[PDF] Vecteurs - mathgmfr

Opérations sur les vecteurs

Les vecteurs MAT536 www sylvainlacroix ca Opérations sur les vecteurs Multiplication scalaire de deux vecteurs On note la multiplication scalaire de deux vecteurs à l’aide d’un point • Cela se lit «le produit scalaire de et de » ou « point » Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs

Multiplication dun vecteur par un nombre réel

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel AC= AB C∈[AB] AC= AB on dit que les vecteurs AB et AC ont le même sens Remarque : • Si 0 1 alors C∈[AB]

2 Matrices et vecteurs - Claude Bernard University Lyon 1

Par définition de la multiplication de deux matrices,sixi est laième colonne deX et i laième entrée deD,alors Axi = ixi: (6) Le vecteurxi est donc un vecteur propre deA,et i est sa valeur propre associée La décomposition en valeurs propre est un changement de base vers les coordonnées des vecteurs propres SiAv = b et la matriceA se

Vecteurs - mathgmfr

Vecteurs Les savoir-faire 220 Identifier et tracer les représentants d’un vecteur 221 Lire les coordonnées d’un vecteur et représenter un vecteur connaissant ses coordonnées 222 Calculer et utiliser les coordonnées de vecteurs 223 Construire à l’aide des vecteurs 224 Etablir et utiliser la colinéarité de vecteurs

Cours BTS Calcul vectoriel - DAVIDFOFINET

Addition de vecteurs Multiplication d’un vecteur par un réel Barycentre Produit scalaire Produit vectoriel Définition Interprétation Propriété Coordonnées d’un vecteur Le vecteur OM nous donne la position du point M Si x, y, z sont des fonctions de la variable t représentant le temps, le vecteur

2nde : vecteurs (deuxième partie)

Remarque: deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées Application : Déterminer les coordonnées du quatrième point d’un parallélogramme : Soient A(2; 3) , B( 3; 4) et C( 5; 6)

Fiche 6 : Bases et coordonnées dans un espace vectoriel de

Propriété de linéarité des coordonnées Pour tous vecteurs u;v2Eet tout scalaire 2K on a X u+v= X u+X v et X v= X v Remarque : outeT égalité entre combinaisons linéaires de vecteurs de Eest alors équivalente à une égalité entre les combinaisons linéaires correspondantes des colonnes de coordonnées dans Bde ces vecteurs

L’outil vectoriel et géométrie analytique

1 2 EGALITÉ ENTRE DEUX VECTEURS La flèche sur les points A et B est indispensable car, sans flèche, il s’agit de la distance entre les points A et B qui n’est autre que la norme du vecteur

DÉRIVATION VECTORIELLE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES

On dit que l’on a des coordonnées polaires On retient par cœur : Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques (rz,,θ) On a : OM ru zu=+rz JJJJGG G Remarque : ne pas rajouter une coordonnée suivant le vecteur orthoradial On retrouve cette formule avec le schéma et la relation de Chasles III 2 Base des coordonnées

La calculatrice TI-nspire en physique - etsmtlca

La commande supporte des vecteurs de dimensions quelconques Produit scalaire dotp ([x1, y1, z1], [x2, y2, z2]) b7C3 La commande supporte des vecteurs de dimensions quelconques Produit vectoriel crossp ([x1, y1, z1], [x2, y2, z2]) b7C2 La commande supporte des vecteurs de dimensions 2 ou 3 Conversion rectangulaire à polaire [x, y]¢polar b7C4

[PDF] variance

[PDF] multiplication d'un vecteur par un réel exercices

[PDF] produit vectoriel de deux vecteurs de dimension 2

[PDF] carré d'un vecteur

[PDF] multiplication de deux vecteurs colonnes

[PDF] produit scalaire vecteur 3d

[PDF] le resultat d'une multiplication s'appelle

[PDF] division vocabulaire

[PDF] vocabulaire multiplication

[PDF] loi géométrique probabilité exercices

[PDF] la santé définition

[PDF] approximation loi hypergéométrique loi binomiale

[PDF] fonction de répartition loi discrète

[PDF] les termes de la division

[PDF] difference entre loi binomiale et hypergeometrique

Chapitre 8

Vecteurs

Les savoir-faire

080.Identifier et tracer les représentants d"un vecteur.

