[PDF] Seance 3: Liaisons entre variables´ - univ-toulouse

2 CORRÉLATION ET RÉGRESSION

Une corrélation est toujours comprise entre -1 et 1 inclusivement L'absence de corrélation n'implique pas l'indépendance entre les variables Elle implique uniquement l'absence de relation linéaire entre celles-ci Par contre, l'indépendance entre les variables implique l'absence de corrélation

Corrélation et régression linéaire 2

L’étude statistique d'une population peut porter simultanément sur plusieurs variables nécessaire de mesurer la liaison éventuelle entre ces variables e g : l'une augmente, l'autre augmente également ou l'une augmente, l'autre diminue, etc on va alors étudier les corrélations

Analyse de corrélation - Laboratoire ERIC

4 1 Liaison entre 2 ariablesv quantitatives Fig 1 1 Quelques types de liaisons entre 2 ariablesv Liaison linéaire négative Xet Y évoluent en sens inverse La pente est inchangée quelle que soit la aleurv de X Liaison monotone ositivep non-linéaire X et Y évoluent dans le même sens, mais la pente est di érente selon le niveau de X

Régression multiple : principes et exemples d’application

l’a vu Les équations se compliquent avec plusieurs régresseurs, deux méthodes distinctes permettent de résoudre les équations La première repose sur la connaissance des coefficients de corrélation linéaire simple de toutes les paires de variables entre elles, de la moyenne arithmétique et des écarts-types de toutes les variables

TD6 Corrélation et régression simple - Cogscinl

Comparer deux ou plusieurs moyennes entre elles La VI a plusieurs modalités – Relations : Étudier les rapports / les relations / les liens entre plusieurs variables Les variables sont continues Le taux de l'alcool, est-il corrélé avec les compétences de conduit? Si ou, dans quel sens ? 0 bières 1 bières D é v i a t i o n

Seance 3: Liaisons entre variables´ - univ-toulouse

Liaisons entre variables ordinales : corr´elation des rangs Liaison entre variable num´erique et variable qualitative Liaison entre deux variables qualitatives Objectifs Correlation des rangs de Spearman´ Correlation des rangs´ τ de Kendall Extension au cas de p variables Objectifs Contexte : liaison entre variables numeriques ou non´

PROC REG REGRESSION LINEAIRE SIMPLE OU MULTIPLE

entre les paramètres estimés CORRB édite la matrice de corrélation entre les paramètres estimés DW calcule le coefficient de Durbin-Watson VAR fixe la liste des variables retenues (y et x dans la régression simple ; y,x1,x2,x3 dans la régression multiple) En l’absence de cette instruction, toutes les variables sont retenues

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S ´eance 3: Liaisons entre variablesAnalyse des individus S ´ebastien GadatLaboratoire de Statistique et Probabilit

´es

UMR 5583 CNRS-UPSwww.lsp.ups-tlse.fr/gadat

S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitatives

Troisi

`eme partie IIILiaisons entre variables S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesObjectifs

Contexte : liaison entre variablesnum

´eriques ou nonSoit on ne dispose que derelations d"ordre entre les modalit

´esde ces variables. Exemple : r

´eponses`a un sondage

{A,B,C,D,E}Soit lavaleur num ´erique d"une variable a peu d"importance, seul l"ordreimporte. Exemple : avoir 12 en franc¸ais ne signifie pas valoir deux fois plus que celui qui a 6Donn

´ees :nindividus d´ecrits par2variables

X=( (1 2...n r

1r2...rn

s

1s2...sn)

)Lesrietsisont despermutations diff

´erentes desnentierscorrespondant

`a chacun des individusObjectif :´ Etudier la d´ependance entre les deux caract`eres d ´ecrivantXS´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesCorr

´elation des rangs de SpearmanOn

´etudie la quantit´e

r s=Cov(r,s)s rss o `usretssd´esignent les´ecarts types des quantit´esrets.On d

´efinit

?i? {1...n}di=ri-siProposition :La quantit

´ersest donn´ee par

r s=1-6n? i=1d

2in(n2-1)S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesCorr

´elation des rangs de SpearmanInterpr

´etation :r

s=1si et seulement si les classements sontidentiques. r s=-1si et seulement si les classements sont l"inversesl"un de l"autre.r s=0si et seulement si les deux classements sont ind

´ependants.

