[PDF] Théorème de Thalès et transformations

TRIANGLES ISOMETRIQUES - TRIANGLES SEMBLABLES

Les angles correspondants N et B sont égaux, donc les droites (NP) et (BC) sont parallèles On retrouve une configuration de Thalès donc les côtés des triangles ABC et MNP sont proportionnels et MN AB = NP BC = MP AC Réciproquement : Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels alors ces triangles sont semblables

Triangles isométriques et semblables - Free

Par contre, deux triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques N Théorème : Sur notre exemple, les triangles ABC et MNP sont semblables car AB AC BC MN MP NP = = Pour les triangles isométriques, le coefficient de proportionnalité est égal à 1 Cette configuration de Thalès a une autre conséquence

Théorème de Thalès et transformations

Théorème de Thalès et transformations Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres, 1761, Diogenes Laertius Un peu d’histoire La tradition attribue à Thalès de Milet (environ ´625;´546 av J -C ) l’introduction en Grèce de la géométrie égyptienne Thalès n’a laissé aucun écrit, ce qui rend donc difficile la réali-

Espace 11e Page 1 - Weebly

Les triangles OAB, ES11 Isométrie d’angles Cse trouve sur le cercle de Thalès du segment AB Donc le triangle ABCest rectangle en C 2

I Triangles isométriques Alors OAB et OCD sont isométriques

mesure, alors les deux triangles sont isométriques deuxième cas d’isométrie : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors les deux triangles sont isométriques Exercice 1 : ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC = 2BC

De la construction de triangles avec des gabarits à l

• Thalès et sa réciproque Démonstration par les aires • Notion d’homothétie en lien avec Thalès • Triangles semblables Application : relations métriques dans le triangle rectangle • Trigonométrie : justification du fait que les rapports ne dépendent que de l’angle et pas du triangle à l’aide des triangles semblables

GÉOMÉTRIE PLANE

Deux triangles isométriques sont superposables côtés de même longueur et angles de même mesure On passe de l’un à l’autre par isométrie : transformation qui conserve les longueurs Propriété: Deux triangles sont isométriques si : Les trois côtés sont égaux deux à deux

3UAA1 : FIGURES ISOMÉTRIQUES ET FIGURES SEMBLABLES

Séquence 2 : LES FIGURES ISOMÉTRIQUES Je dois connaître : DÉFINITION D’UNE ISOMÉTRIE : Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les mesures DÉFINITION DE DEUX FIGURES ISOMÉTRIQUES : Deux figures isométriques sont deux figures images l’une de l’autre par une isométrie

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étonnantes démonstrations Depuis les théorèmes de Thalès ou de Ceva jusqu'au théorème des échelles croisées, les égalités d'aires permettent d'obtenir des résultats avancés à partir d'énoncés pourtant très simples Ainsi, par exemple, pour les aires découpées par les tricianes d'un triangle

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UE 22B2Théorème de Thalèset transformations Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres, 1761, Diogenes LaertiusUn peu d"histoire La tradition attribue àThalès de Milet(environ´625;´546 av. J.-C.) l"introduction en Grèce de la géométrie égyptienne. Thalès n"a laissé aucun écrit, ce qui rend donc difficile la réali- sation d"une biographie incontestée de ce sage. C"est un com- merçant qui consacre sa vie aux voyages et aux études, phi- losophe et savant, il est l"auteur de nombreuses recherches mathématiques, notamment en géométrie. De retour à Milet, il devient homme politique, et homme d"affaires. Ses travaux portent sur les mathématiques, l"astrologie, l"astronomie et la philosophie. Il serait mort de déshydratation en regardantun concours gymnique, oubliant de d"alimenter et de s"hydrater. On dit qu"il aurait mesuré les grandes pyramides grâce à leur ombre : au cours d"un voyage en Égypte, il aperçoit la pyra-