081.Lire les coordonnées d"un vecteur et représenter un vecteurconnaissant ses coordonnées.

082.Calculer et utiliser les coordonnées de vecteurs.

083.Construire à l"aide des vecteurs.

084.Etablir et utiliser la colinéarité de vecteurs.

I. Translations et vecteurs associés

1. Translation

AetBsont deux points distincts du plan.

Latranslation qui transformeAenBest appeléetranslation de vecteur-→AB.

Définition : translation

Par la translation de vecteur--→AB, le

pointMa pour image le pointN.A

B-→AB

F1F 2 MN

Le vecteur--→ABest défini par :

- sa direction (celle de la droite (AB)); - son sens (deAversB); - sa norme (la longueur du segment [AB]).

Définition : caractéristiques d"un vecteur

2. Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils caractérisent la même translation.

Autrement dit, deux vecteurs égaux sont deux vecteurs ayantmême direction, même sens et même longueur.

Définition : vecteurs égaux

1 --→AB=--→CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme (éventuellement aplati). Propriétés : caractérisation du parallélogramme A B C D Attention à l"ordre des points dans lequel on nomme le parallélogramme :ABDCet nonABCD.

Lorsque

AB=--→CD=--→EF=--→GH, alors on dit que les vecteurs--→AB,--→CD,--→EF,--→GHsont des représentants d"un

même vecteur que l"on peut noter avec une seule lettre (?u,?vou?w...) indépendamment des deux points.

D"où :--→AB=--→CD=--→EF=--→GH. Un vecteur admet une infinité de représentants. G H?uE F?u C D?uA B?u Remarque :la norme du vecteur?uest notée||?u||. On peut écrire aussi :||--→AB||=AB.

Exemple :

Tracer l"image du triangleABCpar la translation de vecteur?u.

Vidéo

3. Milieu d"un segment

Iest le milieu de [AB] si et seulement si-→AI=-→IB. Propriétés : caractérisation du milieu d"un segment

AI-→IB

A× I× B 2

4. Vecteurs particuliers

•Le vecteur-→AAest appelé vecteur nul. On le note?0.

Ainsi,-→AA=?0.

•Le vecteur--→BAest le vecteur opposé au vecteur--→AB. On note--→BA=---→AB.

BA AB

×A×

B

II. Somme de deux vecteurs

1. Définition

La somme des vecteurs?uet?v, notée?u+?v, est le vecteur as- socié à la translation résultant de l"enchaînement des trans- lations de vecteur?uet de vecteur?v. ?u ?v ?u+?v A B C

Définition : vecteur somme

Exemple :

SoitABCun triangle non aplati.

Construire le pointFdéfini par :-→AF=--→BA+--→BC

Vidéo

AB+-→AC=?0si et seulement siAest le milieu du segment [BC]. Propriété : somme nulle de deux vecteurs et milieu Le vecteur?u-?vest défini par?u-?v=?u+(-?v) ce qui signifie que soustraire un vecteur, c"est additionner son opposé. ?u ?v ?u-?v ?u-?vA B D

Définition : différence de deux vecteurs

3

2. Relation de Chasles

Pour tous pointsA,BetCdu plan :--→A

B+--→BC=-→AC

Propriété : relation de Chasles

A B C

AB +-→BC

III. Produit d"un vecteur par un réel

1. Définition

Soit?uun vecteur etkun nombre réel non nul, alors le vecteurk?uest défini par : -sa direction :la même que celle de?u; -son sens :celui de?usik >0, l"opposé de?usik <0; -sa norme :||k?u||=|k| × ||?u||. Définition : Produit d"un vecteur par un nombre réel -2?u ?u 1 3?u

Exemple :

SoitABCun triangle non aplati. Construire le pointMtel que :

AM=---→AB+ 3-→AC

Vidéo

Pour tous vecteurs?uet?vet tous nombres réelsketk?: -k(?u+?v) =k?u+k?v; - (k+k?)?u=k?u+k??u; -k(k??u)) = (kk?)?u. Propriété : distributivité entre vecteurs et réels

2. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs?uet?vnon nuls sontcolinéaireslorsqu"il existe un nombre réelknon nul tel que?v=k?u.

