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CHAPITRE 5 – LES SUITES A) Notion de suite

Cours de mathématiques – Première STI2D – Chapitre 5 : Les suites 4) Comportement de la suite Un graphique direct montre que la courbe est une droite car f(x) = u0 + r x Si r < 0, la droite descend, donc les valeurs vont aller en décroissant vers -∞ Si r > 0, la droite monte donc les valeurs vont aller en croissant vers +∞

Première STI 2D - Suites géométriques

L1 ou si Q 40, alors les points du graphiques sont alignés, sur la droite d’équation U L Q 4 (voir points rouges ci-dessous pour Q 40 et les points bleus pour N L1 et Q 43) Les points verts ci-dessous sont les premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique de raison 1,2 et de terme initial Q 40,5

CHAPITRE 1 numériques Suites

Ch 01 Suites numériques Tale STI2D Partie B (s 14) 3 Suites géométriques 3 1 Rappels de première Une suite (u n) n∈N est géométrique s’il existe un réel q non nul appelé raison de la suite tel que pour tout entier naturel n: u n+1 = q ×u n Définition 12 Autrement dit, on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant

Suites numériques : Généralités

Exemple 2 fondamental et nouveau: suites où on multiplie toujours par la même chose On dit qu’une telle suite est géométrique (voir fiche de cours : suites géométriques) Exemple 5: Exemple de suite géométrique : Rang Algorithme terme 0 0,1 Ù L Ù, Ú 1 0,1 H 2 Ú L Ù, Ý 2 0,4 H 2 Û L Ù, á 3 0,8 H 2 Ü L Ú, ß 4 1,6 H 2

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Suites Comme pour les fonctions, on peut représenter une suite graphi-quement en portant n en abscisse et u n ordonnée On ne relie bien Cours de Première STI

Suites numériques - Exercices

Suites num´eriques - Exercices 1`ereSTI2D Exercice 5 Reprendre les questions de l exercices, mathématiques, 1STI, 1STI2D, première, STI, STI2D, suites

Suites géométriques Tale STI2D - Free

Fiche n 14 (S14-1b) Suites géométriques Tale STI2D Exercice 1 (Suites géométriques) Dans chacun des cas, (u n) est une suite géométrique de raison q 1 u0 = 5 et q = −3 calculer u1 puis u8; 2 u1 = −3 et q = 1 4 calculer u2 puis u10; 3 u0 = 3 et q = −0,5 calculer u3 puis u12 Exercice 2 (Bac STI2D Polynésie 2014)

Terminale STI2D - Bienvenue sur persomathu-pemfr

Chapitre 1 : Les suites Terminale STI2D 6 SAES Guillaume III Suites géométriques Dans cette partie, on va approfondir l’étude des suites géométriques vue en classe de première A Définition Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre

Exercices supplémentaires : Suites

On considère les suites et définies par = et = 0,9 pour ≥ 1 1) Déterminer le sens de variations de ces deux suites 2) A l’aide d’une représentation graphique, conjecturer leurs limites et les comparer 3) Déterminer un entier tel que (≤ ( 4) Justifier que si pour un entier 1 ≥ 34 , on a 2 < 2 alors 2

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CHAPITRE1Suites

numériques

Sommaire

Partie A (s2)2

1 Rappels de première. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Limite d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 limite infinie3

2.2 limite finie5

Partie B (s14)7

3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Rappels de première7

3.2 Somme des termes7

3.3 Limite8

Ch.01Suites numériquesTaleSTI2D

Partie A (s2)

La notion de suite est indissociable des procédures itératives utilisées dès l"Antiquité,

notamment chez le scientifique grecArchimède de Syracusepour trouver des ap- proximations de nombres irrationnels commeπou de grandeurs à mesurer : surfaces, volumes... À partir duxviiiesiècle, les suites deviennent un outil incontesté pour la détermi- nation de valeurs approchées de valeurs numérique. De nos jours, les ordinateurs permettent des approximations de plus en plus fines. La théorie des suites fournit un cadre de modélisation dans de nombreux domaines : en économie, biologie, écologie, physique...

Archimède (-287 ;-212)

1Rappels de première

Unesuitede réels est une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels. On noteu= (un)n?N= (u0;u1;u2;...;uk-1;uk;uk+1;...)

