Fonction de repartition´ et densit´e - POLARIS
compl`etes, le cas plus g´en ´eral (et beaucoup plus difficile) de X = R Fonction de repartition´ et densit´e Definition´ 1 La fonction de repartition´ (f d r ) de la variable aleatoir´ e X sur Rest la fonction suivante : FX(x) = P(X 2] 1;x]) = P(X 6 x): Propriet´ es´ : 1 la fonction FX(x) est croissante, continue a` droite, lim x1
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite On suppose que Xsuit une loi normale centrée réduite N(0;1) La fonction de répartition de Xest la fonction F: R R donnée par F(x) = P(X x) = Z x 1 e t2=2 p 2ˇ dt Pour tout réel x, le nombre F(x) est l'aire de la partie représentée sur le gra-phique : x P(X x) f(x) = e x2 =2
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions
La fonction de répartition obtenue en ne considérant qu’une des deux variables est appelée fonction de répartition marginale On peut l’obtenir directement de la fonction de répartition conjointe : F X ( x ) = F X,Y ( x, ∞) - Si X et Y sont des v a discrètes, on obtient la fonction de masse marginale de X par : = ∑ i p X ( x) p X
Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité
1 1 Rappels sur les fonctions de répartition Les prochaines définitions et propositions sont des rappels du chapitre 12 Définition 1 1 Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire On définit sur R la fonction de répartition de F, notée F X par : ∀x ∈ R, F X (x)=P(X ≤ x) Proposition 1 1 Propriétés des fonctions
Annexe - Extrait de la fonction de répartition loi normale
Annexe - Extrait de la fonction de répartition loi normale centrée et réduite La loi normale est caractérisée par : 2 2 2 1 ( ) t f t e
RAPPELS de PROBABILITÉ
peut interpréter F comme la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle Il découle, que F X caractériselaloiP X deX Ona: P(a X b) = F X(b) F X(a ) sia b; P(a
Cours de mathématiques ECT 2ème année Chapitre 8 Variables
La fonction f vérifie donc bien les trois points de la définition ci-dessus Donc, f est bien unedensitéde probabilité Théorème1: Si X est une variable aléatoire à densité, de fonction de répartition FX et de densité f, alors, en chaqueréel x où f est continue, ona : f (x)=F′ X(x) Théorème2:
Exercices de Probabilités Table des matières
Exercices de Probabilités ChristopheFiszka,ClaireLeGoff SectionST Table des matières 1 Introduction aux probabilités 2 2 V a r, espérance, fonction de répartition 3
Exercices corrigés de probabilités et statistique
de ne pas tomber sur un billet de 5 e devient donc 16 21, puis 15 20 et ainsi de Il tire ensuite un jeton dans une urne choisie en fonction du résultat du dé
STATISTIQUE DESCRIPTIVE - Département de Mathématiques d
(e) de ceux (ou celles) des classes précédentes(lorsque la variable statistique est quantitative) La fréquence cumulée est une fonction F de la borne supérieure de la classe (dans le cas d’une variable statistique continue) 2 3 DIAGRAMMES Ils servent à visualiser la répartition des individus
[PDF] soliman et françois 1er
[PDF] fonction de distribution statistique
[PDF] produit scalaire deux vecteurs
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2- Variables aléatoires et distributions -1
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions2.1 Variable aléatoire.....................................................................................................................1
2.2 Fonction de répartition............................................................................................................2
2.3 Fonction de masse et de densité ..............................................................................................2
2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires.......................................................................5
2.4.1 Distribution marginale.........................................................................................................5
2.4.2 Distribution conditionnelle..................................................................................................5
2.4.3 Indépendance de variables aléatoires..................................................................................6
2.5 Fonctions de variables aléatoires ............................................................................................7
2.6 Caractéristiques de distributions (une seule variable)..........................................................8
2.6.1 L'espérance mathématique (moyenne) ...............................................................................9
2.6.2 Autres caractéristiques courantes......................................................................................10
2.7 Caractéristiques de distributions (plusieurs variables)......................................................10
2.8 Propriétés de l'opérateur espérance mathématique...........................................................12
2.9 Formules d'approximation pour l'espérance et la variance de fonctions de v.a..............12
2.9.1 Formules d'approximation pour le cas multivariable .......................................................13
2.1 Variable aléatoire
Définition. Variable aléatoire : fonction qui associe un nombre réel à chaque élément de l'espace
échantillonnal.
Exemple 1 : On prélève 3 échantillons de sol et l'on note pour chacun la nature du sol (argile (A), silt
(F), sable (S), gravier (G)). L'espace échantillonnal est : {AAA, AAF, AAS...SGG GGG}. Si X représente le nombre d'échantillons de type sable, alors X(AAA)=0, X(AAF)=0,X(AAS)=1, ...X(ASS)=2, ... X(SSS)=3.
Exemple 2 : Prélever un échantillon de sol et mesurer sa masse volumique sèche. La masse volumique
est une variable aléatoire.Note : L'exemple 1 illustre une variable aléatoire discrète, l'exemple 2 une variable aléatoire continue. Il
existe aussi des v.a. mixtes, i.e. discrète pour certains éléments de l'espace échantillonnal et
continue pour d'autres.2- Variables aléatoires et distributions -2
2.2 Fonction de répartition
Définition :
)xX(P)x(FX≤=. En mots : la fonction de répartition donne la probabilité que la variablealéatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à toute valeur particulière " x ».
