Chapitre 13 : Matrices
Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Démonstration Pour les matrices carrées, cela découle directement de la dé nition Pour les matrices diagonales, prenons deux matrices diagonales (de taille n) A et B Le terme d
Chapitre 2 1 24 Produits matriciels
on place le produit de la i-`eme ligne de B par la j-`eme colonne de A Le produit des matrices a des propri´et´es ´etranges par rapport au produit de nombres • il y a des diviseurs de O: si un produit de deux matrices est nul (toutes les composantes sont nulles) il peut arriver qu’aucune des deux matrices ne soit nulle Par exemple Si B
Chapitre 13 : Matrices - résumé de cours
Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels : • Le produit AB n’est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Même si BA est aussi défini, on n’a pas AB = BA
Définition et opérations sur les matrices
Cas des matrices diagonales : Le produit de deux matrices diagonales de même ordre est une matrice diagonale de cet ordre La puissance d’une matrice diagonale est une matrice diagonale dont les termes sont les puissances de termes initiaux Soit une matrice 1 2 0 0 n D O O O §· ¨¸ ¨¸ ¨¸ ¨¸ ¨¸ ¨¸ ©¹ diagonale carrée d’ordre n
Matrices - mathematiqueselodiebouchetfr
Notons au passage qu'on peut donc trouver Aet Bdeux matrices non nulles de M n(K) telles que AB= 0 Dans M n(K), Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure Le produit de deux matrices A= Diag (a
Exo7 - Cours de mathématiques
Le produit de matrices n’est pas commutatif en général En effet, il se peut que AB soit défini mais pas BA , ou que AB et BA soient tous deux définis mais pas de la même taille Mais même dans le cas où AB et BA sont définis et de la même taille, on a en général AB 6= BA
Cours 0D : matrices
est appelée produit de A et B et notée A£B, ou AB On doit également se souvenir de l’égalité suivante qui donne l’expression d’un produit de deux matrices élémentaires Rappelons que Ei,j est la matrice de Mn,p(K) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient d’indice (i, j) qui vaut 1 Sous couvert que le produit
Cours de PCSI au Lycée Gontran Damas - Fabien PUCCI
Comme l’addition de deux matrices est simple On commence doucement : Le produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne de même dimension est égal au produit scalaire des deux vecteurs considérés comme deux vecteurs colonnes a1 a2 an × b1 b2 bn = a 1b +a 2b + a nb = Xn k=1 a kb
ALG 10 Matrices et applications linéaires
somme et le produit de deux matrices, la transposée, donne l’inverse d’une matrice (3,3) à l’aide des cofacteurs et introduit les matrices symétriques et antisymétriques 1 Matrices et applications linéaires Nous allons compléter le cours d’algèbre linéaire en établissant un lien entre les deux points de vue
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Chapitre 2
1 2.4. Produits matriciels
1.1 Produit de matrices carr´ees
On a l"habitude de faire desproduits de nombre;
Par exemple
2×3 = 6
et on est habitu´e aux propri´et´s suivantes•il n"y a pas de diviseur deO: si un produit de deux nombres est nul
c"est que l"un de ces deux nombres est nul•le produit de deux nombres est commutatif:2×3 = 3×2
et plus generalement pour tous nombresbeta a×b=b×a On va g´en´eraliser le produit de nombre auproduit des tableaux de nombres, c"est `a-dire au produit dematrices. SiB=?b1b2
b 3b4? ,A=?a1a2 a 3a4? sont deux matrices carr´ees de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on d´efinit b3×a1+b4×a3b3×a2+b4×a4?
B×Aest aussi une matrice de taille 2.
Par exemple, si
B=?6 7
8 9? ,A=?1 2 3 5? alorsB×A=?6×1 + 7×3 6×2 + 7×5
8×1 + 9×3 8×2 + 9×5?
