Produit vectoriel - F2School
MVA006 Applications de l’Analyse a` la Geom´ etrie–´ Cours n 9 Jacques V´elu (CNAM) Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que V V0, le produit vectoriel de deux vecteurs V et V0de R3 est donne par les formules :´ V = a{ + b+ c k V0= a0{ + b0+ c0k V V0= (bc0 cb0){ + (ca0 ac0
Produit vectoriel et déterminant dans l’espace
Propriétés du produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace Bien prendre garde, que contrairement au produit scalaire, qui d’ailleurs est un nomre et pas un ve teur, le produit vetoriel n’est pas ommutatif En effet, hanger l’ordre des veteurs, hange le signe du produit : - Bilinéarité
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur w AD tel ) ⊥( ) La base AB AC AD;; est directe = × ???????? ????où ????la mesure de l’angle BAC Le vecteur w est indépendant du choix des représentants des vecteurs et Si et sont colinéaires ; on pose que leur produit vectoriel est 0 On note w u v
YOUSSEFBOULILA PRODUIT VECTORIEL DANS E
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de E , est le vecteur noté: défini par: Si et sont colinéaires Alors = 0 Sinon, est: Le vecteur orthogonal à chacun des vecteurs et tel que: ( ; ; ) forme une base directe de E et tel que: u v = u uv usin(u , v ) 2) Exemples:
Produit vectoriel - F2School
Produit vectoriel En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths sup et de maths spé Nous donnons ici un complément hors programme sur le sujet
La double nature du produit vectoriel
La double nature du produit vectoriel Venons-en maintenant au produit vectoriel, pour lequel on donne usuellement deux définitions, l’une géométrique et en partie intuitive, l’autre algébrique et formelle Rappelons ces deux définitions Définition géométrique Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est un vecteur w (aussi
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL page Pro Benmoussa Med IIII Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté: 01 Définition géométrique du produit vectoriel : a Définition : u AB et v AC deux vecteurs de l’espace E orienté Le produit vectoriel de u et v ( dans cet ordre ) est le vecteur w AD
Chapitre I : calcul vectoriel - Université de Sétif
V PRODUIT VECTORIEL V 1 Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs ⃗ ???? ⃗ est un vecteur ⃗⃗⃗ noté : ⃗ ∧ ⃗ de direction telle que : ⃗⃗⃗ ⊥ ⃗ et ⃗⃗⃗ ⊥ ⃗ ( ⃗⃗⃗ est perpendiculaire au plan contenant les vecteurs ⃗ et ⃗
Sur le produit vectoriel - Département de Mathématiques d
Sur le produit vectoriel Daniel PERRIN Introduction On etudie les deux approches usuelles du produit vectoriel : la version el ementaire d ecrite en terme d’orthogonalit e et de sinus et celle qui prend comme point de d epart une application bilin eaire altern ee Dans tout ce qui suit, on travaille dans un espace vectoriel euclidien de
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MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n
9 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 5 - Produit vectoriel, produit mixte
Produit vectoriel
1 Rappels
1.Onavuque
V=a!{+b!|+c!k!V0=a0!{+b0!|+c0!k
V!V0=(bc0cb0)!{+(ca0ac0)!|+(ab0ba0)!ket qu"on le calcule de la fac¸on suivante : a a0bc0cb0
b b0ca0ac0
c c0ab0ba0
2.Quesepasse-t-ilsil"onchangederep
est-ce qu"on trouve un autre r´esultat?
le produit vectoriel est orthogonal`a!V!V0, sa norme est l"aire du parall`elogramme construit`a partir de!V!V0,il est orient´e selon la r`egle des 3 doigts :Conclusion:!V!V0ne d´epend pas du rep`ere choisi pour le
calculer.3. Pour calculer le produit vectoriel, il sut de se rappeller que :
{!|=!k!|!{=!k!{!{=!O |!k=!{!k!|=!{!|!|=!O k!{=!|!{!k=!|!k!k=!O 1 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)et que le produit vectoriel est doublement distributif :
+cc0!k!k2 Quelques utilisations du produit vectoriel
1. Pour lesvecteurs, le produit vectoriel est un d´etecteur decolin´earit´e:
u!V=u0!V0()!V!V0=!O2. Pour lespoints, le produit vectoriel est un d´etecteur de d"alignement:ACBA;B;C align´es()!AB!AC=!O
On peut faire jouer le m
ˆeme rˆole aux 3 points :
!AB!AC=(!OB!OA)(!OC!OA) !OB!OC!OB!OA!OA!OC+!OA!OAA;B;C align´es()!OA!OB+!OB!OC+!OC!OA=!O3. Eng´eom´etrie, le produit vectoriel est li´e`a la notion derotation.
