Produit scalaire en dimension 3 Norme dun vecteur en dim 2
Produit scalaire 3D, cours de niveau secondaire II Author: Marcel Délèze Subject: Norme d'un vecteur 3D Théorème du cosinus Produit scalaire 3D Keywords: norme d'un vecteur 3d, produit scalaire 3d, théorème du cosinus Created Date: 11/22/2010 3:09:02 PM
Géométrie 3d Produit scalaire et produit vectoriel
Géométrie 3d Produit scalaire et produit vectoriel Produit scalaire Le produit scalaire permet de savoir si 2 vecteurs sont orthogonaux Le résultat d’un produit s alaire est un salaire (nomre) 3 × 3 ⃗ ‖= ⃗ ‖ ‖ ⃗ ⃗ = xx’ + yy’ + zz’ Produit vectoriel
PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques
Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u =AB """ La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan
Produit scalaire et géométrie analytique de l’espace
Produit scalaire et géométrie analytique dans l’espace Corrigés d’exercices (version du 29/05/2009) Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/18 M Lichtenberg 2008-2009 N°77 page 319 a) Pour démontrer que la droite ()AF est perpendiculaire au plan (BCD), il suffit de démontrer que le vecteur AF JJJG
I Eléments de cours à connaître
• Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul • La norme des deux vecteurs étant fixée, le produit scalaire de deux vecteurs est extrémal lorsque les deux vecteurs sont colinéaires • (A B ) C A C B C • 2 A A A A A a norme dun vecteur est la racine de son carré scalaire : A A A I 3 Application
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
Produit scalaire Considérons un plan passant par l’origine et perpendiculaire à un vecteur P Tout vecteur Q partant de l’origine et étant du même côté du plan que P aura un produit scalaire avec P positif, tandis que les vecteurs de l’autre côté du plan donneront un"##$ &#'()#*+(,- )#produit scalaire négatif /0# P Q Q Q Q Q
§ 3 Produit vectoriel - delezename
Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs Etant donné deux vecteurs a fi, b fi, on appelle produit vectoriel des vecteurs a fi, b fi le vecteur c fi, noté c fi =a fi ·b fi, défini de la manière suivante: dans le cas où a fi, b fi ne sont pas colinéaires, la direction de c fi est définie par c fiƒfia
TP : produit scalaire
pour créer le vecteur ⃗v(2 8) Enfin, il suffit d’écrire u*v dans la barre de Saisie pour obtenir le produit scalaire 1°) Dîtes par le calcul si les vecteurs sont orthogonaux (vérifiez avec Geogebra) : a) ⃗u(4 −1) et ⃗v(2 8) b) ⃗u(8 3) et ⃗v(−2 5) c) ⃗u(−1 7) et ⃗v(3 −2) 2°) Dire dans chaque cas si le triangle ABC
GELE3222 - Chapitre 1
AB= 0, et donc le produit scalaire est nul Aussi, si deux vecteurs sont paralleles, le produit scalaire est` egal´ a la multiplication` des modules : A~B~= jAjjBj si A~jjB~ (1 5) Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs A~et B~est un autre vecteur perpendiculaire au plan forme par´ A~et ~B
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE par Benoît Kloeckner
d'un vecteur dont la norme est une aire, et pas une longueur Il faut interpréter ce vecteur comme une sorte de produit des vecteurs ~uet ~v On l'appelle d'ailleurs, comme on av le voir, le produit vectoriel h ~u0 w~ B B Fig 8 Calcul du volume d'un parallélépipède (2) 2 2 Produit vectoriel Un cas simple dans la recherche de ce vec-
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IMN428
Chapitre 2 - Transformations géométriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 janvier 2014
Transformations géométriques1 / 104
Plan de la présentation
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques2 / 104
Vecteurs et matrices
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques3 / 104
Propriétés des vecteurs
Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104Propriétés des vecteurs
Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104Propriétés des vecteurs
Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que siP= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);
alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104Propriétés des vecteurs
On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV2x+V2y+V2z:
Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104Propriétés des vecteurs
Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQjCette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104
Propriétés des vecteurs
Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.
Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.Transformations géométriques9 / 104
Produit scalaire
Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2
6 664Q1 Q 2... Q n3 7