Définition 1.

Exemple 2

Vous avez certainement déjà vu ce genre de défi où il faut continuer la suite : •1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,... suite géométrique de raison 2 •1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...suite des carrés • -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21,... suite arithmétique de raison 4 •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...suite de Fibonacci

Voir vidéo Késako

sur le nombre d"or Une suite (un)n?Nest définie de manièreexplicitelorsque chaque termeun est défini en fonction de son rangn, indépendamment des autres termes : u n=f(n) oùfdésigne une fonction.

Définition 3.

Une telle expression

permet de calculer n"importe quel terme de la suite. ici,f:x→7x-5

Exemple 4

Soit (un)n?Nla suite définie parun= 7n-5.

•u0= 7×0-5 =-5;

•u1= 7×1-5 = 2;

•u2014= 7×2014-5 = 14093.

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Une suite (un)n?Nest définiepar récurrencelorsque l"on connait son pre- mier terme et une relation de la forme : u n+1=f(un) oùfdésigne une fonction.

Définition 5.

Cette relation de

récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent.

Exemple 6

Soit (un)n?Nla suite définie par :?u0= 3

u n+1=-2un+ 1.

•u1=-2u0+ 1 =-2×3 + 1 =-5;

•u2=-2u1+ 1 =-2×(-5) + 1 = 11...L"inconvénient d"une telle suite est que les termes " éloignés » du début de la suite sont

difficiles d"accès : pour calculeru100il faut, a priori, calculer tous les termes précédents!!

Pour calculer les termes d"une suite, on peut utiliser un tableur, un logiciel de géométrie dynamique ou logiciel de programmation.

2Limite d"une suite

Quel est le comportement d"une suite (un) lorsquenprend de grandes valeurs?

On écrit : lim

n→+∞un= ?

2.1limite infinie

On dit qu"une suite (un) a pourlimite+∞quandntend vers +∞si pour tout entier naturelp, on peut trouver un rangNà partir duquel tous les termesunsont supérieurs à 10p. On écrit : lim n→+∞un= +∞.

Définition 7.

nu n≥N un≥10p N10 p http://mathematiques.daval.free.fr 3/8 Lycée Georges Brassens

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Exemple 8

Soitula suite définie parun= 0,5n2-n+ 1.

On admet que cette suite admet une limite infinie en +∞. Mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel u n≥10000, soitun≥105.

Un algorithme est

une suite finie d"instructions permettant de résoudre un problème.

Le mot algorithme

vient du nom du mathématicien perse

Al-Khwarizmi

(années 800) surnommé le père de l"algèbre

AlgorithmeSeuil pour une limite infinie

Variable

n:un nombre entier naturel{indice de la suite} u:un nombre réel{valeur de la suite au rangn}

Début

Affecter ànla valeur0

Affecter àula valeur0,5n2-n+ 1{ou directement 1}

TantQueuest inférieur à10000Faire

Affecter ànla valeurn+ 1{incrémentation de 1} Affecter àula valeur0,5n2-n+ 1{nouvelle valeur deu}

FinTantQue

Affichern

Fin On peut tester cet algorithme grâce à un logiciel ou une calculatrice.

Voici ce que cela donne avec AlgoBox :

VARIABLES

n EST_DU_TYPE NOMBRE u EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

n PREND_LA_VALEUR 0 u PREND_LA_VALEUR 0.5*n*n-n+1

TANT_QUE (u<10000) FAIRE

DEBUT_TANT_QUE

n PREND_LA_VALEUR n+1 u PREND_LA_VALEUR 0.5*n*n-n+1

FIN_TANT_QUE

AFFICHER n

FIN_ALGORITHME

n=0 u=1 et avec Python :whileu>10000: n=n+1 u=0.5*n*n-n+1 print(n) L"algorithme nous donne un seuil de 143, c"est à dire que pourtoute valeur densupérieure ou égale à 143,unsera supérieur ou égale à 105. http://mathematiques.daval.free.fr 4/8 Lycée Georges Brassens

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2.2limite finie

On dit qu"une suite (un) a pourlimite?quandntend vers +∞si pour tout entier naturelp, on peut trouver un rangNà partir duquel tous les termesunsont à une distance de?inférieure à 10p. On écrit : lim n→+∞un=?.

