VARIATIONS D’UNE FONCTION
4 Tableau de variations Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone Exemple : On reprend la fonction f définie dans l’exemple du paragraphe 1 La fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l’intervalle [2,5 ; 5] f (0) = 0
LES FONCTIONS : GENERALITES ET VARIATIONS
b) En déduire un ordre de grandeur des dimensions d’un rectangle dont l’aire est égale à 2 cm2 c) Résoudre graphiquement l’inéquation 5x – x2 > 2 Donner une interprétation du résultat a) Il s’agit de trouver les antécédents de 2 par la fonction A Ce qui revient à résoudre l’équation A(x) = 2
Liban mai 2019 - Meilleur en Maths
Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle ON0,2P0,2 en unités d’aire 2 b Déterminer une équation de la tangente d0,2 2 c Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle ON0,2P0,2 Dans ce qui suit, on admet que , pour tout réel a de l’intervalle ]0;1], l’aire du triangle ON0,2P0,2
La température de l’air
Les variations de la température de l’air 1 – Les variations journalières de la température p 18 fiche n°9 À quel moment fait-il le plus chaud dans la journée ? p 18 2 – La variation de la température avec la latitude p 21 fiche n°10 Le Soleil ne chauffe pas toute la Terre de la même façon p 22 3 – Les variations
Exercices supplémentaires : Application de la dérivation
2) En déduire que l’aire totale des faces du pavé est 4 ˘ = 2 + 3) Montrer que pour > 0 , on a 4 ˘ = ˘6 7 4) En déduire les variations de 4 5) Donner les dimensions de la boîte d’aire minimale Exercice 3 Avec un disque de rayon 8, on souhaite confectionner un cône de révolution ouvert (sans la base) Pour cela, on
EPREUVES
7) a) trouver les réels et tels que, pour tout réel x de l’ensemble Df on fait : b) Soit k un réel supérieur ou égal à 2 Déterminer l’aire en cm² de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ;y) vérifient : et c) Calculer 2003: Etude de fonctions A On considère la fonction :
Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle
Les opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux ) et de calcul de probabilités étant souvent soumises à des calculs d'intégrales, l'intégration est un outil scientifique fondamental I Primitive d’une fonction continue sur un intervalle
Effets sur la pollution locale de l’air
L’évaluation des effets sur la santé et du risque sanitaire d’un projet de transport découle largement des dispositions du code de l’environnement et de ses textes d’application La présente évaluation, en application du code des transports, tient compte des éléments de l’étude d’impact du projet, lorsque celle-ci existe
221 : Reconstituer et comprendre les variations climatiques
2°) Les variations de températures déduites de l’étude géochimique des isotopes : Les mesures des rapports isotopiques de l'oxygène dans les glaces polaires antarctiques et dans les carbonates des fonds océaniques offrent un enregistrement continu sur les derniers 800 000 ans Les rapports
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Liban mai 2019
EXERCICE 1 5 points
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;I;J).1. On considère la fonction f définie sur ]0;1] par : f(x)=x(1-ln(x))2.
1.a. Déterminer une expression de la fonction dérivée f et vérifier que pour tout x∈]0;1]
f'(x)=(ln(x)-1)(ln(x)+1).1.b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0;1]
( on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle).On note
Γ la courbe représentative de la fonction g définie sur l'intervalle ]0;1] par g(x)=ln(x). Soit a un réel de l'intervalle ]0;1]. On note Ma le point de la courbe Γ d'abscisse a et da la tangente à la courbe Γ au point Ma. Cette droite da coupe l'axe des abscisses au point Na et l'axe des ordonnées au point Pa.On s'intéresse à l'aire du triangle
ONaPa quand le réel a varie dans l'intervalle ]0;1].2. Dans cette question , on étudie le cas particulier où a = 0,2 et on donne la figure ci-dessous.
2.a. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle ON0,2P0,2 en unités d'aire.
2.b. Déterminer une équation de la tangente d0,2.
2.c. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle ON0,2P0,2.
Dans ce qui suit, on admet que , pour tout réel a de l'intervalle ]0;1], l'aire du triangle ON0,2P0,2
en unités d'aire est donnée par a(a)= 12a(1-ln(a))2.
3. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de a l'aire a(a) est maximale.
Déterminer cette aire maximale.
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CORRECTION
1.a. f est dérivable sur ]0;1].
(ln(x))'=1 x ((1-ln(x))2)'=2(1-ln(x))×(-1 x) x)= (1-ln(x))2-2(1-ln(x)) f'(x)=(1-ln(x))(1-ln(x)-2)=(1-ln(x))(-1-ln(x))=(ln(x)-1)(ln(x)+1)1.b. Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0;1],
ln(x)⩽0 donc ln(x)-1<0 et ln(x)+1⩾0 ⇔ ln(x)⩾-1 ⇔ x⩾e-1 Tableau de variations de fOn admet que limx→0f(x)=0.
f(1)=1×(1-ln(1))2=1 car ln(1)=0.f(e-1)=e-1(1-ln(e-1))2=e-1(1+1)2=4e-12.a. Pour déterminer graphiquement une estimation de l'aire en U.A. du triangle
ON0,2P0,2, on
détermine le nombre de carrés d'aire 0,1x0,5=0,05 U.A. contenu dans le triangle..Liban mai 2019
Si on choisit une estimation donnant une valeur inférieure à l'aire demandée, on peut compter dix
carrés et cinq demi carrés. L'estimation de l'aire en U.A. est alors 0,05×12,5= 0,625 U.A. 2.b. g(x)=ln(x) pour tout nombre réel de l'intervalle ]0;1]. g(0,2)=ln(0,2) g'(x)=1 x donc g'(0,2)=1 0,2=5