mide de Kheops. Les dimensions du monument âgé alors de2 000 ans, dépassent de loin tout ce qu"il avait imaginé.- "Comment mesurer cette pyramide? »Thalès regardant son ombre eut alors cette idée :- " Le rapport que j"entretiens avec mon ombre est le mêmeque celui que la pyramide entretient avec la sienne. Donc, à

l"instant où mon ombre sera égale à ma taille, l"ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur.» Toutefois, des documents historiques montrent que cette pro- priété était déjà connue bien avant par les Babyloniens et les Égyptiens. Le résultat porte le nom de Thalès en France. En anglais, il est connu sous le nom deIntercept theorem; en allemand il est appeléStrahlensatz(théorème des rayons). La première démonstration écrite connue de ce théorème est donnée dans lesÉlémentsd"Euclide. 43

Ce qu"il faut savoir

1.Théorème de Thalès

A.Configuration de Thalès

PROPRIÉTÉ :Théorème de Thalès

Soientpdqetpd1qsont deux droites sécantes enA,BetMdeux points de la droitepdq, distincts deA, etCetNdeux points de la droitepd1q, distincts deA. Si les droitespBCqetpMNqsont parallèles, alors : AM

AB"ANAC.

REMARQUE:ce rapport est également égal àMNBCpuisque dans ce cas, les trianglesABCet AMNsont semblables. Autrement dit, les longueurs des côtés destrianglesABCetAMN sont proportionnelles.

Les trois figures clé :

AMB

CNpd1qpdq

configurations " classique», vues en quatrième AM B C N pd1qpdq A MB

CNpd1qpdq

configuration " papillon » PREUVEUne démonstration parmi d"autres : le démonstration d"Euclide basée sur les aires (´300 avant J.-C.). A B

CD ELes droites (DE) et (BC) sont parallèles.

"Les trianglesDEBetDECon une base commune : [DEset la même hauteur donc :ApDEBq "ApDECq;

D"oùApABEq "ApACDqpar ajout deApADEq.

ApABEq

ApABCq"ApACDqApABCq;

"les trianglesABEetABCont la même hauteur issue deB:h1; les trianglesACDetABCont la même hauteur issue deC:h2;

AEˆ??h1

?2ACˆ??h1 ?2"ADˆ??h2 ?2ABˆ??h2 ?2 AE

AC"ADAB

44Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformationsN.DAVAL

Ce qu"il faut savoir

MÉTHODE 1Calculer une longueur dans une configuration de Thalès On utilise le théorème de Thalès en respectant la rédaction : "citer les points alignés dans un ordre précis et les droites parallèles; "citer la propriété utilisée (" d"après le théorème de Thalès»); "écrire l"égalité des quotients; "isoler, puis calculer la longueur du segment demandé.

Exercice d"application

ABCest un triangle,

MP rABs,NP rACs,

AM"5 cm,AN"6 cm,AB"8 cm et

BC"4 cm.

Les droitespMNqetpBCqsont parallèles.

CalculerMNetAC.

Correction

AMBN C 8 cm 5 cm 6 cm 4 cm Les pointsA,N,CetA,M,Bsont alignés dans le même ordre et les droitespMNqetpBCqsont parallèles. D"après le théorème de Thalès, avec des mesures en cm, on a : AM

AB"ANAC"MNBCsoit58"6AC"MN4

donc,MN"5ˆ4

8"2,5 etAC"6ˆ85"9,6.

Conséquence du théorème de thalès :sipBMqetpCNqsont deux droites sécantes enA, et siAM

AB‰ANAC, alors les

droitespBCqetpMNqne sont pas parallèles. B.Un cas particulier : la réciproque du théorème de la droite des milieux. PROPRIÉTÉ :Réciproque de la droite des milieux

Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d"un côté parallèlement à un deuxième

côté coupe le troisième côté en son milieu. Sidans le triangleABC,Imilieu derABs,alorsJmilieu derACs pIJq {{ pBCqetJP pACq B CA I J BCA IJ" PREUVEA,I,BetA,J,Csont alignés dans le même ordre etpIJqest parallèle àpBCq, donc d"après le théorème de Thalès, AI

AB"AJAC.