=?27 4735 61?1
Pour les d´ebutants on dispose le calcul ainsi
1 2 3 56 7 27 47
8 9 35 61
Cette d´efinition peut ˆetre ´etendue `a n"importe quel matricen×no`un est un entier naturel (1,2,...,819...): `a la position d"indicei,jdeB×A on place le produit de lai-`eme ligne deBpar laj-`eme colonne deA. Le produit des matrices a des propri´et´es ´etranges par rapport au produit de nombres•il y a des diviseurs deO: si un produit de deux matrices est nul (toutes les composantes sont nulles) il peut arriver qu"aucune des deux matrices ne soit nulle.Par exemple SiB=?1-2
-2 4? etA=?2 4 1 2? ,2 4 1 21-2 0 0
-2 4 0 0 autrement ditB×A=?1×2 +-2×1 1×4 +-2×2
-2×2 + 4×1-2×4 + 4×2? =?0 00 0?•le produit de deux matrices n"est pas toujours commutatif:
A×B?=B×A
. Par exemple si comme tout `a l"heureA=?2 4 1 2? etB=?1-2 -2 4?1-2 -2 42 4-6 12
1 2-3 62
autrement ditA×B=?2×1 + 4× -2 2× -2 + 4×4
1×1 + 2× -2 1× -2 + 2×4?
=?-6 12 -3 6? ?=B×A=?0 0 0 0? Une premi`ere application du produit de matricesOn se donne un graphe oreint´e c"est `a dire des points num´erot´es avec des fl`eches entre eux. Par exempleFigure 1:Grapheet on construit la matrice d"adjacence du graphe•on met un 1 `a la placei,js"il y a une fl`eche partant deiet allant `aj•on met un 0 `a la placei,js"il n"y a pas de fl`eche partant deiet allant
`ajDans notre exemple:A=?
????0 1 1 0 00 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0?
????3On peut faire le produitA2=A×A0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
autrement ditA 2=? ????0 0 0 2 10 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0?
La matriceA2compte le nombre de chemins de longueur 2 entreietj!! De mˆeme la matriceA3=A×A2compte le nombre de chemins de longueur 3 entreietj!!0 0 0 2 10 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 04
Autrement dit
A 3=? ????0 0 0 1 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0?
Il y a un seul chemin de longueur 3, entre 1et 4
1.2 Composition des applications
Mais c"est pour ´etudier la composition des applications lin´eaires que la mul- tiplication des matrices va ˆetre la plus utile. On commence par rappeler le concept de la composition de deux appli- cations. La composition dey= sin(x) =f(x) avec la fonctionz= cos(y) =g(y) est la fonctionz= cos(sin(x)) = (g◦f)(x).Figure 2:composition de fonctionsOn peut composer de la mˆeme mani`ere les applications lin´eaires. Re-
tournons `a l"exemple du d´ebut de la section 2.1. La positionx=?x1 x 2? du bateau est donn´ee par une position cod´eey=?y1 y 2? . Le code est donn´e par l"application lin´eaire y=Ax, A=?1 2 3 5? .5 On avait oubli´e un d´etail : la position du bateau est transmise `a un central `a Paris, et est cod´ee `a nouveau par l"application z=By, B=?6 7 8 9? La position du bateau re¸cue `a Paris est donn´ee par la formule z=B(Ax),comme ´etant la composition dey=Axavecz=By.Figure 3:composition d"applications lin´eairesEst-ce que l"application compos´ee est lin´eaire, et si oui quelle est sa
matrice ? Nous allons aborder cette question cruciale : (a) en utilisant la force brutale, (b) en faisant un peu de th´eorie. (a) On ´ecrit les formules composantes par composante, (1) ?z1= 6y1+ 7y2, z2= 8y1+ 9y2,(2)?y1=x1+ 2x2,
y2= 3x1+ 5x2,
puis on substitue dans (1) les formules donn´ees pour lesyidans (2), ce qui donne z1= 6(x1+ 2x2) + 7(3x1+ 5x2) = (6·1 + 7·3)x1+ (6·2 + 7·5)x2
= 27x1+ 47x2, z2= 8(x1+ 2x2) + 9(3x1+ 5x2) = (8·1 + 9·3)x1+ (8·2 + 9·5)x2
= 35x1+ 61x2,6 ce qui montre que la compos´ee est bien lin´eaire et a pour matriceBA=?6·1 + 7·3 6·2 + 7·5
8·1 + 9·3 8·2 + 9·5?