Définition 9.

nu n n≥N

N?-10-p

?+ 10-p

Exemple 10

Soitula suite définie pour toutn≥1 parun= 3 +(-1)nn2pour . On admet que cette suite admet pour limite 3 en +∞. Mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel

AlgorithmeSeuil pour une limite finie

Variable

n:un nombre entier naturel u:un nombre réel

Début

Affecter ànla valeur1

Affecter àula valeur3 +(-1)nn2

TantQue|u-3|est supérieur à0,00001Faire

Affecter ànla valeurn+ 1

Affecter àula valeur3 +(-1)nn2

FinTantQue

Affichern

Fin

Variables

Initialisation

Traitement

Sortie

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Voici ce que cela donne avec AlgoBox :

VARIABLES

n EST_DU_TYPE NOMBRE u EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

n PREND_LA_VALEUR 1 u PREND_LA_VALEUR 3+pow(-1,n)/pow(n,2)

TANT_QUE (ABS(u-3)>0,00001) FAIRE

DEBUT_TANT_QUE

n PREND_LA_VALEUR n+1 u PREND_LA_VALEUR 3+pow(-1,n)/pow(n,2)

FIN_TANT_QUE

AFFICHER n

FIN_ALGORITHME

la syntaxe pourab estpow(a,b) n=1 u=2 et avec Python :whileabs(u-3)>0.00001: n=n+1 u=3+ pow(-1,n)/pow(n,2) print(n) L"algorithme nous donne un seuil de 317, c"est à dire que pourtoute valeur densupérieur ou égale à 317, la différence entreunet 3 sera inférieure à 0,00001.

Remarque 11

Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suitede terme général (-1)nprend alternativement les valeurs 1 et-1. Elle n"admet pas de limite. http://mathematiques.daval.free.fr 6/8 Lycée Georges Brassens

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Partie B (s14)

3Suites géométriques

3.1Rappels de première

Une suite (un)n?Nestgéométriques"il existe un réelqnon nul appelé raisonde la suite tel que pour tout entier natureln: u n+1=q×un.

Définition 12.

Autrement dit, on passe d"un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombreq.

Exemple 13

Soit (un)n?N, la suite géométrique de premier termeu0= 5 de raisonq=-2. La définition de la suite (un)n?Npar récurrence est?u0= 5 u n+1=-2un:

•u1=-2u0=-2×5 =-10;

•u2=-2u1=-2×(-10) = 20...

Soit (un)n?Nune suite géométrique de premier termeu0de raisonq,

•Pour toutn?N, on aun=u0×qn,

•Pour tous (n,p)?N×N, on aun=up×qn-p.

Propriété 14.

sip= 0, on retrouve la formule précédente

Exemple 15

Soit (un)n?Nla suite géométrique de premier termeu0= 5 de raisonq=-2, le terme de rang 4 est :u4= 5×(-2)4= 80.

3.2Somme des termes

La somme des (n+ 1) premières puissances d"un nombreq?= 1 est :

S= 1 +q+q2+···+qn=1-qn+1

1-q.

Propriété 16.

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Remarque 17

Pour simplifier l"écriture, on noten?

i=0qi= 1 +q+q2+···+qn.on lit somme pouri allant de1àndesqi

Démonstration :

1 +?q+??q2+...+??qn=S

?q+??q2+...+??qn+qn+1=qS

1-qn+1=S-qS=S(1-q)

d"où le résultat attendu :S=1-qn+1 1-q.

Exemple 18

La somme des 9 premières puissances de 2 vautS= 1 + 2 + 22...+ 28=1-28+11-2= 511.

3.3Limite

Si 0< q <1 alors limn→+∞qn= 0, et siq >1 alors limn→+∞qn= +∞.

Propriété 19.

le casq= 1est trivial carqn= 1?n

1234567

nq n Une suite géométrique peut également être définie ainsi : pour toutn?N,un=u0×qn, on a donc les propriétés suivantes. Soit (un) une suite géométrique de premier termeu0?= 0 et de raisonq >0.

•si 0< q <1 alors limn→+∞un= 0;

•siq= 1 alors la suite (un) est constante et égale àu0; •siq >1 alors limn→+∞un=-∞siu0<0 et limn→+∞un= +∞siu0>0.

Propriété 20.

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