Définition : vecteurs colinéaires

Remarque :?uet?vsont colinéaires signifie donc qu"ils ont lamême direction. 4

- Deux droites (AB) et (CD) sontparallèlessi et seulement si les vecteurs--→ABet--→CDsont colinéaires;

- Trois pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs--→

ABet-→AC(par exemple) sont colinéaires.

Propriétés : parallélisme et alignement

Remarque :

L"égalité--→AM=1

2--→ABmontre que le pointMest le milieu de [AB].

Exemple :

On donne deux vecteurs?uet?vtels que :-4?u+ 3?v=?v ?uet?vsont-ils colinéaires?

Vidéo

IV. Coordonnées

1. Base orthonormée et décomposition

Soit?iet?jdeux vecteurs non colinéaires dont les directions sont perpendiculaires et tels que||?i||=||?j||= 1. Le

couple (?i;?j) est appelébase orthonorméedes vecteurs du plan.

Définition : base orthonormée

Tout vecteur?udu plan se décomposede manière unique sous la forme?u=x?i+y?joùxetysont des réels.?x y? est le couple decoordonnéesdu vecteur?udans la base ( ?i;?j). ?i? j ?u x?i y?j

Propriété : décomposition d"un vecteur

Exemple :dans la base (?i;?j), si?u?-2

3? alors?u=-2?i+ 3?j.

2. Repère orthonormée

On appellerepère orthonormédu plan le triplet (O;?i ,?j) constitué par un pointOappeléorigineet par

les vecteurs d"unebase orthonormée(?i;?j).

Définition : repère orthonormée

5 Les coordonnées d"un vecteur?usont les coordonnées du pointMtel que :--→OM=?u.--→OM=x?i+y?jdonc--→OM?x y?

Le vecteur?ua pour coordonnées?21?

etM(2 ; 1). 123
1 2 3 0?i? j ?u ?u xy ×M

Exemple :

Par lecture graphique, exprimer?uen fonction des

vecteurs?aet?b.

Vidéo

Exemple :Lire les coordonnées des vecteurs?u,?vet?w.

Vidéo

3. Vecteurs égaux, somme de vecteurs

Dans une base orthonormée (?i;?j), on considère deux vecteurs?u?x y? et?v?x? y - Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmescoordonnées.

Autrement dit,?u=?vsi et seulement si :?

x=x? y=y? - Le vecteur somme?u+?va pour coordonnées : ?x+x? y+y?? Propriété : égalité, somme de vecteurs 6

4. Multiplication par un réel

Dans une base orthonormée (?i;?j), si on multiplie un vecteur?u?x y? par un réelk, alors le vecteurk?ua pour coordonnées ?kx ky?

Propriété : multiplication par un réel

-2 -42

2 4 6-2-4

O ?u 42
-2?u-8 -4 1,5?u 63

Les vecteurs?uet 1,5?uont le même sens car 1,5>0 et les vecteurs?uet-2?uont des sens contraires car-2<0.

5. Norme d"un vecteur

Dans une base orthonormée (?i;?j), la norme d"un vecteur?u?x y? est : ||?u||=? x2+y2

Propriété : norme d"un vecteur

6. Coordonnées d"un vecteur

On considère un repère (O; I; J) et deux pointsA(xA;yA) etB(xB;yB).

Le vecteur

ABa pour coordonnées :?xB-xA

y B-yA?

Propriété

-1234 -1 2 3 4 OI J A B xAxB yB yA xB-xA yB-yA

Cas particulier :

Le vecteur nul?0 a pour coordonnées?00?

7 Exemples :Calculer les coordonnées du vecteur--→ABavecA(3 ;-4) etB(-2 ; 1).

Vidéo

Exemples :

On donne les pointsA(1 ; 2),B(-4 ; 3) etC(1 ;-2).

Déterminer les coordonnées du pointDtel que--→AB=--→DC.

Vidéo

7. Colinéarité

On appelle déterminant des vecteurs?u?x

y? et?v?x? y le nombre det(?u , ?v) =xy?-x?y.

Définition : déterminant de deux vecteurs

Deux vecteurs?uet?vsont colinéaires si et seulement si det(?u , ?v) = 0. Propriété : condition de colinéarité de deux vecteurs

Exemple :

Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs?uet?vsont colinéaires dans un repère (O;?i ,?j). a.?u?-6 10? et?v?9 -15? b.?u?49? et?v?1123?

Vidéo

8quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14