Propriétés :
i. 0= -∞→)x(FlimXx ii. 1= ∞→)x(FlimXx iii. )x(FXest non-décroissante iv. Si X est une v.a. discrète, alors )x(FX est une fonction en escalier; si X est continue alors )x(FXest une fonction continue.2.3 Fonction de masse et de densité
Définition :
a) cas discret : )xX(P)x(pX== est la fonction de masse de la v.a. discrète X. On peut aussi exprimer la fonction de masse comme : )()()(--=xFxFxpXXX b) cas continu : )x(Fdxd)x(fXX= est la fonction de densité de la v.a. continue X.Propriétés :
a) Cas discret : i.0≥)x(pX
ii.1≤)x(pX
iii. iiXxp1)( b) cas continu : i.0≥)x(fX
ii )a(F)b(Fdx)x(f)bXa(PXXb aX-==≤≤∫
iii.1=∫
∞-dx)x(fX En génie civil, on rencontre plus souvent les v.a. continues.Exemple 3 : Des tiges d'acier montrent une résistance en tension variable. La fonction de densité est
donnée par :2- Variables aléatoires et distributions -3
ailleurs x xx x xf X05541)4155411(355524135354135
35552(unités de " x » en MPa) a) Quelle est la probabilité qu'une tige donnée montre une résistance en tension comprise entre 47 et 49? ∫=49
4710.dx)x(fX
b) Quelle est la probabilité que la résistance soit inférieure à 41? ∫=413530.dx)x(fX
c) Quelle est la probabilité que la résistance soit supérieure à 41? ∫=554170.dx)x(fX
303540455055600
0.05 0.1 x, KPa fX(x)2- Variables aléatoires et distributions -4
303540455055600
0.2 0.4 0.6 0.8 1 x, KPa FX(x)Exemple 4 : Une portion de plancher de superficie 2a x 2a est supportée par les côtés. On dispose une
charge aléatoirement sur le plancher. Quelle est la probabilité que cette charge soit à une distance supérieure à " x » du côté le plus près du point de charge? La probabilité est proportionnelle à la surface du carré interne : axa)xa( )a()xa()x(FX≤≤-=-=-0222122 22La fonction de densité est donc :
axa)xa()x(fX≤≤-=022Exemple 5 : Sur un site, l'on doit construire une tour. On étudie l'historique de la force des vents durant
plusieurs années. On note X la force du vent maximale durant une année. Supposons que X possède la fonction de densité suivante : xe)x(fxX≤λ=λ-0 (distribution exponentielle; x donné en km/h)La fonction de répartition est alors :
xe)x(FxX≤-=λ-01 Si020.=λ (nous verrons plus loin différentes façons d'estimer les paramètres que l'on
retrouve dans une distribution), alors quelle est la probabilité que le vent excède 100km/h ? =>)X(P1001-%.e)(F*.X613100100020==-Exemple 6 : Un lot de béton doit rencontrer une résistance minimale. Même si le lot dans son ensemble
rencontre la norme, il est possible qu'un échantillon pris au hasard ne rencontre pas lanorme avec une probabilité " p ». Quelle est la probabilité que parmi " n » échantillons pris
au hasard, il y en ait " x » qui ne rencontrent pas la norme? n)p()X(P-==10 nnp)p(n)X(P111--== x 2a2- Variables aléatoires et distributions -5
xxnp)p()!xn(!x!n)xX(P---==1 (loi binomiale)Ainsi, si p=0.05, la probabilité qu'un échantillon parmi 5 prélevés ne respecte pas la norme
est :5*0.95
4*0.051=0.20.
2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires
Définitions :
- Soit deux v.a. X, Y. La fonction de répartition conjointe est : )yY,xX(P)y,x(FY,X≤≤= - Soit deux v.a. discrètes X et Y. La fonction de masse conjointe est : y)Yx,P(Xy)(x,pYX,=== - Soit deux v.a. continues X et Y. La fonction de densité conjointe est : )y,x(Fyx)y,x(fY,XY,X∂∂∂= 2 Note : Des propriétés très similaires au cas à une seule v.a. existent.Note : Si X est discrète et Y continue ou si une des deux variables est mixte, on a alors une fonction de
répartition conjointe mixte. Note : Ces définitions se généralisent facilement au cas de p>2 v.a.2.4.1 Distribution marginale
Soit deux v.a. X et Y discrètes ou continues et leur fonction de répartition conjointe. La fonction de
répartition obtenue en ne considérant qu'une des deux variables est appelée fonction de répartition
marginale. On peut l'obtenir directement de la fonction de répartition conjointe : ),x(F)x(FY,XX∞= - Si X et Y sont des v.a. discrètes, on obtient la fonction de masse marginale de X par : iiY,XX )y,x(p)x(p - Si X et Y sont des v.a. continues, on obtient la fonction de densité marginale de X par : ∫=dy)y,x(f)x(fY,XX