Or,Iest le milieu derABs, d"oùAI

AB"12, doncAJAC"12ce qui implique queAJ"12AC.

N.DAVAL

Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformations45

Ce qu"il faut savoir

2.Réciproque du théorème de Thalès

A.Configuration de Thalès, sens réciproque

PROPRIÉTÉ :Réciproque du théorème de Thalès Si les pointsA,MetBd"une part, et les pointsA,NetCd"autre part, sont alignés dans le même ordre, et si les rapports AM ABetANACsont égaux, alors les droitespMNqetpBCqsont parallèles. MÉTHODE 2Démontrer que deux droites sont parallèles On utilise la réciproque du théorème de Thalès en respectantla rédaction : "citer les points alignés dans un ordre précis; "calculer deux rapports de longueur;s"il y a égalité "écrire l"égalité;

"citer la propriété utilisée : " d"après la ré-ciproque du théorème de Thalès ...»;

"conclure : "les droites ... et ... sont paral-lèles» s"il n"y a pas égalité "écrire l"inégalité; "citer la propriété utilisée : " d"après lethéorème de Thalès...»; "conclure:"lesdroites...et...nesont pasparallèles »

Exercice d"applicationAP rNCsetAP rMBs.

AM"5,AN"6,AB"7,5 etAC"9.

Les droitespMNqetpBCqsont-elles parallèles?

Correction

AMB NC5 6 7,5 9

Les pointsM,A,Bd"une part, et les pointsN,A,

Cd"autre part, sont alignés dans le même ordre.

On calcule

AM

AB"57,5"23d"une part,

et AN

AC"69"23d"autre part.

On constate que

AM

AB"ANAC;

d"après la réciproque du théorème de Thalès, les droitespMNqetpBCqsont parallèles.

Exercice d"applicationMP rABs,NP rACs,

AM"5 cm,AN"6 cm,AB"8 cm,AC"9 cm.

Les droitespMNqetpBCqsont-elles parallèles?

Correction

A MBN C 8 cm 5 cm 6 cm 9 cm

Les pointsA,N,CetA,M,Bsont alignés dans le

même ordre.

On calculeAM

AB"58d"une part,

et AN

AC"69"23d"autre part.

On constate que

AM

AB‰ANAC;

or, si les droitespMNqetpBCqétaient parallèles, le théorème de Thalès nous dirait que cette égalité est vraie. Comme ce n"est pas le cas, on peut en conclure que les droitespMNqetpBCqne sont pas parallèles. 46
Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformationsN.DAVAL

Ce qu"il faut savoir

B.Un cas particulier : le théorème de la droite des milieux. PROPRIÉTÉ :Théorème de la droite des milieux

Dans un triangle, la droite qui joint les milieus de deux côtés est parallèle au troisième côté

et la longueur du segment qui joint les milieux de ces deux côtés est égale à la moitié de la

longueur du troisième côté.

Sidans le triangleABC,Imilieu de

rABsetJmilieu derACs.alorspIJq {{ pBCqetIJ"1 2BC B CA I J B CA

I JB CA

I J 12BC PREUVEA,I,BetA,J,Csont alignés dans le même ordre. Iest le milieu derABsetJest le milieu derACs, d"oùAI

AB"12etAJAC"12.

AI

AB"AJAC, d"après laréciproqueduthéorèmedeThalès, lesdroitespIJqetpBCqsont parallèles.

De plus,

AI AB"AJAC"IJBCce qui implique queIJBC"12, soitIJ"12BC.

3.Les transformations

A.Homothéties et isométries

DÉFINITION :Isométrie, homothétie

Uneisométrieest une transformation qui conserve les longueurs. Unehomothétieest une transformation qui réduit ou qui agrandit une figure .