4. Le produit vectoriel permet de calculer l"aire d"un triangle:
aire(ABC)=12 !AB!AC5. Enphysique(m´ecanique, ´electricit´e, ...), on rencontre tr`es souvent des produits vectoriels.
Exemple:Th´eor`eme du moment cin´etique
LepointOestfixe.Lemomentcin´etiqueparrapport`aOdupointmobileM,demassemetdevitesse!Vest!OMm!V. SiFest la r´esultante des forces qui s"appliquent`aM, on a :
ddt (!OMm!V)=!OM!FEn eet, si!Aest l"acc´el´eration deM: ddt (!OMm!V)=!Vm!V+!OMm!A=!OM!FDans le cas o
`uMest soumis`a uneforce centraledirig´ee versO, le deuxi`eme membre est nul et!OMm!Vest un vecteur constant, donc lemouvement est plan.
2 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)3 Applications `a la g´eom´etrie plane
1. Dans le cas o
`u!Vest dans le plan( !{ ;!|), on a!V=a!{+b!|et le calcul de!V!kdonne : a0b b0a0 1 0)!V!k=b!{a!|
est le vecteur qui se d´eduit de!Vpar une rotation de+2
Cet exemple assez simple laisse deviner qu"il existe une relation entre lesproduits vectorielset les rotations.2. On consid
`ere deux vecteurs!Vet!V0dans le planR2muni d"un rep`ere orthonorm´e( O;!{ ;!|): !V=a!{+b!|!V0=a0!{+b0!| Pour pouvoir calculer leur produit vectoriel, il faut introduire une troisi `eme dimension. On ajoute un vecteur!k, pour compl´eter le rep`ere orthonorm´e( O;!{ ;!| ;!k)de R3. a a 00 b b 000 0ab0ba0)!V!V0=(ab0ba0)!kLe produit vectoriel est remplac
´e par le nombre =ab0ba0. On le note :
=ab0ba0= a a 0 b b 0 =det(!V;!V0)On l"appelle led´eterminantdes vecteurs!Vet!V0car il d´etermine s"ils sont colin´eaires ou pas.
Sa valeur absolue est l"aire du parall
´elogramme :V'
V3. Dans le plan rapport
´e au rep`ere( O;!{ ;!|), une droite( D)est l"ensemble des point sM=(x;y) qui v´erifient une´equation du type :
x+y= dans laquelleetne sont pas nuls tous les deux. Avec!N=!{+!|et!OM=x!{+y!|, cette´equation devient : N!OM= 3 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)On en tire plusieurs cons
´equences :
.La droite( D)passe par Osi et seulement si =0. .SiM0est un autre point de( D):N!OM0=
!N!OM= )!N(!OM0!OM0)=!N!MM0=0N OM M' D )Le vecteur !Nest orthogonal`a( D)Pour obtenir
!D, un vecteur directeur de( D), il su t de calculer le produit vectoriel de!Net de!k: 0 00 1 0)
!D=!{!|4. Soient deux droites( D)et ( D0)d" ´equations : (D)x+y= (D0)0x+0y= 0 det( !D;!D0)= 0 0 =00= 0 0 =det(!N;!N0)D!D0=0+0=!N!N0
(D)==(D0)()det(!D;!D0)=00=0 (D)?(D0)()!D!D0=0+0=0 4 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)5. Chercher les pointsM=(x;y)communs `a!Det!D0revient`a r´esoudre un syst`eme de 2´equations
a 2 inconnues : (S)8 >><>>:x+y=0x+0y=
0C"est pour cela qu"un tel syst
`eme est qualifi´e delin´eaire.Il y a 3 possibilit
´es :
Cas (I) :(D)
D )les deux droites sontconfondues, leurs´equations sont les mˆemes`a un facteur pr`es, le syst`eme estind´etermin´e.Cas (II) :
D D )les deux droites sontparall`eles, lespremiers membresde leurs´equations sont les mˆemes`a un facteur pr `es, le syst`eme estimpossible.Cas (III) :
M(D) D )les deux droites sontconcourantes, le syst`eme admetune et une seule solution.On va le r
´esoudre en utilisant le produit vectoriel.
