[PDF] Les vecteurs et les équations de droites
[PDF] Les vecteurs et les parallélogrammes
[PDF] Les vecteurs et les suites
[PDF] Les vecteurs et paraléllogrammes
[PDF] Les Vecteurs et Repérage
[PDF] Les vecteurs exercice
[PDF] Les Vecteurs exercice
[PDF] Les vecteurs forces
[PDF] Les vecteurs mathematiques
[PDF] Les vecteurs maths
[PDF] Les Vecteurs n°2
[PDF] Les Vecteurs petit problème
[PDF] Les vecteurs pour le 1 juin au plus tard
[PDF] Les Vecteurs Repérages
[PDF] Les vecteurs sans repere
www.plusdebonnesnotes.com Seconde GT M. Sivasuthasarma
Vecteurs et
géométrie analytique
I. DEFINITION ET THEOREME
1. Définition
Définition
définit par :
Une direction (pente dune droite, mais une
orientation) ;
Un sens (orientation : la flèche) ;
Remarque
Il faut faire la différence entre la direction
et le sens du vecteur car dans le langage courant, les deux mots sont synonymes.
Un vecteur na pas de point dapplication.
On donc le placer où lon veut dans le plan
euclidien. En cela, il se différencie de la force physique qui elle a un point dapplication. Cependant, il y a bien un rapport très étroit entre la symbolisation dune force en physique et le vecteur en mathématique.
Ces " segments munis d une flèche »
déquivalence de toutes ces représentations.
Pour fixer un représentant particulier du
Par abus de langage, on confond le
. On peut donc noter un vecteur avec une seule lettre (minuscule) ou avec deux lettres (majuscule car ce sont des points). car, sans flèche, il sagit de la distance entre les
2. Egalité entre deux vecteurs
Théorème
et ݒԦൌܦܥ sont égaux, si, parallélogramme. Autrement dit : ࡰ est un parallélogramme
Démonstration
Un vecteur contient deux informations : une
longueur et une direction. Si deux vecteurs sont égaux, alors le quadrilatère ABDC possède deux côtés de même longueur et parallèle, ce qui est la définition dun parallélogramme.
Remarque
On peut donc associer un parallélogramme à légalité de deux vecteurs, ce qui simplifie la démonstration pour prouver quun quadrilatère est en parallélogramme.
II. ADDITION DE DEUX VECTEURS
Remarque
Le but avec un nouvel outil mathématique est de pouvoir manier facilement celui-ci. Doù lidée de créer des opérations avec les vecteurs. Laddition de deux vecteurs reprend lidée en physique de la résultante de deux forces de direction différentes. Cette opération est connue sous le nom Fonctions de références plusdebonnesnotes.com www.plusdebonnesnotes.com
Page 1
de " relation de Chasles » (mathématicien du XIXe siècle).
1. La relation de Chasles
Propriété
, on définit laddition des deux
Doù :
Cette opération est toujours possible, car lon peut toujours déplacer le deuxième vecteur ݒԦ pour quil
Cette addition de deux vecteurs ne sapplique pas
à la norme, en effet :
Remarque
Cette opération est très efficace en géométrie, car on peut décomposer un vecteur quelconque en deux vecteurs plus intéressant. Par exemple, on peut écrire quelques soient les points E, F et G : La seule contrainte est donc de faire commencer le deuxième vecteur à la fin du premier.
2. So mme de deux vecteur s de
même origine Cette configuration se produit lorsquon cherche à trouver la résultante de deux forces. Lidée pour additionner deux vecteurs de même origine est la configuration du parallélogramme. On a :
3. Pr opriétés de laddition de
deux vecteurs On retrouve les mêmes propriétés que dans laddition de deux nombres :
Laddition de deux vecteurs est
commutative :
Laddition de trois vecteurs est
associative :
Laddition de deux vecteurs possède un
élément neutre : Ͳ
Remarque
La première propriété permet de changer
lordre dans lequel on effectue laddition ;
La deuxième propriété signifie que
lorsque lon cherche à e à additionner deux vecteurs, on peut dabord additionner les deux premiers, puis additionner ce résultat au troisième ou additionner les deux derniers puis additionner ce résultat au premier.
Le vecteur nul vient du fait que si lon
applique la relation de Chasles à :
On décide d appeler un vecteur de
longueur nulle, le vecteur nul, noté Ͳ , on décide de . Donc quand on inverse les lettres d un vecteur, on change de signe.
Fonctions de références
www.plusdebonnesnotes.com
Page 2
III. MULTIPLICATION DUN VECTEUR
PAR UN SCALAIRE
Remarque
Le terme " scalaire » est employé pour désigner un nombre réel par opposition au mot vecteur.
1. Définition
Définition
multipliée par െ݇. On a alors :
Quand ݇Ͳ, il ne joue
que sur la longueur du il joue sur la longueur et sur le sens.
3. Propriété de la multiplication
par un scalaire
Propriété
La multiplication dun vecteur par un scalaire obéit
à la bilinéarité, cest-à-dire :
Remarque
Ces deux propriétés permettent de développer des expressions vectorielles comme des équations numériques. Elles permettent donc de résoudre des équations vectorielles, cest à dire permettent à la géométrie davoir accès à la performance de lalgèbre. Les mathématiciens ont généralisé les propriétés de laddition et de la multiplication par un scalaire. Ils ont créé des objets appelés vecteurs qui ont les mêmes propri étés que nos vecteurs géométriques et ont donné à lensemble qui les contient munie de laddition et de la multiplication par un scalaire le nom despace vectoriel. Cette structure d espace vectoriel joue un rôle très important dans les mathématiques actuelles.
IV. COLINEARITE DE DEUX
VECTEURS
On ne parle pas de parallélisme pour les vecteurs car ils nont pas de point dapplication mais de colinéarité.
1. Définition
Définition
et seulement si :
Remarque
Cela découle directemen t de la définition du produit dun vecteur par un scalaire.
2. Théorèmes
Théorème
et ܦܥ sont colinéaires, c est-à-dire que : et ܥܣ sont colinéaires, cest-à-dire que :
Remarque
Ces deux théorèmes sont très importants car ils permettent de relier le parallélisme et lalignement à laide de vecteurs.
V. GEOMETRIE ANALYTIQUE
2. Repère
On a alors : ܯ
E 1- 7 il 7 FBI 2 CI Fonctions de références plusdebonnesnotes.com www.plusdebonnesnotes.com
Page 3
On écrit alors : ܯܣ
Dune autre façon, un repère est défini par :
Un point origine : ܱ
Deux vecteurs non colinéaires ଓԦ et ଔԦ. Le plan, c est-à-dire que ce couple peut engendrer tous les vecteurs du plan.
2. Coordonnées de vecteurs
Théorème
Soient deux points ܣ
alors les relations suivantes : sont
Les coordonnées du milieu ܫ
3. Ca lculs en géométrie
analytique
Théorème
4. Coliné arité et géométrie
analytique
Théorème
si, et seulement si :
5. Distance entre deux points
Théorème
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points ܣ par la relation :
Démonstration
Traité en exercice dapplication.
0410312021
Seconde
GT :Vecteurs -Cours et TD =pÎ+pD not F- c er DAI =AI AI N O J 1) I
AEtBÎ=
AI .A B BI =AÉ .Donc le quadrilatère ABDC est un parallélogramme .des diagonalesquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10
CHAPITRE 6 – Les vecteurs