=?27 4735 61?
(b) On utilise la caract´erisation des applications lin´eaires (section 2.1) pour prouver que l"applicationT(x) =B(Ax) est lin´eaire. On a :T(v+w) =B(A(v+w)) =B(Av+Aw)
=B(Av) +B(Aw) =T(v) +T(w)T(kv) =B(A(kv)) =B(kAv)
=kB(Av) =kT(v). Maintegnt que l"on sait queTest lin´eaire, il nous suffit pour trouver sa matrice de calculerT(e1) etT(e2), de sorte que la matrice deTest la matrice?T(e1)T(e2)?.On a :
T(e1) =B(Ae1) =B(de la premi`ere colonne de A)
=?6 7 8 9?? 1 3? =?27 35?T(e2) =B(Ae2) =B(de la deuxi`eme colonne de A)
=?6 7 8 9?? 2 5? =?47 61?ce qui fait que la matrice deTest ´egale `a
T(e1)T(e2)
=?27 4735 61?
Bien entendu, le r´esultat est le mˆeme que celui obtenu en (a) et on retrouve la matriceBA. Le produitBAest donc la matrice de l"applicationT(x) =B(Ax). Cela veut dire que ?x?IR2, T(x) =B(Ax) = (BA)x. On consid`ere maintenant le cas de matrices non n´ecessairement carr´ees. SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. De nouveau, l"application compos´eez=B(Ax) est lin´eaire (la justi- fication donn´ee en b) fonctionne de la mˆeme fa¸con ici). La matrice de7Figure 4:Vers le cas g´en´erall"applicationz=B(Ax) est leproduitde la matriceBpar la matriceA, et
est not´eBA. Cette matrice est de taillen×m. La matriceBAest celle d"une application lin´eaire de IRmdans IRnet est donc de taillen×m, et on a z=B(Ax) = (BA)x. Dans la d´efinition du produitBA, le nombre de colonnes deBest ´egal au nombre de lignes deA. Que se passe-t-il quand ces deux nombres sont diff´erents ? SupposonsqueBsoit de taillen×petAde tailleq×mavecp?=q.Figure 5:Compatibilit´e colonnes/lignesDans ce cas, les applicationsz=Byety=Axne peuvent pas ˆetre
compos´ees car le co-domaine dey=Axest diff´erent du domaine dez= By. Autrement dit, la sortie de l"applicationy=Axn"est pas une entr´ee8 raisonnable pour l"applicationz=By. Dans ce cas, la produitBAn"est pas d´efini.Produit de matrices a) SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de tailleq×m. Le produitBAest d´efini si et seulement sip=q. b) SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. Alors le produitBA, de taillen×mest d´efini comme ´etant la matrice de l"application lin´eaire compos´eeT(x) =B(Ax) =BAx, pour toutx?IRm.Dans ce cas, le produitBAest une matrice de taillen×m.Cette d´efinition ne semble pas donner de moyens concrets pour calculer
num´eriquement le produit de deux matrices. Pourtant ce moyen concret suit directement des d´efinitions.SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m.´Etudions les colonnes de la matrice produitBA:
(i`emecolonne deBA) = (BA)ei =B(Aei) =B(i`emecolonne deA). En notantv1,v2,···,vmles colonnes deA, on a alors BA=B? v1v2···vm
Bv1Bv2···Bvm
?Les colonnes d"une matrice produit SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. On notev1,v2,···,vmles colonnes deA. alors le prduitBAest d´efini par BA=B? v1v2···vm
Bv1Bv2···Bvm
Pour d´eterminerBAil suffit d"effectuer la multiplication deBpar chaque colonne deAet de recombiner en matrice l"ensemble des vecteurs ainsi d´etermin´es.C"est comme cela qu"on a calcul´e en (b) de l"exemple plus haut le produitBA=?6 7
8 9?? 1 2 3 5? =?27 4735 61?