PROPRIÉTÉ

Deux triangles sont isométriques s"il sont superposables.Une isométrie conserve les lon- gueurs, le parallélisme, l"orthogonalité, les angles, lesformes et les figures. Dans la configuration de Thalès, l"undes trianglesest imagede l"autrepar une homothétie dont le centre est le sommet commun et le rapport est donné parle rapport de Thalès. Une homothétie de rapportkmultiplie les aires park2et les volumes park3.

ExempleExemples de triangles isométriques.

ABC A 1B 1C 1 trois côtés de même longueurABC

A"B"C"

un angle égal compris entre deux côtés de même longueur ABC

A"B"C"

un côté de même longueur ad- jacent à deux angles égaux

N.DAVAL

Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformations47

Ce qu"il faut savoir

B.Les symétries

DÉFINITION :Symétrie axiale

M1est l"image du pointMpar lasymétrie d"axeΔsignifie que la droiteΔest la médiatrice du segmentrMM1s. C"est une isométrie. ?AA ?BB ?CC {{?A1A1 B1B1 {{{{{{?C1C1Δ On dit que les figures sont symétriques par rapport à la droiteΔ.

DÉFINITION :Symétrie centrale

M1est l"image du pointMpar lasymétrie de centreOsignifie queOest le milieu derMM1s.

C"est une isométrie.

OO ?AA ?BB ?CC ?A1A1?B1B1 C1C1

DÉFINITION :Axe, centre de symétrie

Si une figureFest " transformée » en elle-même par la symétrie axiale d"axe(d), alors la droite (d) est unaxe de symétriede la figureF.

Si une figureFest " transformée » en elle-même par la symétrie centrale de centre O, alors

O est lecentre de symétriede la figureF.

ExempleUne figure peut avoir plusieurs axes de symétrie mais si elle possède un centre de symétrie il est unique. triangle isocèle

1 axe de symétrie

0 centre de symétrie

triangle équilatéral

3 axes de symétrie

0 centre de symétriecercle

8axes de symétrie

1 centre de symétrie

carré

4 axes de symétrie

1 centre de symétrie

rectangle

2 axes de symétrie

1 centre de symétrie

parallélogramme

0 axe de symétrie

1 centre de symétrie

48
Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformationsN.DAVAL

Ce qu"il faut savoir

C.Les rotations

DÉFINITION :Rotation

M1est l"image du pointMpar larotation de centreOet d"angleαsignifie queOM"OM1 et que {MOM1"α. C"est une isométrie. OO ?MM?NN ?PP ?QQ ?M1M1 ?P1P1 ?N1N1 ?Q1Q1 REMARQUE:on appelle sens direct lesens inverse desaiguillesd"une montreetsens indirect le sens horaire.

D.Les translations

DÉFINITION :Translation

Un pointCest l"mage d"un pointDpar latranslationqui transformeAenBlorsque le quadrilatèreABCDest un parallélogramme. On dit alors queCest l"image du pointDpar la translation devecteurÝÑAB. C"est une isométrie. REMARQUE:pour la translation de vecteurÝÑABtransformantDenC, on a : pABqetpDCqsont parallèles (même direction); ABetDCsont de même longueur;ÝÑABetÝÝÑDCvont dans le même sens.

Les vecteurs sont souvent notés

ÝÑu,ÝÑv...

AB DC

ÝÑuÝÑ

u ?AA ?BB ?CC ?DD ?EE OO ?A1A1 ?B1B1 ?C1C1 ?D1D1 ?E1E1

ÝÑu"ÝÝÑAO

N.DAVALChapitre B2.Théorème de Thalès et transformations49

Pour s"entraîner

M`a°î°tr°i¯sfi`erffl ˜l´es ˜bˆa¯sfi`es `a'vfle´c C˜l´a¯sfi¯sfi`eN°T"h`è'm`eD`a'n¯s ˜l´e `c´ou°r¯s

6eG3S"y'm`étr°i`e `a'xi`a˜l´e 3.

G5A"x´es `d`e ¯sfi'y'm`étr°i`e 3.

5eG1S"y'm`étr°i`e `c´e'n°tr`a˜l´e 1.