R ´egion critique de test de d´ependance :La r ´egion critique est de la formers>kkest obtenu via une table num´eriqueLa table num ´erique contient en g´en´eral les valeurs dersatisfaisant

P(rs>r|ind

´ependance des variables) =α

pour diff ´erentes valeurs deαExemple : pourn=50, on mesurers=0.3, or on lit que

P(rs>0.279|ind

´ependance des variables) =0.05.

Conclusion?Approximation pourngrand : on admettra que pourn>100, on a r s≂ N(0,1n-1)S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesCorr

´elation des rangsτde KendallXetYdeux variables al´eatoires d´ecrites surnindividus.Signe du produit :

(Xi-Xj)(Yi-Yj) o `u les individusietjsont d´ecrits par(Xi,Yi)et(Xj,Yj).Lorsque l"on effectue des r

´ealisationsind

´ependantesde(X,Y)

not

´ees(X1,Y1)et(X1,Y1), on d´efinit :

τ=2P((X1-X2)(Y1-Y2)>0)-1τ?[-1;1]et s"annulelorsqueXetYsont des variables ind

´ependantes(pourquoi?)

Id ´ee : siτest positif,XetYont plus de chances d"observer une variation dans le m ˆeme sens.S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesCorr ´elation des rangsτde KendallCalcul du coefficientempiriquesurnindividusOn consid `ere tous les couples d"individus. Si les ordres concordent, on affecte+1au couple, et sinon-1.Exemples : I

1: (-1,3)I2: (-10,4)?-→+1I1: (-1,3)I2: (-10,2)?-→ -1On additionne toutes ces valeurs pour tous lesn(n-1)/2

couples distincts.Cette somme est not

´eeS.

S?[-n(n-1)/2;n(n-1)/2]ˆτ=2Sn(n-1)ˆτ=1: classements identiques.ˆτ=-1: classements invers´esD

`es quen≥8, on consid`ere que

τ≂ N?

(0;2(2n+5)9n(n-1)? S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesCorr ´elation des rangsτde Kendall : M´ethode de

calcul rapide1On ordonne lesXipar ordre croissants.2On compte le nombre deYjtels queYj>Yiavecj>i.3On additionne sur tous lesi, et on poseRcette somme.4On a :

S=2R-n(n-1)2

ˆτ=4Rn(n-1)-1Exemple : Calculer les corr

´elations de rangrsetˆτdans le cas suivantX1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y3 1 4 2 6 5 9 8 10 7

Au seuil5%, les valeurs critiques sont+/-0.648pourrset+/-0.49 pourτ, conclusion?S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variables

Liaisons entre variables ordinales : corr

´elation des rangsLiaison entre variable num

´erique et variable qualitativeLiaison entre deux variables qualitativesObjectifs Corr

´elation des rangs de SpearmanCorr

´elation des rangsτde KendallExtension au cas depvariablesCorr ´elation des rangsτde Kendall : M´ethode de

calcul rapide1On ordonne lesXipar ordre croissants.2On compte le nombre deYjtels queYj>Yiavecj>i.3On additionne sur tous lesi, et on poseRcette somme.4On a :

S=2R-n(n-1)2

ˆτ=4Rn(n-1)-1Exemple : Calculer les corr

´elations de rangrsetˆτdans le cas suivantX1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y3 1 4 2 6 5 9 8 10 7

Au seuil5%, les valeurs critiques sont+/-0.648pourrset+/-0.49 pourτ, conclusion?S´ebastien GadatS´eance 3: Liaisons entre variablesquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2