Produit vectoriel - F2School
MVA006 Applications de l’Analyse a` la Geom´ etrie–´ Cours n 9 Jacques V´elu (CNAM) Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que V V0, le produit vectoriel de deux vecteurs V et V0de R3 est donne par les formules :´ V = a{ + b+ c k V0= a0{ + b0+ c0k V V0= (bc0 cb0){ + (ca0 ac0
Produit vectoriel et déterminant dans l’espace
Propriétés du produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace Bien prendre garde, que contrairement au produit scalaire, qui d’ailleurs est un nomre et pas un ve teur, le produit vetoriel n’est pas ommutatif En effet, hanger l’ordre des veteurs, hange le signe du produit : - Bilinéarité
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur w AD tel ) ⊥( ) La base AB AC AD;; est directe = × ???????? ????où ????la mesure de l’angle BAC Le vecteur w est indépendant du choix des représentants des vecteurs et Si et sont colinéaires ; on pose que leur produit vectoriel est 0 On note w u v
YOUSSEFBOULILA PRODUIT VECTORIEL DANS E
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de E , est le vecteur noté: défini par: Si et sont colinéaires Alors = 0 Sinon, est: Le vecteur orthogonal à chacun des vecteurs et tel que: ( ; ; ) forme une base directe de E et tel que: u v = u uv usin(u , v ) 2) Exemples:
Produit vectoriel - F2School
Produit vectoriel En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths sup et de maths spé Nous donnons ici un complément hors programme sur le sujet
La double nature du produit vectoriel
La double nature du produit vectoriel Venons-en maintenant au produit vectoriel, pour lequel on donne usuellement deux définitions, l’une géométrique et en partie intuitive, l’autre algébrique et formelle Rappelons ces deux définitions Définition géométrique Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est un vecteur w (aussi
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL page Pro Benmoussa Med IIII Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté: 01 Définition géométrique du produit vectoriel : a Définition : u AB et v AC deux vecteurs de l’espace E orienté Le produit vectoriel de u et v ( dans cet ordre ) est le vecteur w AD
Chapitre I : calcul vectoriel - Université de Sétif
V PRODUIT VECTORIEL V 1 Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs ⃗ ???? ⃗ est un vecteur ⃗⃗⃗ noté : ⃗ ∧ ⃗ de direction telle que : ⃗⃗⃗ ⊥ ⃗ et ⃗⃗⃗ ⊥ ⃗ ( ⃗⃗⃗ est perpendiculaire au plan contenant les vecteurs ⃗ et ⃗
Sur le produit vectoriel - Département de Mathématiques d
Sur le produit vectoriel Daniel PERRIN Introduction On etudie les deux approches usuelles du produit vectoriel : la version el ementaire d ecrite en terme d’orthogonalit e et de sinus et celle qui prend comme point de d epart une application bilin eaire altern ee Dans tout ce qui suit, on travaille dans un espace vectoriel euclidien de
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III... trièdre base et repère orientés : 01. Trièdre : a. Définition : OI et OJ et OK trois demi-Econstituent dans cet ordre un trièdre on note OI,OJ,OK chaque demi-droite est appelée cote de trièdre . b. Exemple : 02. : a. Approche : OI,OJ,OK est trièdre , on considère une personne virtuel ( ou imaginaire ) tel que : ses pieds se trouvent en O debout dans le sens de OK . il regarde le cote OI . de la main gauche suit le cote OJ si oui ou non . cet personne est appelé donc on a deux positions pour cet personne ( voir les positions ) . 03. Base et repère orientés : a. Vocabulaire : 8 La position : ses pieds se trouvent en O debout dans le sens de OK et il regarde le cote OI et la main gauche suit le cote OJ ; le trièdre OI,OJ,OK est appelé trièdre directe ou positif ( cette position nous intéresse . 8 On pose : i OI et j OJ et k OK
i et j et k sont non coplanaires . 8 triplet i,j,k est une base directe si le trièdre OI,OJ,OK est direct. 8 Le quadruplet O,i,j,k directe ou positive .Gravure de 1825 par Ambroise Tardieu. Données clés Naissance 20 janvier 1775 Lyon (France) Décès 10 juin 1836 (à 61 ans) Marseille (France) Nationalité Française Champs Mathématiques, physique Institutions École polytechnique Collège de France Renommé pour Théorème d'Ampère Signature
Main droite Main gauche Main gauche Main droite Position 1 Position 2 Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL pagePro. Benmoussa Med
IIIIII... : 01. Définition géométrique du produit vectoriel : a. Définition : u AB et v AC
E orienté . Le produit vectoriel de u et v
( dans cet ordre ) est le vecteur w AD , on note w u v qui vérifie : 1. Si u et v sont colinéaires alors w u v 0 . 2. Si u et v se sont pas colinéaires alors : w est orthogonal à u et v ( c.à.d. w u et w v ) u,v,w u,v,u v est une base directe ou encore AB,AC,AD est une base directe ou encore AB,AC,AD est un trièdre direct . La norme de w est w u v u v sin , BAC. b. Exemple : Exemple 1 : Exemple 2 : On pose : u 2 et v 5 et u,v6 calculer uvOn a : w u v u v sin
2 5 sin6
5Conclusion : u v 5
Exemple 3 : On considère le cube ABCDEFGHci-contre , tel que AB 1.Main droite Main gauche
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1. On détermine : AB HG et AB AD
. 2. On détermine : AB HG et AB AD . Correction : 1. On détermine : AB HG et AB ADOn a AB HG 0
car AB et HG sont colinéaires . AAAEEB AD 1 1 . 2. On détermine : AB HG et AB ADOn a AB HG0
car AB et HG sont colinéaires . AB AD 2 2AE 4AE . c. Conséquences : u AB et v ACE orienté . 1. u u 0 et u 0 0 et 0 u 0
. 2. Si u et v sont non nuls et orthogonaux uv le triplet u,v,uv est une base orthogonale directe . 3. Si u et v sont non nuls et orthogonaux uv et u1v le triplet u,v,uvest une base orthonormée directe . 4. Le plan passant par le point A a pour vecteurs directeurs u et v
( c.à.d. P A,u,v ) alors le vecteur w u v : P A,u,v P Anuv, . 5. u v 0 u et v sont colinéaires. 02. Interprétation de la norme du produit vectoriel de deux vecteurs : a. Propriété : La surface du triangle ABCest ABC1S AB AC2
. La surface du parallélogramme ABCest ABCDS AB AC . 03. : Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL pagePro. Benmoussa Med
a. Propriété : u et v et wE orienté et
on a : 1. : v u u v . 2. Bilinéarité du produit vectoriel : u v w u v u v u v w u w u w ku v u kv k u vIIIIIIIII... Les coordonnées w u v
rapporté à une base orthonormée directe : a. Propriété : i,j,k . Soient u xi yj zk et v x'i y'j z'k x y z u v xi yj zk x'i y'j z'k x x' y y' z z' i j y y' x x' x x' z z' z z' y k i j k y' b. Exemple : On a : k i j ; j k=i ; i j k . 120 1 1 2 1 2AM u 0 1 i j k i j k1 1 1 1 0 111 . c. Technique : Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL pagePro. Benmoussa Med
IIIVVV... : a. Propriété : D A,u
est une droite passant par le pointA et est dirigé par un vecteur directeuruM ; la distance du point A à la droite D A,u
est :AM uu u d M;D A,
. b. Exemple : Calculons la distance du point M 1,3,0 à la droite D définie par : 1. la présentation paramétrique suivante
x 2t