1 Démonstration par récurrence
Chapitre 3 : Les suites 1 Démonstration par récurrence Propriété : Soit P n une proposition qui dépend d’un entier naturel n telle que : _ P 0 est vraie (initialisation) _ si on suppose P n vraie à un rang n quelconque (hypothèse de récurrence), alors P n + 1 est vraie (hérédité) Alors pour tout n 0, P n est vraie Remarques :
LEÇON NO Suites définies par récurrence Applications
n) dans une démonstration par ré-currence Dans cette partie, on va montrer comment les raisonnements par récurrence nous permettent de démontrer quelques propriétés sur certaines suites définies par u n+1 = f(u n) En particulier, grâce à ces démonstrations, on peut montrer qu’une suite définie par récurrence est majorée (ou
LES SUITES (Partie 1) - Maths & tiques
LES SUITES (Partie 1) I Raisonnement par récurrence 1) Le principe C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912) On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte
U4 – Les suites (exercices convergence, récurrence, limite)
U4 – Les suites (exercices convergence, récurrence, limite) www famillefutee com 1 LES SUITES Savoir-faire abordé : - Démonstration par récurrence - Etude de la monotonie - Convergence d’une suite - Calcul de limite Exercice La suite ( ) est définie par =1 et, pour tout entier naturel , = Soit +6 1
Les suites
On dit dans ce cas que la suite est définie par une relation de récurrence Fondamental : Initialisation de la récurrence Dans le cas de suites définies par récurrence, on a absolument besoin de connaître le (ou les) premier(s) terme(s) de la suite afin de pouvoir appliquer la formule de récurrence
LES SUITES (Partie 1) - Maths & tiques
Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile 2) Exemples avec les suites
Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence
Les suites de terme général , , admettent pour limite La démonstration est analogue aux deux exemples précédents Théorème Soit une suite convergente vers un réel Supposons qu’il existe un entier et un réel tel que pour Alors Démonstration Raisonnons par l’absurde et que l’on ait
Sommes, produits, récurrence
• conclusion : par principe de récurrence double, on peut conclure que ∀n ∈ N, u n = 2n+1 −1 Remarque 4 Le problème de ce genre de démonstration est évidemment qu'il faut déjà avoir une idée du résultat pour pouvoir le prouver par récurrence Ainsi, dans le dernier exemple, il faut conjecturer = = = = + +···+
Preuve par récurrence - WordPresscom
7) Montrer que la suite définie par : {U0=−1 Un+1= 1 2 Un+1 est majorée par 2 8) Soit la suite définie par U0= 1 2 et pour tout entier naturel n parUn+1=1−Un ² Montrer par récurrence que tous les termes de la suite sont élément de l’intervalle [0;1] BLANCHARD Déborah_Cours de Term_Mathématiques_« Preuve par récurrence »
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