Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

les produits scalaires suivants : 1 −→ AB · −→ AC 2 −→ AC · −−→ AD 3 −−→ BC · −→ CA 4 −−→ DA· −−→ DB 1 2 Produit scalaire et orthogonalité Déﬁnition 3 Deux vecteurs non nuls −→ AB et −→ AC sont orthogonaux si et seulement si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires On note souvent

Exercices corrigés - AlloSchool

Calculer les produits scalaires suivants : 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Rappel : Produit scalaire et normes de vecteurs

1 Produit scalaire dans le plan - WordPresscom

1 2 Produit scalaire et orthogonalité Déﬁnition 3 Deux vecteurs non nuls →u = −→ AB et →v = −→ AC sont orthogonaux si et seulement si les droites (AB) et

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES - Cours Galilée

On considère deux vecteurs Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants 1

Ch 11 Produit scalaire et applications - Les MathémaToqués

Quels que soient les vecteurs ⃗u et⃗vdu plan, on appelle produit scalaire des vecteurs⃗uet⃗v, le nombre réel noté ⃗u⋅⃗v et défini par ⃗u⋅⃗v≝ 1 2 (∥⃗u+⃗v∥2−∥⃗u∥2−∥⃗v∥2) Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel et non un vecteur C’est bien pour

LE PRODUIT SCALAIRE ( Dans le Plan) I) ANGLES ORIENTES DE

Définition n°1: avec l ’angle et la norme de vecteurs Soit Åu et Åv 2 vecteurs non nuls du plan Alors : Åu Åv=║ ║uÅ ║ ║Åv cos ( )Åu,Åv A retenir : Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment Définition n°2: avec les coordonnées

PRODUIT SCALAIRE de lespace

2)toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan sont aussi vraies dans l’espace Soit et deux vecteurs de l’espace On appelle produit scalaire de par , noté , le nombre réel définit par : - uv 0, si l'un des deux vecteurs et est nul uv u v u v cos ; u u , dans le cas contraire uv se lit "u scalaire v"

Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

2- Déterminer les expressions des vecteurs de la base b 2 exprimés dans b 1? 3- Déterminer les expressions des vecteurs de la base b 0 exprimés dans ? 4- Déterminer directement les produits scalaires: x 1 x 2, x 1 z 2, z x 2? 5- Déterminer directement les produits vectoriels : z 1 z 2, y 1 z 2, z 1 y? B/ Soit les vecteurs A 3,4,1 , B 2,6

FAMILLE DE VECTEURS - bagbouton

Deux vecteurs uet v du K − espace vectoriel E sont dits colinéaires ou proportionnels si ∃ ∈ = ∃ ∈ =α α β βK u v K v utel que OU tel que Rappel (voir géométrie) : Soient deux vecteurs uet v du K − espace vectoriel E avec u ≠0E Les vecteurs uet vsont colinéaires si et seulement si ∃ ∈ =λ λK v u,

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Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 1

Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES

GLISSEURS & TORSEURS

L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à

la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les torseurs.

I. VECTEURS : ............................................................................................................................ 2

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS : ................................................................................... 2

Addition : .............................................................................................................................. 2

Multiplication par un réel : ....................................................................................................... 2

Produit Scalaire : .............................................................................................................. 3

Produit Vectoriel : ................................................................................................................... 3

III. CHANGEMENT DE BASE ................................................................................................... 6

IV. NOTIONS SUR LES TORSEURS ......................................................................................... 8

V. Exercices : .............................................................................................................................. 11

Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 2

I. VECTEURS :

On associe au couple ordonnée de points (A,B) de 2E un élément EAB définissant un vecteur libre.

Géométrique Analytique

Caracteristiques

B * Direction.

A X * Sens. * Module ou norme. kjiB,, X dans la base B est : 3 2 1

321xxxkxjxixX

321,,xxx

: sont les composantes de X

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS :

L'objectif est de voir de façon élémentaire certaines opérations sur les vecteurs.

1. Addition :

YXYXo,

2. Multiplication par un réel :

XXOo,

Géométrique Analytique

* Même direction que X X * Sens : - même si 0 - opposé si 0% XXO 3 2 1

321xxxkxjxixX

B 3 2 1

321xxxkxjxixX

BOOOOOO

Géométrique Analytique

X Y Y X XY 3 2 1

321xxxkxjxixX

B 3 2 1

321yyykyjyiyY

B 33
22
11

332211)()()(yxyxyxkyxjyxiyxYX

B Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 3

3. Produit Scalaire :

YXYX.,

Par définition, le produit scalaire de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale

CosYX..

Dans une base orthonormée directe

kji,, si kxjxixX321 et kyjyiyY321 alors on aura :

332211....yxyxyxYX

NB : Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.

3.1 . Propriétés:

Commutativité:

uYXXY

Distributivité à droite et à gauche:

ZXYXZYX..)(.