4eG2T°r°i`a'n`g¨l´es `et ¯p`a°r`a˜l¨l´è¨l´es 1. `et 2.

3eG1T"h`é´or`è'm`e `d`e T"h`a˜l´ès 1. `et 2.

1Transformers!

D"après brevet des collèges, groupement nord, juin 2002.

1)Tracer le symétriqueP1de la figurePpar rapport au point O.

2)Tracer le symétriqueP2de la figurePpar rapport à la droite (EF).

3)Tracer l"imageP3de la figurePpar la translation de vecteurÝÑAB.

4)Tracer l"imageP4de la figurePdans la rotation de centre E, d"angle 90°dans le sens direct.

0123456789101112131415161718

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 PO EA B F 50
Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformationsN.DAVAL

Pour s"entraîner

2Cot cot

D"après brevet des collèges, Amérique du nord, juin 2005.

La figure grise est obtenue après avoir appliqué une transformation du plan à la figure blanche. Dans chaque cas :

"préciser le type de transformation;

"faire apparaître et préciser le(s) élément(s) caractéristique(s) de cette transformation.

a.b. c.d. e.f.

3Une conjecture à démontrer

ABC est un triangle etMest le milieu du côtérBCs.Rest un point qui décrit la médianerAMs. ParR, on trace les

parallèles àpABqet àpACq; elles coupent le segmentrBCsenDetE.

1)Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique et afficher les longueursMDetME.

2)Déplacer le pointR. Que peut-on conjecturer pourMDetME?

3)Démontrer cette conjecture.

N.DAVALChapitre B2.Théorème de Thalès et transformations51

Vu au CRPE

4Puzzle de Lewis Carroll

On considère le carré de 8 carreaux de côté ci-dessous. En utilisant les triangles rectangles et les trapèzes rectangles

constituant le carré comme des pièces de puzzle, on transforme ce carré en un rectangle de 5 carreaux sur 13

carreaux. Quel est le paradoxe considéré ici? Démontez ce paradoxe.

5Aire et volume

On considère la pyramide de sommetSet de baseABCDreprésentée ci-dessous. Les pointsI,J,KetLsont respec-

tivement les milieux des arêtesrSAs,rSBs,rSCsetrSDs. Parmi les affirmations suivantes, indiquer celle(s) qui est(sont) exacte(s) en justifiant. ABC DS L K JI

1)L"aire du quadrilatèreABCDest égale à quatre fois l"aire du qua-

drilatèreIJKL.

2)L"aire du quadrilatèreIJBAest égale à deux tiers de l"aire du tri-

angleSAB.

3)Le volume de la pyramideSABCDest égal à trois fois celui de la

pyramideSIJKL.

4)Le volume de la pyramideSABCDest égal aux huit septièmes du

volume du solideABCDIJKL.

6CRPE 2005 Créteil

Une station de sports d"hiver est équipée d"un téléphériquepour permettre aux skieurs d"atteindre un plateau en

altitude. Des pylônes sont placés en A, E, C et B pour soutenirle câble que l"on considérera rectiligne. Le câble

mesure 2,48km. L"altitude au point A est 2 100m, l"altitude au point B est 2 620m. départarrivée ligne horizontale pylône 1pylône 2pylône 3 pylône 4 cabine A E" C"B"E C B Remarque : sur ce schéma, les mesures des longueurs et de l"angle ne sont pas respectées. 52
Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformationsN.DAVAL

Vu au CRPE

1)On définit la pente comme étant le rapport entre la hauteur du dénivelé (BB" sur le dessin) et la distance parcou-

rue à l"horizontale (AB" sur le dessin). Calculer la pente dece câble et l"exprimer en pourcentage.

2)Entre B et C, le câble mesure 480 m.

a)Démontrer que CC" = 419 m à 1 m près. b)Calculer l"altitude au point C, arrondie à 1 m près.

3) a)E est le milieu du segment [AC]. Calculer EC.

b)Entre E et C, la cabine progresse à la vitesse constante de 5 m/s. En combien de temps la cabine parcourt-elle

la distance EC? Vous donnerez le résultat en minutes et secondes.

