TD 7 : Couples et suites de variables aléatoires réelles
4) On tire maintenant 10 fois une boule avec remise dans cette urne, et on note Y la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’on a obtenu une boule numérotée n (succès) : les conditions sont celles d’une la loi binomiale de paramètres 10 et ˝ZZ 1I3 ]^=˜R 4: > 5) 9 ˜ 1I3 L 1I3 et _ ˜ 1I3 `N 1I3 a L 1O3 1I3b
Variables aleatoires discr´ etes` - CBMaths
—L’´ecart-type de la variable al´eatoire Xest le nombre, note´ ˙(X) d´efini par : ˙(X) = p Var(X): Remarques 3 2 1 La variance est la moyenne des carr´es des ´ecarts a la moyenne `
LE PARAMETRAGE DU MRP SOUS INCERTITUDES DE DELAIS D
D Demande en produits finis (variable aléatoire discrè-te), n Nombre de types de composants nécessaires pour l’assemblage de produit fini, d i Quantité nécessaire de chaque type de composant i pour assembler une unité de produit fini,
FRE 3206 CNRS / USM 502 MNHN
Variable quantitative discrète une distribution discrune distribution discrune distribution discrè èèètetteete observations d'une variable aléatoire
Ann´ee universitaire 2002-2003 UNIVERSITE D’ORL´ EANS
3 5 1 Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire discr`ete 46 3 5 2 Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire a densit´e 47
if (condition) et ==, =, (opérateurs logiques de
min: la limite inférieure pour la valeur aléatoire, inclusive (optionnel) max: la limite inférieure pour la valeur aléatoire, exclusive Valeur renvoyée un nombre aléatoire entre la valeur min et la valeur (max-1) Exemple void loop() { // affiche un nombre aléatoire entre 0 et 299 randNumber = random(300);
ALGORITHMES EN PROBABILITES
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de déplacements vers le haut, et H la hauteur de la particule lorsqu’elle sort de l’écran a) Quelle est la loi de X ? b) Quelle est l’espérance de X ? c) Déterminer le lien entre X et H En déduire l’espérance de H Interpréter
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ALGORITHMES EN PROBABILITESRappels du programme :Rappels du programme :On peut simuler la loi géométrique tronquée
avec un algorithme.On peut simuler la loi binomiale
avec un algorithme EXEMPLE POUR LA LOI GEOMETRIQUE TRONQUEEGEOMETRIQUE TRONQUEE1) Parmi les trois algorithmes
suivants, lequel :!simule des lancers de dés jusqu"à l"obtention d"un 6 , !et donne le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier 6 ?Pour iallant de 1 à 6
a Ent(6Alea + 1) ;Si a= 6
alors donner i;FinSi ;
FinPour ; Pour iallant de 1 à 6
a Ent(6Alea + 1) ;Si a= 6
alors donner i;FinSi ;
FinPour ;
premier 6 ?a 0 ;Pour iallant de 1 à 6
a Ent(6Alea + 1) ;FinPour ;
Donner a;a 0 ;
Pour iallant de 1 à 6
a Ent(6Alea + 1) ;FinPour ;
Donner a;
a 0 ; i 0 ;Tant Que a 6 faire
i i+ 1 ; a Ent(6Alea + 1) ;FinTantQue ;
Donner i;a⬧ 0 ;i⬧ 0;Tant Que a 6 fairei⬧ i+ 1 ;a⬧ Ent(6Alea + 1) ;FinTantQue; Donner i;
2) On considère l"expérience aléatoire consistant à
lancer trois fois successivement un dé et à observer les résultats. On note Al"événement " le 6 est sorti au 3èmelancer uniquement » . a) Ecrire un algorithme qui simule l"expérience et qui ditsi l"événement Aest réalisé.b) Ecrire un algorithme qui :!simule 1000 fois cette expérience,
!compte le nombre de fois où l"événement Aest réalisé, !et donne la fréquence de réalisation de A. c) A l"aide d"un arbre pondéré, déterminer la probabilité de l"événement A. a) On simule une expérience : b) On simule 1000 expériences : a 0 ; i 0 ;Tant Que (a 6) et (i< 3) faire
i i+ 1 ; a Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ; Si (i= 3) et (a= 6) alors Afficher "Aest réalisé » ; FinSi ; a 0 ; i 0 ;Tant Que (a 6) et (i< 3) faire
i i+ 1 ; a Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ; Si (i= 3) et (a= 6) alors Afficher "Aest réalisé » ; FinSi ; S 0 ; S 0 ; S 0 ;Pour kallant de 1 à 1000 faire
a 0 ; i 0 ;Tant Que (a 6) et (i< 3) faire
i i+ 1 ; a Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ;Si (i= 3) et (a= 6) alors SS+ 1 ; FinSi ;
FinPour ;
Afficher (S / 1000) ;
S 0 ;Pour kallant de 1 à 1000 faire
a 0 ; i 0 ;Tant Que (a 6) et (i< 3) faire
i i+ 1 ; a Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ;Si (i= 3) et (a= 6) alors SS+ 1 ; FinSi ;
FinPour ;
Afficher (S / 1000) ;
EXEMPLE POUR LA LOI BINOMIALE
Particule sur un écran Sur un écran de contrôle, d"une largeur de 50 unités, on repère une particule qui obéit à la loi suivante : à chaque instant, la particule avance horizontalement d"une unité vers la droite, et elle se déplace verticalement d"une unité ou de zéro unité vers le haut, avec des proba- bilités respectives pet 1 - p . On se demande à quelle hauteur " moyenne » la particule sort de l"écran.1) Simulation à l"aide d"un tableur.
a) Recopier le tableau suivantb) Quelle formule faut-il placer en C3 pour obtenir par recopie la hauteur de la particule sur l"écran
recopie la hauteur de la particule sur l"écran c) Obtenir la simulation de 50 déplacements, puis représenter graphiquement la trajectoire. d) Observer plusieurs simulations de trajectoires. Arrive-t-il que la hauteur de sortie soit strictement inférieure à 25 ? e) Modifier la valeur de p.