ZYZXZYX...)(

Multiplication par un réel:

).(.).().(.YXYXYXOO

Normes:

232221.xxxXXX

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul. o Les deux vecteurs sont orthogonaux

3.2 . Calcul pratique d'un produit scalaire :

),(YXT , alors

CosYXYX..u

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:

0... ikkjji

1... kkjjii

4. Produit Vectoriel :

YXYXo,

Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale Z tel que : Sa direction est perpendiculaire au plan formé par X et Y

Son sens est celui de la rotation de

X vers Y (sens de tire-bouchon)

Sa norme

X et Y ),(YXT Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 4

Géométrique Analytique

est perpendiculaire à X et Y X Y Z et directe Z Y X Y ZAire Z X Z est X et Y 3 2 1

321xxxkxjxixX

B 3 2 1

321yyykyjyiyY

B 22
11 33
11 33
22
33
22
11 yx yx yx yx yx yx yxyxyxYX

Rappel : Le déterminant

cbaddbca

Dans une base

kji,, , si kxjxixX321 et kyjyiyY321 , alors on aura :

4.1. Méthode de calcul :

Calcul à effectuer :

3 2 1 xxx 3 2 1 yyy Première composante : On barre la première ligne et on calcule le déterminant restant : 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy

233233

22yxyxyx

yx 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy

2332yxyx

Deuxième composante : On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant restant :

3 2 1 xxx 3 2 1 yyy )(133133

11yxyxyx

yx 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy 3113

2332yxyxyxyx

Troisième composante : On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant restant : 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy

122122

11yxyxyx

yx 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy 1221
3113
2332
yxyxyxyxyxyx Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 5

kji kji

Remarque :

Le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux vecteurs.

4.2. Propriétés :

Anti-commutativité :

Distributivité à droite et à gauche :

Multiplication par un réel :

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul. o Les deux vecteurs ont même direction

4.3. Calcul pratique du produit vectoriel :

Si on définit

),(YXT , alors et ),,(ZYX forme un trièdre direct, quelque soit le point O. O Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe :

Méthode pratique : on écrit 2 fois la base,

4.4. Si zyx,, sont les vecteurs unitai

On donne :

1111,,zyxV

2222,,zyxV

3333,,zyxV

1 - Calculer

21VV
puis 12VV

2 - Calculer

11VV

3 - Calculer

21.3.2VV

4 - Calculer

puis . Comparer les résultats. Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 6

5. Produit Mixte :

Le résultat du produit mixte de trois vecteurs

),,(ZYX est un SCALAIRE a ) est égale au volume du parallélépipède formé par ces vecteurs.

Propriétés :

si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.

III. CHANGEMENT DE BASE

Soient deux bases orthonormées directes

),,(0000kjib ),,(1111kjib et telles que 01kk

1. Projection des vecteurs de bases :

Si on exprime les vecteurs de la base

),,(1111kjib dans ),,(0000kjib , on obtient :

001jSiniCosiT

001jCosiSinjT

01kk Inversement, si on exprime les vecteurs de la base ),,(0000kjib dans ),,(1111kjib , on obtient :

110jSiniCosiT

110jCosiSinjT

10kk

2. Changements de bases d'un vecteur quelconque :

Soit

1),,(bcbaU

un vecteur exprimé dans la base ),,(1111kjib

L'expression de

Uquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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ISET De Sousse 1

Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES

GLISSEURS & TORSEURS

ISET De Sousse 2

I. VECTEURS :

Géométrique Analytique

Caracteristiques

B * Direction.

321xxxkxjxixX

321,,xxx

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS :

1. Addition :

YXYXo,

2. Multiplication par un réel :

Géométrique Analytique

321xxxkxjxixX

321xxxkxjxixX

BOOOOOO

Géométrique Analytique

321xxxkxjxixX

321yyykyjyiyY

332211)()()(yxyxyxkyxjyxiyxYX

ISET De Sousse 3

3. Produit Scalaire :

YXYX.,

CosYX..

Dans une base orthonormée directe

332211....yxyxyxYX

3.1 . Propriétés:

Commutativité:

Distributivité à droite et à gauche:

ZXYXZYX..)(.

ZYZXZYX...)(

Multiplication par un réel:

Normes:

232221.xxxXXX

Cas de nullité :

3.2 . Calcul pratique d'un produit scalaire :

CosYXYX..u

0... ikkjji

1... kkjjii

4. Produit Vectoriel :

YXYXo,

 Son sens est celui de la rotation de

 Sa norme

ISET De Sousse 4

Géométrique Analytique

321xxxkxjxixX

321yyykyjyiyY

Rappel : Le déterminant

Dans une base

4.1. Méthode de calcul :

Calcul à effectuer :

233233

22yxyxyx

2332yxyx

11yxyxyx

2332yxyxyxyx

122122

11yxyxyx

ISET De Sousse 5

Remarque :

4.2. Propriétés :

Anti-commutativité :

Distributivité à droite et à gauche :

Multiplication par un réel :

Cas de nullité :

4.3. Calcul pratique du produit vectoriel :

Si on définit

Méthode pratique : on écrit 2 fois la base,

On donne :

1111,,zyxV

2222,,zyxV

3333,,zyxV

1 - Calculer

2 - Calculer

3 - Calculer

21.3.2VV

4 - Calculer

Son sens est celui de la rotation de

Sa norme