyenneE[VA1] =E[VB1], un investisseur préférera l"actif minimisant la varianceVar[VA;B1].C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 8 / 31
Exemple II : rôle de la corrélation
Considérons deux actifs de même valeur initialeVA0=VB0tels queE[VA1] =mA1E[VB1] =mB1
et de variance Var[VA1] =2A;Var[VB1] =2B:On considère un portefeuille contenant une proportionxd"actifAet 1x deB P x=xVA+ (1x)VB;x2R: ILa valeur initial estPx0=VA0=VB0.
ILorsquex2[0;1], on ax0 et 1x0 (achat classique).
ISinon, on ax<0 ou 1x<0 (vente à découvert).C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 9 / 31
Exemple II : rôle de la corrélation
Le portefeuillePxa pour caractéristiques
E[Px1] =xmA1+ (1x)mB12[mA1;mB1]
Var[Px1] =x22A+ (1x)22B+2x(1x)A;BAB
avecA;B=corr(VA1;VB1).On remarque que la variance du portefeuillePx1dépend de façon monotone de la corrélationA;B: I croissante six2[0;1],Idécroissante sinon.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 10 / 31
Exemple II : rôle de la corrélation
LorsquemA=mB, tous les portefeuilles ont la même espérance finale. Quelle est le portefeuille de risque minimal?Il s"obtient en minimisant (2A+2B2A;BAB)X2+2(A;BAB2B)X+2B conduisant au portefeuille optimal x =2BA;BAB2A+2B2A;BAB:La contraintex2[0;1]n"est pas toujours respectée, ce qui peut
s"interpréter comme un portefeuille avec vente à decouvert. Si on souhaite respecter la contraintex2[0;1](vente à découvert interdite), on posera x=0six<0 etx=1six>1:C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 11 / 31
Exemple III : rôle de la diversification
On considèrentitresA1;:::;Ansupposés " interchangeables » tels que VAi0=m0;E[VAi1] =m1;Var[VAi1] =2
etCov(VAi1;VAj
1) =2pouri6=j:On considère le portefeuillePn=1n
P n i=1VAiformé dentitres en proportions égales.On calcule de manière simple P n0=m0;E[Pn1] =m1;Var[Pn1] =1n2+2:Interprétation : le risque décroît en diversifiant l"investissement sur les
différents titres. C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 12 / 31Notion de rendement
Lorsque l"on travaille avec la fonction d"utilité linéaireu(x) =x, il est commode d"introduire le rendement d"un actif afin de comparer des actifs n"ayant pas la même valeur initiale.Définition Le rendement d"un titre prenant les valeursV0>0 etV10 estR=V1V0V
0Remarques :
I en anglais, rendement return.IOn a toujoursR 1.
IR>0 en cas de hausse,R<0 en cas de baisse.
IOn a une bijection(V0;V1),(V0;R), en effetV1=V0(1+R).IEn général,V0est connu etRest une variable aléatoire.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 13 / 31
Notion de rendement
L"intérêt du rendement est de pouvoir comparer deux actifs n"ayant pas la même valeur initiale.Exemple :A:VA0=110;VA1=120
B:VB0=55;VA1=61
Analyse :
I Le titre A permet un bénéfice de 10, le titre B seulement de 6. IEn achetant deux titres B au même prix que A, bénéfice de 12.ILes rendements sont :
RA=120110110
0;091 etRB=615555
0;109:C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 14 / 31
Notion de rendement
Le raisonnement précédent se généralise aisément et permet de montrer que dans le cas de l"utilité linéaireu(x) =x, les règles d"investissement de maximisation de l"utilité moyenne et minimisation du risque sont équivalentes à la règle suivante :Règle espérance-varianceSoient deux titres de rendementRAetRB.SiE[RA]E[RB], l"investisseur préfèrera le titreA.SiE[RA] =E[RB]etVar[RA]Var[RB], l"investisseur préfèrera le titreA.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 15 / 31