7CRPE 2006 G4

1)Pour cette question, tracer sur la copie une figure ressemblant à la figure ci-dessous. Il ne s"agit pas de reproduire

exactement cette figure mais d"en respecter la forme et la disposition.

2)Construire à la règle et au compas les symétriques A" , B" et C"des points A , B et C par rapport à la droite (OI)

en laissant apparents les traits de construction.

Construire à la règle et au compas les symétriques A" , B" et C"des points A" , B" et C" par rapport à la droite

(OJ) en laissant apparents les traits de construction.

3)À partir de l"observation de la figureobtenue,donner unargumentmontrant qu"il n"existe pas de symétrie axiale

qui transforme les trois points A , B et C en A" , B" et C".

4)Montrer que l"angle{BOB" vaut le double de l"angleyIOJ.

5)Quelle est la transformation du plan qui transforme le triangle ABC en A"B"C"? Justifier la réponse.

?J IO A C B

N.DAVAL

Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformations53

Vu au CRPE

8CRPE 2008 Paris

On considère trois cerclespC1q,pC2qetpC3qde même rayon, notér, et de centres respectifsI,OetJ. Dans tout

l"exercice, le rayonrest un nombre entier non nul. Nous savons que : "les trois pointsI,OetJsont alignés et dans cet ordre; "le cerclepC1qest tangent au cerclepC2q, le cerclepC2qest tangent au cerclepC3q;

"le pointEest à l"intersection de la droitepOIqet du cerclepC1q, et n"appartient pas au cerclepC2q;

"la droitepΔqest tangente au cerclepC3qenTet passe parE; elle coupe le cerclepC2qenAet enB; "Hest le point depΔqtel quepOHqetpΔqsont perpendiculaires. IOJET A

BHpΔq

On poseOH"a

1)En utilisant le théorème de Thalès, démontrer que :a"35r.2)Expliquer pourquoi le nombreaest toujours un nombre rationnel.

3)aest-il toujours un nombre décimal? Justifier la réponse.

4)Quels sont les nombresrpour lesquelsaest un nombre entier?

5)Le nombreapeut-il être un nombre premier?

6)CalculerHBen fonction der.

On poseAB"b

7)Démontrer queHest le milieu derABset en déduire queb"85r.

8)Existe-t-il des nombresrpour lesquels le nombrebest un nombre premier? Justifier.

9CRPE 2015 G1

Dans cet exercice, on prendra 1 cm comme unité de longueur.

On considère un trapèzeABFErectangle enAetB, c"est-à-dire tel que les droites(AE) et (BF)sont perpendiculaires

à la droite (AB), et tel queAB"14;AE"3;BF"9. Le pointMest un point variable sur le segment [AB].

Le but de cet exercice est de déterminer la position deMpour laquelle la valeur deEM`MFest minimale.

1)Construire le trapèzeABFEet le pointG, symétrique du pointFpar rapport à la droite (AB).

2)On appellePl"intersection des droites (AB) et (EG).

Montrer que pour tout pointMde [AB], on a :EM`MGěEP`PG. En déduire que la valeurEM`MFest minimale lorsqueMest placé enP.

3)Montrer queAP14´AP"39puis calculerAP.

4)Calculer la valeur minimale deEM`MF. En donner la valeur exacte en cm, et arrondie au dixième.

54
Chapitre B2.Théorème de Thalès et transformationsN.DAVAL

Vu au CRPE

10CRPE 2016 G2

Cet exercice porte sur l" utilisation d"un appareil photo numérique et étudie son fonctionnement.

L"appareil photo : notations et vocabulaire.

"Lest la largeur de la scène photographiée; "αest l"angle de champ (angle sous lequel la scène est vue); "?est la largeur du capteur numérique situé à l"arrière de l"appareil photo; "Dest la distance entre la scène photographiée et le capteur numérique;quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46