.9 On a vu dans la premi`ere section que la multiplication des matrices est une op´eration non-commutative, ce qui n"est pas une surprise. En effet, lacomposition des fonctions n"est pas une op´eration commutative.La multiplication des matrices n"est pas commutative
SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×n. Alors ABest une matrice de taillep×petBAde taillen×n. Dans le cas o`u p=n, on peut comparer les produitsABetBA. En g´en´eral,AB?=BA. N´eanmoins, il arrive parfois queAB=BA; dansce cas, on dit que les matricescommutent.Il est utile d"avoir une formule analytique pour la composanteijdu
produitBA. On rappelle que BA=B? v1v2···vm
Bv1Bv2···Bvm
le coefficientijdu produitBAest laii`emecomposante du vecteurBvj, qui est le produit vecteur ligne vecteur colonne de laii`emeligne deBpar laji`eme colonne deA. Si on note [BA]ijle coefficient `a laii`emeligne et laji`emecolonne de la matrice produitBA, on a alors k=1b ikakj.10Les coefficients de la matrice produit
SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. Le coefficient ijdu produitBAest le produit de laii`emeligne deBpar laji`emecolonne deA.La matrice
BA=?11b12···b1p
b21b22···b2p............
b i1bi2···bip............ b n1bn2···bnp? ???a11a12···a1j···a1m
a a p1ap2···apj···apm? est la matrice de taillen×mdont le coefficient `a laii`emeligne et laji`emecolonne est donn´e par la formule k=1b ikakj.Exemple 1 6 7 8 9?? 1 2 3 5? =?6·1 + 7·3 6·2 + 7·58·1 + 9·3 8·2 + 9·5?
=?27 4735 61?
Au fait, o`u a-t-on d´ej`a vu ces calculs ?
1.3 Calculs alg´ebriques avec les matrices
Nous allons d´ecrire dans ce qui suit les prinicipes du calcul alg´ebrique des matrices. •SoitAune matrice carr´ee de taillen×n, inversible. La matriceAmultipli´ee par la matriceA-1repr´esente l"application identit´e.Multiplication par l"inverse
Etant donn´eeAune matrice inversible carr´ee de taillen×n, on a AA -1=A-1A= In.•Composer l"application identit´e par une application lin´eaire des deux cot´es, laisse invariante l"application lin´eaire consid´er´ee.11Multiplication par la matrice identit´e
Etant donn´eeAune matrice carr´ee de taillen×n, on a AIn= InA=A.•SoitAune matricen×p,Bune matricep×q,Cune matriceq×m.Quelle est la relation entre (AB)CetA(BC) ?
Une mani`ere de r´efl´echir `a ce probl`eme (mˆeme si ce n"est pas la plus ´el´egante), consiste `a´ecrireC`a l"aide de ses vecteurs colonnes,C=?v1v2···vn?.On a alors
(AB)C= (AB)?v1v2···vn? ?(AB)v1(AB)v2···(AB)vn?, tandis-queA(BC) =A?Bv1Bv2···Bvn?