(S)8 >><>>:x+y=0x+0y=
0On introduit les 3 vecteurs :
!A=!{+0!|!B=!{+0!|!C= 0!|Sixetysont des nombres quelconques :
x !A+y!B=(x+y)!{+(x0+y0)!| et le syst `eme( S)est ´equivalent`a l"´equation vectorielle : x !A+y!B=!C5 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)En multipliant`a droite par!B:
x !A!B+y!B!B=!C!B xdet(!A;!B)=det(!C;!B))x= 0 0000En multipliant`a gauche par!A:
x !A!A+y!A!B=!A!C ydet(!A;!B)=det(!A;!C))y= 000004 Application `a la g´eom´etrie dans l"espace
1. On a choisi un rep
`ere orthonorm´edirect(O;!{ ;!| ;!k): Un plan( P)est l"ensemble des points M=(x;y;z)qui v ´erifient une´equation du type :
x+y+ z=dans laquelle,et ne sont pas nuls tous les trois. Avec!N=!{+!|+ !k, cette´equation devient :!N!OM=2. On en tire plusieurs cons´equences :
.Le plan( P)passe par Osi et seulement si=0. .SiM0est un autre point de( P):N!OM0=
!N!OM=)!N(!OM0!OM0)=!N!MM0=0 6 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)N
OM M' P )Le vecteur !Nest orthogonal`a tous les vecteurs de( P). R ´eciproquement, siMest un point du plan( P), et si!MM0?!N, on a : N!OM= !N!MM0=0)!N(!OM+!MM0)=!N!MM0= etM0est dans le plan( P). (N)et d"un point Mde( N), en prenant toutes les droites ( D)passant par Met orthogonales`a( N). P )(N) M D )3. Soient deux plans( P)et ( P0)d" ´equations : (P)x+y+ z=(P0)0x+0y+ 0z=0Il y a 3 possibilit
´es :
P )(P' ) P )(P' )(P)(P' ) D )(I)(II) (III)Cas (I) et (II) :
!N!N0=!Oles plans sontparall`elesouconfondus.Cas (III) :
!N!N0,!Oles plans se coupent selon une droite( D).4. Le syst
`eme :( S)8 >><>>:x+y+ z=0x+0y+
0z=0 est unsyst`eme d"´equationsde la droite( D). Par cequ"un vecteur dir ecteur!Dde( D)est contenu dans les plans ( P)et ( P0), il est orthogonal`a!Net!N0. 7 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)R
´eciproquement, un vecteur non nul, orthogonal`a!Net!N0, est contenu dans( P)et ( P0), et c"est un vecteur directeur de ( D).On prendra donc :
!D=!N!N0SiM0=(x0;y0;z0)est un point de ( D), celle-ci admet la repr´esentation param´etrique :8>>>>><>>>>>:x(t)=x0+t(
00 y(t)=y0+t( 0 0) z(t)=z0+t(00)5. Quelques rappels.
On´ecrit( D)?(D0)et on dit qu eles dr oites( D)et ( D0)sont orthogonalesquand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. On´ecrit( D)?(P)et on dit que la dr oite( D)est orthogonaleau plan ( P)quand !D!N=!O.Dans ce cas,
( D)est orthogonale `a toutes les droites de( P). (P) D )On´ecrit( P)?(P0)et on dit que les plans ( P)et ( P0)sont orthogonaux quand!N!N0=0.Pour que
( P)soit orthogonal `a( P0)il faut et il su t que( P0) contienne une droite orthogonale `a( P). P D P')6. Soit( D)la dr oiteintersection de deux plans ( P)et ( P0), d´efinie par le syst`eme d"´equations :
(S)8 >><>>:x+y+ z=0x+0y+
0z=0 Siuetu0sont des nombres qui ne sont pas tous les deux nuls, les pointsM(x;y;z)de ( D)v ´erifient aussi l"´equation :
(u+u00)x+(u+u00)y+(u +u00)z=u+u00
On ne peut pas avoir
`a la fois : (u+u00)=0 (u+u00)=0 (u +u0 0)=0 car cela signifierait queu!N+u0!N0=!O, mais les vecteurs!Net!N0ne sont pas colin´eaires. 8 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)Si l"on noteu(P)+u0(P0)le plan d ´efini par l"´equation :
(u+u00)x+(u+u00)y+(u +u00)z=u+u00
la droite ( D)est aussi contenue dans ce plan. Il n"est pas dicile de d´emontrer que r´eciproquement, tout plan (P00)contenant ( D)est de la forme u(P)+u0(P0).(P)(P' ) D P '')Produit mixte1 D´efinition
1. On cherche le volume d"unparall´el´epip`edepos´e sur le plan (x;y) :
xyzOhV=$ S dV=Z h 0 B d!! dzV=haire(B)
2. On va donner une interpr
´etation g´eom´etrique deaire(B)et de h.
aire(B)=!V!V0 z O hV V'x V V'9 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)hs"obtient en projetant!V00sur!V!V0:h
V'' VV'x VV') V=(!V!V0)!V00
3. Le nombre :
=(!V!V0)!V00=det(!V;!V0;!V00)=s"appelle led´eterminant, ou leproduit mixtede!V,!V0,!V00.