1 Démonstration par récurrence
Chapitre 3 : Les suites 1 Démonstration par récurrence Propriété : Soit P n une proposition qui dépend d’un entier naturel n telle que : _ P 0 est vraie (initialisation) _ si on suppose P n vraie à un rang n quelconque (hypothèse de récurrence), alors P n + 1 est vraie (hérédité) Alors pour tout n 0, P n est vraie Remarques :
LEÇON NO Suites définies par récurrence Applications
n) dans une démonstration par ré-currence Dans cette partie, on va montrer comment les raisonnements par récurrence nous permettent de démontrer quelques propriétés sur certaines suites définies par u n+1 = f(u n) En particulier, grâce à ces démonstrations, on peut montrer qu’une suite définie par récurrence est majorée (ou
LES SUITES (Partie 1) - Maths & tiques
LES SUITES (Partie 1) I Raisonnement par récurrence 1) Le principe C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912) On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte
U4 – Les suites (exercices convergence, récurrence, limite)
U4 – Les suites (exercices convergence, récurrence, limite) www famillefutee com 1 LES SUITES Savoir-faire abordé : - Démonstration par récurrence - Etude de la monotonie - Convergence d’une suite - Calcul de limite Exercice La suite ( ) est définie par =1 et, pour tout entier naturel , = Soit +6 1
Les suites
On dit dans ce cas que la suite est définie par une relation de récurrence Fondamental : Initialisation de la récurrence Dans le cas de suites définies par récurrence, on a absolument besoin de connaître le (ou les) premier(s) terme(s) de la suite afin de pouvoir appliquer la formule de récurrence
LES SUITES (Partie 1) - Maths & tiques
Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile 2) Exemples avec les suites
Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence
Les suites de terme général , , admettent pour limite La démonstration est analogue aux deux exemples précédents Théorème Soit une suite convergente vers un réel Supposons qu’il existe un entier et un réel tel que pour Alors Démonstration Raisonnons par l’absurde et que l’on ait
Sommes, produits, récurrence
• conclusion : par principe de récurrence double, on peut conclure que ∀n ∈ N, u n = 2n+1 −1 Remarque 4 Le problème de ce genre de démonstration est évidemment qu'il faut déjà avoir une idée du résultat pour pouvoir le prouver par récurrence Ainsi, dans le dernier exemple, il faut conjecturer = = = = + +···+
Preuve par récurrence - WordPresscom
7) Montrer que la suite définie par : {U0=−1 Un+1= 1 2 Un+1 est majorée par 2 8) Soit la suite définie par U0= 1 2 et pour tout entier naturel n parUn+1=1−Un ² Montrer par récurrence que tous les termes de la suite sont élément de l’intervalle [0;1] BLANCHARD Déborah_Cours de Term_Mathématiques_« Preuve par récurrence »
[PDF] les sujet de bac 2017
[PDF] les sujets du bac sont ils tirés au sort
[PDF] les sujets du droit international public pdf
[PDF] les sujets possibles dans le programme d'histoire
[PDF] Les sujets possibles sur L'Allemagne Nazie
[PDF] Les superatifs et les comparatifs
[PDF] Les superlatifs et les comparatifs de supériorité
[PDF] les suppliantes analyse
[PDF] les suppliantes eschyle pdf
[PDF] les suppliantes euripide
[PDF] les suppliantes olivier py
[PDF] les suppliantes resume
[PDF] les suppliants jelinek
[PDF] les supports de transmission en telecommunication pdf
1
LES SUITES (Partie 1)
I. Raisonnement par récurrence
1) Le principe
C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent. Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n 0 si lorsque pour un entier k n 0 , la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété P est : - vraie au rang n
0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n 0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n 0 Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n 0 = 1. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).On en déduit que tous les dominos tombent.
2 Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en oeuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile.2) Exemples avec les suites
Méthode : Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suiteVidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par +2+3 et =1.Démontrer par récurrence que :
+1 • Initialisation : à Le premier domino tombe. 0+1 =1=La propriété est donc vraie pour n = 0.
• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : à On suppose que le k-ième domino tombe. Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : 0 +1 - Démontrons que : à Le k+1-ième domino tombe-t-il ? La propriété est vraie au rang k+1, soit : 0#$ +2 0#$ 0 +2+3, par définition +1 +2+3, par hypothèse de récurrence +2+1+2+3 +4+4 +2à Le k+1-ième domino tombe.
• Conclusion : à Tous les dominos tombent.La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : +1 Méthode : Démontrer la monotonie par récurrenceVidéo https://youtu.be/nMnLaE2RAGk
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par 3 +2 et =2.Démontrer par récurrence que la suite (u
n ) est croissante. On va démontrer que pour tout entier naturel n, on a : • Initialisation : =2 et 3 +2= 3×2+2=
6 3 >2 donc 3 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : 0#$ 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : 0#. 0#$On a
0#$ 0 donc : 3 +1 3 et donc 3 +1 +2≥ 3 +2 soit 0#. 0#$ • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : et donc la suite (u n ) est croissante.3) Inégalité de Bernoulli
Soit un nombre réel a strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on a :
1+
≥1+.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
• Initialisation : - La propriété est vraie pour n = 0.En effet,
1+
=1 et 1+0×=1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :1+
0 ≥1+ - Démontrons que : la propriété est vraie au rang k+1, soit :1+
0#$ ≥1+ +11+
0 ≥1+, d'après l'hypothèse de récurrence.Donc :
1+
1+
01+
1+
Soit :
1+
0#$ ≥1+++Soit encore :
1+
0#$ ≥1+ +1 ≥1+ +1 , car ≥0.Et donc :
1+
0#$ ≥1+ +1 • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. Remarque : L'initialisation est indispensable sinon on peut démontrer des propriétés fausses ! En effet, démontrons par exemple que la propriété "2 n est divisible par 3" est héréditaire sans vérifier l'initialisation. 4