?A(Bv1)A(Bv2)···A(Bvn)?, Puisque (AB)vi=A(Bvi) par d´efinition du produit matriciel, on en d´eduit que (AB)C=A(BC).Associativit´e du produit matricielOn a toujours
(AB)C=A(BC),et on ´ecriraABCau lieu deA(BC) = (AB)C.Une d´emonstration plus conceptuelle repose sur l"associativit´e de la com-
position des applications. Les deux application lin´eairesT(x) = ((AB)C)x, L(x) = (A(BC))x
sont identiques, car la d´efinition de la multiplication des matrices montre queT(x) = ((AB)C)x= (AB)(Cx) =A(B(Cx)),
tandis-queL(x) = (A(BC))x=A((BC)x)) =A(B(Cx)).12
Figure 6:Associativit´e du produit matricielLes domaines et co-domaines respectifs des applications lin´eaires d´efinies
par les matricesA,B,C,BC,AB,A(BC) et (AB)Csont d´ecrits dans la figure ci-dessous. •SoientAetBdeux matrices carr´ees de taillen×n. On supposeAet Binversibles. Est-ce que le produitBAest encore inversible ? Pour trouver la r´eciproque de l"appication lin´eaire y=BAx, on va r´esoudre l"´equation enxen deux temps. On commence par multiplier `a gauche les deux membres de cette ´equations parB-1: B -1y=B-1BAx= InAx=Ax.On multiplie ensuite `a gauche parA-1. Il vient
A -1B-1y=A-1Ax= Inx=x.Ce calcul montre que l"application
y=BAx est inversible et que son inverse est l"application x=A-1B-1y.Inverse d"un produit de matrices SoientAetBdeux matrices carr´ees inversibles de taillen. Alors le produitABest inversible et on a
(BA)-1=A-1B-1.Attention `a l"ordre des produits !13
Pour v´erifier ce r´esultat autrement, on effectue le calcul suivant, en util- isant l"associativit´e du produit, (A-1B-1)(BA) =A-1(B-1B)A=A-1(In)A=A-1A= In, et tout marche tr`es bien. Pour mieux comprendre l"ordre des facteurs dans la formule (BA)-1= A-1B-1, repensons `a notre histoire de bateau marseillais. Pour trouver laFigure 7:Inverse d"un produit de matricesposition effectivex`a partir du double codagez, on commence par effectuer
la transformationy=B-1zetensuitela transformationx=A-1y. Donc la r´eciproque de l"applicationz=BAxest bien l"applicationx=A-1B-1z.Un crit`ere d"inversibilit´e SoientAetBdeux matrices carr´ees inversibles de taillentelles queBA= In.
Alors a)AetBsont toutes les deux inversibles b)A-1=BetB-1=A, c)AB= In.La d´efinition de l"inverse d"une application nous dit que lorsqueBA= In etAB= In, alorsAetBsont inversibles et inverses l"une de l"autre. Le r´esultat ci-dessus dit que l"´equationBA= In`a elle seule suffit pour assurer queAetBsoient inversibles et inverses l"une de l"autre. Pour montrer queAest inversible, il nous suffit de montrer que le syst`eme lin´eaireAx= 0 admet 0 comme unique solution (voir section 2.3). Multi-14 plions `a gauche l"´equationAx= 0 parB. On obtientBAx=B0 = 0. CommeBA= In, il en r´esulte quex= 0. DoncAest inversible. En multipliant `a droite l"´equationBA= InparA-1, il vient (BA)A-1= InA-1,c"est-`a-direB=A-1. La matriceB´etant l"inverse deAest aussi inversible, etB-1= (A-1)-1=A (r´esulte des d´efinitions). Enfin,AB=AA-1= In.? A titre d"application, consid´erons le cas 2D. SoitA=?a b c d? avec un d´eterminant non nul. On va v´erifier queB=1ad-bc?
d-b -c a? =1det(A)? d-b -c a? =A-1. Pour cela il est suffisant de v´erifier queBA= I2. On aBA=1ad-bc?
d-b -c a?? a b c d? =1ad-bc? da-bc db-bd -ca+ac-cb+ad? = I2Exemple 2
SoientA,BetCtrois matrices carr´ees de taillentelles queABC= In. Montrer queBest inversible et exprimerB-1en fonctionAetC.Solution
On ´ecritABC= (AB)C= In. On en d´eduit queABetCcommutent et sont inverses l"une de l"autre, d"o`u on a ´egalementC(AB) = In= (CA)B. il en r´esulte queBest inversible etB-1=CA.Distributivit´e du produit matriciel SoientAetBdeux matrices de taillen×p,CetDde taillep×m. On a alorsA(C+D) =AC+ADet (A+B)C=AC+BC.Ce point sera `a v´erifier dans l"exercice 63, section 2.4, et le point suivantdans l"exercice 64 :SoitAune matrice de taillen×p,Bde taillep×m,k?IR. Alors(kA)B=A(kB) =k(AB).15